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【强烈推荐】实验不确定度

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物理实验技术中的不确定度计算方法

物理实验技术中的不确定度计算方法

物理实验技术中的不确定度计算方法在物理实验中，测量是不可避免的重要环节。

然而，由于各种误差和不确定度的存在，我们很难获得完全准确的测量结果。

因此，准确计算实验结果的不确定度是至关重要的。

本文将讨论物理实验技术中常见的不确定度计算方法。

一、随机误差和系统误差在进行物理实验时，会存在两种类型的误差：随机误差和系统误差。

随机误差是由于实验中的各种因素（如仪器的不完善性、环境的变化等）导致每次测量结果的不同而产生的。

为了准确表示随机误差的大小，我们一般使用标准差或标准偏差进行衡量。

系统误差是由于实验所使用的设备或者测量方法本身存在的缺陷或者偏差所引起的。

系统误差可能会导致测量结果的整体偏离实际值。

为避免系统误差对测量结果的影响，我们需要对实验设备和测量方法进行校准和调整。

二、误差传递法在实验中，我们经常需要通过多次测量和计算得到一个或多个实验结果。

为了正确计算这些结果的不确定度，我们需要使用误差传递法。

误差传递法是一种用于计算间接测量结果不确定度的方法。

它基于误差传播原理，通过将各种测量结果的不确定度按照一定规则进行组合，得到间接测量结果的不确定度。

常见的误差传递法有线性近似法、最大值法和最差情况法。

线性近似法适用于误差的传递存在线性关系的情况。

通过对每个测量结果的不确定度进行求和，然后乘以线性关系的系数，可以得到间接测量结果的不确定度。

最大值法适用于误差的传递存在最大值或最小值的情况。

在最大值法中，我们需要找到引起测量结果最大误差的测量结果，并将其不确定度作为间接测量结果的不确定度。

最差情况法适用于误差的传递存在非线性关系的情况。

在最差情况法中，我们假设每个测量结果的不确定度为其最差情况下的不确定度，然后通过计算得到间接测量结果的不确定度。

三、样本误差和系统误差的区分在实验中，我们需要对实验数据进行统计处理。

对于同一测量量的多次测量结果，我们可以计算得到样本均值和标准偏差。

样本均值用于表示多次测量结果的平均值，而标准偏差则表示多次测量结果的离散程度。

实验不确定度的评定

实验不确定度的评定

u B1 ( x ) = (1/ 2) × 0.2 V=0.1V。又如，利用肉眼观察远处物体成像的方法来粗测透镜的焦距 时，虽然所用钢尺的分度值只有 1mm，但此时测量不确定度 u B1 ( x ) 可取数毫米，甚至更大。
仪器不确定度 u B 2 ( x ) 是由仪器本身的特性所决定的，它定义为：
u B 2 (x ) =
对乘除法： y = x1 ⋅ x2 ，或 y =
(2-2-6)
x1 ，则 x2
2 2 2
⎡ u (x1 ) ⎤ ⎡ u (x2 )⎤ ⎡ u ( y )⎤ ⎢ y ⎥ =⎢ x ⎥ +⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
对乘方（或开方） ： y = x ，则
n
(2-2-7)
⎡ u ( y )⎤ ⎡ u (x )⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢n ⋅ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u ( m) = ⎡ ⎣uB1 ( m ) ⎤ ⎦ +⎡ ⎣u B 2 ( m ) ⎤ ⎦ =
2 2
( 0.02 )
2
+ 0.01
(
3 g = 0.02g
)
2
（2）大圆柱体 高度 H = ( H1 + H 2 + H 3 ) 3 = (5.026 + 5.029 + 5.007) 3 = 5.021mm
3 。有些仪器说明书没有直接给出其不确定度限值，但给出了仪器的准确度等 级， 则其不确定度限值 a 需经计算才能得到。 如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值
乘以等级，例如满量程为 10V 的指针式电压表，其等级为 1 级，则其不确定度限值
u B 2 (x ) = a
a = 10V × 1% = 0.1 V。

