数学建模灰色预测法

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。

它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。

灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。

该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。

灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。

其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。

通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。

灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。

2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。

3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。

4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。

示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。

然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。

这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。

步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。

2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。

3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。

4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。

这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。

虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。

§12.5 灰色预测我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系．灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果．我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N)当N=1时的特例）模型为基础的．12.5.1 GM(1,1)模型的建立设X(0)=(X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n))，做1－AGO，得(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())X X X X n =L(1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2),,(1)())X X X X n X n =+-+L则GM(1,1)模型相应的微分方程为：(1)(1)dX aX u dt+= （1） 式中：a 称为发展灰数；μ称为生控制灰数．设ˆα=(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α-= （2） 其中(1)(1)(1)(1)(1)(1)1((1)(2))121((2)(3))121((1)())12X X X X B X n X n ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭M M (0)(0)1(0)(2)(3)()X X Y X n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 易求得，方程（1）的解为(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u Xk X e aa-+=-+ （3） 例4 100m 成绩预测1983～1990年世界男子和中国女子100m 最好成绩如表6．表6 各年度最好成绩记世界男子100m 成绩的原始数列为(0)(9.93,9.96,9.98,9.95,9.93,9.92,9.94,9.93)X =建立GM(1,1)模型，即按式（1）、（2）、（3）得到预测模型为(1)0.0007185266ˆ(1)(9.9313884.61)13884.61k Xk e -+=-+ 由预测模型得预测值为年份 模型预测值/s1991 9.92 1992 9.91 2000 9.85记中国女子的原始数列为(0)(11.95,11.66,11.63,11.65,11.35,11.32,11.58,11.32)X =同样建立GM(1,1)模型，得到预测模型为(1)0.00451067ˆ(1)(11.952602.187)2602.187k Xk e -+=-+ 从而得到中国女子100m 成绩的预测值年份 模型预测值/s1991 11.30 1992 11.24 2000 10.8512.5.2 模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验．（1）残差检验按预测模型计算(1)ˆ()X i ，并将(1)ˆ()Xi 累减生成(0)ˆ()X i ，然后计算原始序列X (0)(i ) 与(0)ˆ()Xi 的绝对误差序列及相对误差序列．(0)(0)(0)ˆ()|()()|1,2,,i X i Xi i n ∆=-=L(0)(0)()()100%1,2,,()i i i n X i ∆Φ=⨯=L（2）关联度检验 定义1 选取参考数列00000{()|1,2,,}((1),(2),,())X X k k n X X X n ===L L其中k 表示时刻．假设有m 个比较数列{()|1,2,,}((1),(2),,())1,2,,i i i i i X X k k n X X X n i m ====L L L则称 0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+- （1）为比较数列X i 对参考数列X 0在k 时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5．称式（1）中min min ik| X 0(k )-X i (k )|、max max ik| X 0(k )-X i (k )|分别为两级最小差和两级最大差．由（1）式易看出，ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小．式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出以下定义定义2 称11()ni i k r k n ξ==∑ （2）为数列X i 对参考数列X 0的关联度．由式（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，也就是把过于分散的信息集中处理．根据前面所述关联度计算方法计算出(0)ˆ()Xi 与原始序列X (0)(i )的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了．（3）后验差检验1.计算原始序列标准差：1S =2.计算绝对误差序列的标准差：2S =3.计算方差比：21S C S =4.计算小误差概率：(0)(0)1{|()|0.6745}P p i S =∆-∆<令(0)(0)01|()|,0.6745,i e i S S =∆-∆=则0{}i P p e S =<．表7 检验标准若残差检验、关联度检验和后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测；若用原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型检验不合格或精度不理想时，这时要对建立的GM(1,1)模型进行修正或提高模型的预测精度．