【doc】物理实验中的不确定度及其在声速测量过程的应用

【doc】物理实验中的不确定度及其在声速测量过程的应用

物理实验中的不确定度及其在声速测量过程的应用不确定度;声速;物理实验中圈分类号:O241.1文献标识码:A1不确定度的概述不确定度是表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度,它反映了可能存在的误差分布范围.它与给定的置信概率相联系,并且可求出其确定位.不确定度的大小反映了测量结果的可信赖程度,不确定度小的测量结果可信赖程度高,反之则低.2不确定度的分类不确定度按其数值的评定分为两类,分别为A类不确定度和B类不确定度.凡是经过多次测量后,用统计方法求出的不确定度为A类不确定度,而由非统计方法求出的不确定度为B类不确定度.在相同测量条件下,当对某一物理量进行,1次测量时得一测量列I,2,……,其最佳值为算术平均值,即:=-=.1∑(1)的标准估计值的贝赛尔公式为=算术平均值X的标准差估计值为=上式算术平均值的标准差即为A类标准不确定度.当测量次数,l≥5时,可认为其置信概率为P=68.3%(国际标准推荐) 收稿日期:2OO5—09—20(2)(3)一7l一对于类不确定度,在测量范围内无法用统计办法评定,则采用不确定度也需要由各直接测量量的不确定度通过传递公式计算出来.设间接测量量与直接测量量间的关系为Y=Xl,X2,……)则间接测量量Y的标准不确定度为=其中毛为各相互独立的直接测量量,u为各直接测量量的标准不确定度.测量结果的表达式应Y=Y-4-￡,,3应用实例(7)声波在空气中的速度—,其中为声波波长,为声波频率.声波频率f由低频信号发生器直接读出,声波波长由实验测得.测量声波波长的方法是用超声波干涉即驻波法进行测量,这种方法是通过发射传感器与接收传感器探头之间的距离改变一定数值后,记录下这一过程中声波波形变化的周期数,再利用公式=,求出波长‘,’r=.由上式知,是L的间接测量量,是的间接测量量,而￡是直接测量量.具体数据见表1.表1实验数据表==2L=×41820:346804(mms_1):346.80(ms-*)由方差合成原理求的不确定度计算公式,由()=(a△Lt,32+()一72—,可得.=两△￡的A类不确定度△工.:——AL,_ALp.√婴:=垫:垡2:±.重E戛耍巫巫Ys(5一I)=0.019(mm)△￡的类不确定度△===..0058(一),△倪为螺旋测徽仪的仪器精度△￡的总不确定度△工√(o’zx工1)+(△n)4o.o192+0.0058:0.019(ram)输出频率,的不确定度zxf=5X10～X41820—4Hz,这里.仪器输出频率为418201~则::3Hz‘33速度的合成标准不确定度O”u=c,√)+)2=0.4(瞄-Ir￡,=(346.8±0.4),一’则测量结果可表示为:{一E(￡,):or,=0.1%◆考文■【1】刘志t.不确定原理.中国计量出版社.1993[2】刘才明.大学物理实验中测量不确定度的评定与表示大学物理.199”/UNCERTAINTY ANDITSSONICSPEEn TESTINGPROCESSAPPLICA TIONINPHYSICAlEXPERImeNTl(IngWeifangXueY uchun(N,mhe~ElectricPowerInmitme.JiIjn.132012)Act:11liI_…cleilllrodt~essystemoti~y?inthephy.icIl戗p.峨ertIinty.whichi.-pIllied.olbelyppIlysicIl”喇mthe.onic’peeding?Theimp~eeuneemin~yindataplo 嘲?jnsiIlnle矗pefi.meriti8shown.Keywords:uncerl~y;mnlcspeed;physical矗pefi删一73—。

实验不确定度概念

实验不确定度概念

C.未给出仪器误差时 连续可读仪器 米尺：最小分度为1mm
读数显微镜：最小分度为0.01mm
螺旋测微计：最小分度为0.01mm
C.未给出仪器误差时 非连续可读仪器 数字秒表:最小分度=0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
分光计:最小分度=1‘
根据实际情况估计误差
拉伸法测金属丝杨氏模量
D. 仪器仪表值误差与指示值的百分数的分子 的表示。
用量程为15mA，准确度等级为0.5级的 电流表测某电流的指示值为10.00mA， 其测量结果的最大误差为( B )
A. 0.75mA； C. 0.05mA；
B. 0.08mA； D. 0.008mA。`
A. 0.5级，量程为5伏； B. 1.0级，量程为2伏； C. 2.5级，量程为1.5伏； D. 0.5级，量程为3伏。
求 Y＝B + C + D – E 其中
B 17.32 0.02cm C 2.684 0.001cm D 100 2cm E 20.004 0.005cm
其结果是( B )
A. Y 100.0 0.2cm； B. Y 100 2cm； C. Y 100.00 0.02cm； D. Y 100.000 0.003cm。
仪器仪表精度等级的含义是：( A )
A. 最大误差与满刻度值的百分数的分子表示；
B. 就是仪器仪表值引用误差；
C. 仪器仪表用百分数表示的示值相对误差的 分子表示；
B类不确定度u：
不能用统计方法只能用其他方法估算 (如仪器误差)
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法 最大残差法 最大误差法 极差法
三、直接测量不确定度的计算