其修法如下：设原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型为(1)(0)ˆ(1)((1))ai u u Xi X e aa-+=-+ 可获得生成序列X (1)的预测值(1)ˆX ，即对于(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}XX X X n =L ，有预测序列(1)(1)(1)(1)ˆˆˆˆ{(1),(2),,()}XXX X n =L ，定义残差为 (0)(1)(1)ˆ()()()e j X j Xj =- 若取j=i ,i+1,…,n ,则与X (1)及(1)ˆX对应的残差序列为(0)(0)(0)(0){(),(1),,()}ee i e i e n =+L为便于计算上式改写为(0)(0)(0)(0){(1),(2),,()}ee e e n '''=Le (0)的累加生成序列为(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}ee e e n n n i ''''==-Le (1)可建立相应的GM(1,1)模型：(1)(0)ˆ(1)((1))e a k e ee eu u ek e e a a -+=-+ (1)ˆ(1)ek +的导数(1)(0)ˆ(1)()((1))e a k e e eu e k a e e a --'+=--加上(1)ˆ(1)ek +修正(1)ˆ(1)X k +，得修正模型：(1)(1)(0)(0)ˆ(1)((1))(1)()((1))e a k ak e eeu u u X k X e k a e e a a a δ---+=-+--- 其中1,2(1)0,2k k k δ≥⎧-=⎨<⎩为修正系数．最后给出经过残差修正的原始序列预测模型：(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()(1,2,)Xk X k X k k +=+-=L§12.6 灰色预测模型案例一、问题描述表8给出了市1991年－1996年国生产总值总消费资料．生产决定消费，国生产总值总消费决定了居民的消费水平，为此很有必要对国生产总值总消费进行科学预测，分析国生产总值总消费发展趋势，为宏观经济政策的制定提供重要的参考．表8 国生产总值总消费 单位：亿元试根据表8的资料，建立市国生产总值总消费的灰色预测模型GM(1,1)，并预测市1998年国生产总值总消费．二、模型的建立及求解1.令X (0)(1),X (0)(2),…,X (0)(6)对应于原始序列数据．第一步，构造累加生成序列：(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)386.06(2)(1)(2)862.63(3)(2)(3)1541.98(4)(3)(4)2415.87(5)(4)(5)3501.2(6)(5)(6)4753.53X X X X X X X X X X XX X X X X X ===+==+==+==+==+=第二步，构造数据矩阵B 和数据向量Y 1：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]121624.3451[(2)(3)]121202.305111978.9251[(3)(4)]122958.53511[(4)(5)]14127.365121[(5)(6)]12X X X X B X X X X X X ⎛⎫-+ ⎪⎪⎪-⎛⎫-+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ -+⎪-⎝⎭⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎪ 1476.57679.35873.891085.331252.33Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第三步，计算B T B , (B T B )-1, B T Y 1：31539559.341081.4751081.4755T B B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，10.000000120.000278742()0.0002787420.808183989T B B -⎛⎫= ⎪⎝⎭111223502.574367.47T B Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，110.207987503ˆ()396.8903031T T B B B Y α--⎛⎫== ⎪⎝⎭即0.207987503396.8903031a μ=-⎧⎨=⎩第四步，得出预测模型：(1)(1)0.207987503396.8903031dX X dt-= (0)(1)386.061908.241108X aμ==-(0)(1)2294.301108X aμ-=(1)0.207988(1)2294.3011081908.241108k X k e +=-三、模型检验第五步，进行关联度检验：（1）计算：(1)0,(2)53.87,(3)26.28,(4)69.82,(5)95.37,(6)33.48,∆=∆=∆=∆=∆=∆=min{()}0,max{()}95.37k k ∆=∆=（2）计算关联系数：(1)1,(2)0.47,(3)0.64,(4)0.41,(5)0.33,(6)0.59ξξξξξξ======0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+-1(10.470.640.410.330.59)0.5736r =+++++=，0.573r =是基本满足0.5ρ=时，r >0.57的．所以关联度检验通过．第六步，后验差检验：（1）计算：(0)1(386.06476.57679.35873.891085.331252.33)792.2556X=+++++=1341.065S ==（2）计算残差的均值：1(053.8726.2869.8295.3733.48)46.476∆=+++++= 残差的标准差：233.8438S ==，2133.84380.09923341.065S C S === 010.67450.6745341.065230.048S S ==⨯=|()|{46.47,7.4,20.19,23.35,48.9,12.98}k e k =∆-∆=所有e k 都小于S 0，故P=1,C<0.35．所以后验差检验通过．第七步，残差检验：（1）计算(1)(1)(1)(1)386.06,(2)916.498734,(3)1569.574052,X X X ===(1)(1)(1)(4)2373.639335,(5)3363.603222,(6)4582.44517X X X ===（2）累减生成序列：(0)(0)(0)ˆˆˆ(1)386.06,(2)530.44,(3)653.07XX X ===(0)(0)(0)ˆˆˆ(4)804.07,(5)989.96,(6)1218.35XX X === （3）计算绝对误差序列及相对误差序列：绝对误差序列△(0)={0,53.87,26.28,69.82,95.37,33.48}相对误差序列Ф={0,11.3%,3.87%,7.99%,8.79%,2.67%}相对误差序列中有的相对误差很大，所以要对原模型进行残差修正以提高精度．（4）利用残差对原模型进行修正：取 e (0)={53.87,26.28,69.82,95.37,33.48}e (1)={53.87,80.15,149.94,245.34,278.82}得(1)0.0589ˆ(1)848.1722794.3022k e k e +=-最后得修正模型为：(1)0.2079880.0589(1)ˆ(1)2294.3011081908.24118(1)49.9573k k Xk e k e δ-+=-+- 其中1,2(1)0,2k k k δ≥⎧-=⎨<⎩． 表9 修正后的残差计算表因此，可用上述经过残差修正后的模型来预测市1998年国生产总值总消费：(1)(1)==X X(7)6150.15,(8)8001.80故市1998年国生产总值总消费预测值为：(1)(1)X X-=（亿元）(8)(7)1851.65注：灰色预测是通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测．一个模型要经过多种检验才能判定其是否合理有效，只有通过检验的模型才能用作预测．。