实验误差与不确定度的评估与处理

实验误差与不确定度的评估与处理

实验误差与不确定度的评估与处理实验误差是指实验结果与真实值之间的差异，而不确定度则是对实验结果的不确定性的评估。

在科学研究和实验中，准确评估实验误差和不确定度是十分重要的，因为它们能够提供对实验结果的可靠性和可信度的量化描述。

本文将介绍实验误差和不确定度的评估与处理方法。

一、实验误差的来源实验误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。

系统误差是由于实验设计或操作中存在的固有偏差引起的，它使得实验结果在一定的范围内有偏移。

而随机误差则是由于各种随机因素（如仪器精度、环境变化等）引起的，它使得实验结果在不同的重复实验中有所变化。

二、不确定度的评估方法为了准确评估实验结果的不确定性，需要进行不确定度的评估。

常用的不确定度评估方法包括：1. 标准偏差法：通过测量一系列样本或重复实验来计算数据集合的标准偏差，从而评估实验结果的不确定度。

2. 线性回归法：对于存在线性关系的数据，可以使用线性回归方法来评估实验结果的不确定度。

3. 方差分析法：适用于多组数据比较的情况，通过比较组间和组内的方差来评估实验结果的不确定度。

4. 蒙特卡洛方法：通过随机数模拟实验，重复进行一系列实验来评估实验结果的不确定度。

三、实验误差与不确定度的处理在评估实验误差和不确定度之后，需要进行相应的处理方法来处理这些数据。

1.均值处理：对于多次实验的结果，可以计算其平均值来减小随机误差的影响，提高实验结果的精度。

2.数据筛选：排除明显异常的数据，避免实验误差的干扰，提高实验结果的准确性。

3.数据修正：根据实验误差的评估结果，可以对实验数据进行修正，降低系统误差的影响。

4.不确定度传递：在进行实验数据的处理和计算时，需要将实验结果的不确定度传递到最终的计算结果中，以保证结果的可靠性。

综上所述，实验误差和不确定度是科学研究和实验中必须要考虑的重要因素。

通过合适的评估方法对实验误差和不确定度进行准确的评估，并采取相应的数据处理方法，可以提高实验结果的精度和可靠性。

物理实验中的不确定度分析方法讲解

物理实验中的不确定度分析方法讲解

物理实验中的不确定度分析方法讲解物理实验是科学研究的重要方法之一，通过实验可以验证理论，探索自然规律。

然而，在进行物理实验时，我们常常会面临各种不确定度的问题。

不确定度是指实验数据或测量结果与真实值之间的差异，也是实验过程中不可避免的误差来源。

因此，了解和分析不确定度是进行物理实验的重要一环。

一、背景介绍在讲解不确定度分析方法之前，先来了解一下一些基本概念。

在物理实验中，通常会进行测量来获取实验数据。

测量结果可以分为两类：一类是直接测量的值，比如长度、质量等；另一类是间接测量的值，比如通过测量时间和行走速度计算得到的距离。

不确定度是指测量结果的范围，一般用标准差或误差表示。

标准差是对测量结果的离散程度的衡量，误差是指测量结果与真实值之间的差异。

二、不确定度的来源不确定度的来源有多种，包括仪器误差、操作误差、环境因素等。

仪器误差是指仪器本身存在的不确定度，比如测量仪器的精度限度、刻度线的精确度等。

操作误差是指在测量、实验过程中由于操作不当或人为因素导致的误差，比如读数不准确、记录错误等。

环境因素是指实验环境对实验结果的影响，比如温度、湿度等。

三、不确定度的评定方法在进行物理实验时，我们需要对实验数据进行不确定度分析，以确定测量结果的可靠性和可信度。

不确定度的评定方法有多种，下面我们介绍一种常用的方法——GUM不确定度评定方法。

GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）是国际标准化组织（ISO）制定的一套用于不确定度评定的准则。

它将不确定度分为两类：类型A不确定度和类型B不确定度。

类型A不确定度是通过实验重复测量得到的统计结果计算得出的，它的评定方法主要依赖于统计学上的方法。

而类型B不确定度是通过其他途径获得的，比如参考资料、厂商提供的数据等，其评定方法主要依赖于专家判断或者理论计算。

根据GUM方法，在评定不确定度时，需要进行以下步骤：1. 确定测量结果的标准不确定度：将类型A和类型B不确定度进行合成，得到测量结果的标准不确定度。

大物实验不确定度

次数较多；
加测量次数，可以
– 很大的误差通常不出现；
减少测量误差
– 随机误差的算术平均值趋 于零；若无系统误差，测 次量数的少平，均乘值t因趋子于。真值。
认识正态分布函数
大物实设验对不物确定理度量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值 xi(i=1,2,…）满足正态分布，则
平均值 等于真值 X 0
来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等
特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化
处理
多次测量减小随机误差，计算标准偏差来估算测量的准确程度
测量值的分布
大物实验不确定度
• 重复测量中各测量值及其出现次数的关系
如：均匀分布、三角分布、正态分布、……
• 任何分布，其统计量的分布都趋于正态分 布
如：x1, x2, …… xn,
实验仪器的最大允许误差(Δ仪)
大物实验不确定度
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准中查到。表 1.3.1（p13)摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表（指针式）的示值误差限：
数字仪表？
Δ仪= 量程×准确度等级/100 如：0.5级电流表，量程3A， Δ仪=3×0.5/100=0.015A
x
1 n
n i 1
xi
还有标准偏差等都是统计量
• 实验采用统计量表示
随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，随机
大物实验不确定度
误差δ趋近如下分布，f (δ)反映误差δ出现的几率。
f ()
1
- 2
e 22
2
0
δ
特点 – 正负测误量差次出数现的较几少率时相等； – 将绝对偏值离较正小态的分误差布出,增现的

大学物理实验不确定度

P(2 x 2 ) 0.954
P(3 x 3 ) 0.997
一、测量与误差
误差
一、测量与误差
误差
标准误差
x
2
i
(xi )2 (n )
n
n
标准偏差：
Sx
n
(xi x)2
i 1
(有限次测量 )
n1
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。 S x大，数据分散，随机误差大，重复性差。
系统误差来源：1)仪器误差 2)环境因素 3)理论误差 4)个人误差
一、测量与误差
误差
3、随机误差产生原因、特点 • 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引
起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承摩擦力 变动、千分尺测力随机变化、读数视差影响。
• 特点： ①小误差出现的概率大，大误差出现的概率小； ②多次测量时，分布对称，具有抵偿性； ——因此，取多次测量的平均值，有利于消减随
1
E
ln 2 ( M
M
)
2
ln D
2
D
2
ln h
2
h
2
2
1
M
2
2 D
2
h
2
2
%
M D h
E ,
三 有效数字及运算规则
4.265 四位
5.200 四位
末位是估读位
5.2 二位 3.00 三位 3 一位
误差： 4.265
B 仪 3
实验书最后一页
2 A
2 B
t p S x
2
仪 3
2
(p
0.683)
二、不确定度
t p 因子

大学物理实验—不确定度


2
18
例：求y=3C-4D的不确定度
解： dy=3(dC)-4(dD)
2 2 U ( 3 U ) ( 4 U ) 9 U 16 U y C D C D 2 2
19
对于以乘、除运算为主的函数
取对数 ln N ln f x , y , z ,
d N ln f ln f ln f 再微分 dx dy dz N x y z
1.实验课前预习
(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。
(2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验
数据记录表格。上课时指导老师检查记分。
32
2.课堂实验操作 (1)上课需带实验讲义、笔、尺等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。 (3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进
称为不确定度传递系数。 说明： ①求“方和根”时要保证各项是独立的。如果出 u ( 或 u 、 u ) 项，要先合并同类项， 现多个 x y z 再求“方和根”。 ②以上两式是完全等价的。一般以加减运算为主 的函数，先用第一式求 u N ，再用第二式求 E N 。 而对以乘除运算为主的函数，则先用第二式求 u 出 E N ，再用 u N NE N 求 N 。这样计算比较 简便。
测量结果
6 . 66 0 . 03 ( g / cm ) (P68 .3 %)
3
u ( ) E 100 % 0 . 450 % 0 . 45 %

30
物理实验课程的基本要求
物理 实验 课的 三个 环节
1. 实验预习 2. 实验操作
3. 实验报告
31

实验不确定度和置信水平20161104


个是测量不确定度的大小，即置信区间；另一个是置
信水平（或称置信概率），表明测量结果落在该区间
有多大把握。
例如测量人体温度为37.2℃或加减0.05℃，置信概
率为99％。该结果可以表示为：
37.2℃±0.05℃，置信概率为99％
二.结果的置信水平
置信水平也称为可靠度，或可信度、置信系数，即在抽样对总 体参数作出估计时，由于样本的随机性，其结论总是不确定的。 因此，采用一种概率的陈述方法，也就是数理统计中的区间估 计法，即估计值与总体参数在一定允许的误差范围以内，其相 应的概率有多大，这个相应的概率称作置信水平。 置信区间越大，置信水平越高。
THANKS！
二.结果的置信水平
μ: Байду номын сангаас均值
σ：标准差
二.结果的置信水平
例 一组测量数据符合正态分布， 平均值μ=5，标准差σ=1， 那么我们可做出以下预测： 68.26%的数据分布在区间[5±1]; 95 %的数据分布在区间[5±2]; 99 %的数据分布在区间[5±3];
二.结果的置信水平
不确定度说明了置信水平区间的半宽度，它是实验结果 质量的指标。不确定度愈小，所得结果与被测量的真值愈 接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度 越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越 低。 置信区间越大，置信水平即可信度越高。
合成不确定度σ：
一.测量不确定度
一.测量不确定度
如何理解测量不确定度？
所谓“区间半 宽度”，对于 不对称分布的 不确定度，则 取其中间值。
不确定度恒为 正值。当由方 差得出时，取 其正平方根。
不确定度指可疑 程度。概括地说， 测量不确定度是定量 表示对测量结果的 怀疑程度。
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2 2
2
2
2
(1)
(2)
其中 f 为间接测量量 N 与直接测量量 x 、 y 、 z……之间的函数关系。
五、测量结果表达式：
N N (单位)
N N 2 (单位)
P 0.683
P 0.954
P 0.997
N N 3 (单位)
六、传递公式的应用
1.计算间接测量量的不确定度 2.分析主要误差来源
实验不确定度
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值范 围内的评定。
不确定度用σ 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围 ( ~ )中 真值以一定的概率被包含在量值范围 ( N ) ( N ) 中
二、不确定度的分类
A类不确定度S：
2.间接测量的不确定度由传递公式计算
dN, dxx, dyy, dzz,...
f f f 2 2 2 x y z ...... x z y

ln f 2 ln f x y N x ln f 2 2 z ...... y z
贝塞尔法 最大残差法
最大误差法
极差法
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法
Ni的不确定度
S
的不确定度
SN
2 ( N N ) i i 1 n
(N
i 1
n
i
N)
2
n1
n(n 1)
S n
2)B类不确定度的估计:
①.估计方法 估计法
ui
仪
3
②.仪器误差 仪 的确定：
3) 合成不确定度
A类不确定度分量 B类不确定度分量
S1 , S 2 , S i ,......S m
u1 , u2 , u j ,......un
n

S
i 1
m
2 i
u
j 1
2 j
用 50 分度游标卡尺测一圆环的宽度，其 数据如下： m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;15.268; 15.274;15.272cm . 求合成不确定度。
2
3.求 的不确定度
0.008( gcm 3 )
4.测量结果表示：
8.886 0.008( gcm )
3
已测得矩形宽、长结果分别是 a 10.0 0.1cm
b 20.0 0.1cm 求周长L=？
解： L 2( a b ) 2( 10.0 20.0 ) 60.0( cm )
3.在设计性实验中进行误差分配
4.帮助正确选择仪器及确定测量条件
4M 根据公式 D 2 H
测量铜圆柱体的密度。
已知：M=45.038±0.004(g), D=1.2420±0.0004(cm), H=4.183±0.003(cm). 试评定 的不确定度 .
解：
4M 3 8 . 886 ( gcm ) 1.计算测量值 2 D H 2.先计算相对不确定度
M D H M 2 D H
2 2 2 2 2 2
0.0004 0.003 0.004 2 1.2420 4.183 45.038 9.6 10 4
L
L L a b a b
②.仪器误差 仪 的确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
电表的最大误差 级别% 电表的满量程
C.未给出仪器误差时
连续可读仪器 最小分度1/2
非连续可读仪器
最小分度
C.未给出仪器误差时
连续可读仪器 米尺：最小分度为1mm
仪 0.5mm
读数显微镜：最小分度为0.01mm
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
S S1 S 2 S 3 ... S m
2 2 2 2
B类不确定度u：
不能用统计方法只能用其他方法估算 (如仪器误差)
U U 1 U 2 U 3 ... U n
2 2 2 2
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
电表的最大误差 级别% 电表的满量程
B.由仪器的准确度等级计算
电 流 表 （ 0.5 级 ）
仪 30 0.5% 0.2(mA)
电压表（0.1级）
仪 7.5 0.1% 0.008(V )
电阻箱（读数为2700 ）
仪 2700 0.1% 2.7()
仪 0.005mm
螺旋测微计：最小分度为0.01mm
仪 0.005mm
C.未给出仪器误差时
非连续可读仪器 数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
仪 1'
根据实际情况估计误差
拉伸法测金属丝杨氏模量
四、不确定度的传递公式
1.多元函数的全微分
设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量
N f ( x , y , z ...)
f f f dN dx dy dz ... x y z
若先取对数再微分，则有: ln N ln f ( x , y , z ...)
dN ln f ln f ln f dx dy dz ... N x y z
解： 由于是多次测量，存在A类不确定度：
Sm
2 ( m m ) i i 1 9
n(n 1)
0.003(cm )
任何直接测量都存在B类不确定度：
u
仪
3

0.002 3
0.001( cm )
合成不确定度:
2 Sm u 2 0.003 2 0.0012 0.003( cm )