灰色预测模型建模流程灰色预测模型是一种基于时间序列数据的预测方法，可以用于预测未来的趋势和变化。

下面将介绍灰色预测模型的建模流程。

一、数据收集和预处理在建立灰色预测模型之前，首先需要收集相关的时间序列数据。

这些数据可以是销售额、产量、股票指数等，具体根据预测的对象而定。

收集到的数据需要进行预处理，包括去除异常值、平滑数据等操作，以确保数据的稳定性和可靠性。

二、建立灰色模型1. 灰色模型的基本原理灰色模型是根据系统的发展规律，通过对历史数据进行分析和处理，建立数学模型来描述和预测系统的发展趋势。

它基于灰色关联度的概念，将数据分为发展态势和发展水平两部分，通过灰色微分方程建立模型。

2. 灰色模型的建立步骤灰色模型建立的基本步骤包括：（1）确定发展态势和发展水平数据；（2）构造累加生成数列；（3）建立灰色微分方程；（4）求解灰色微分方程的参数；（5）进行模型检验和精度评价。

三、模型检验和精度评价建立灰色模型后，需要对模型进行检验和评价，以确保模型的可靠性和准确性。

模型检验的方法包括残差检验、白噪声检验等，通过对模型的残差进行分析，判断模型是否合理。

精度评价的指标主要包括平均相对误差、平均绝对误差等，通过计算这些指标可以评估模型的预测精度。

四、模型应用和预测在模型检验和评价通过后，可以使用灰色预测模型进行未来的预测。

根据建立的模型，通过输入新的数据，可以得到未来的预测结果。

预测结果可以用于决策支持、规划和调整等方面，帮助人们做出合理的决策。

总结：灰色预测模型是一种基于时间序列数据的预测方法，可以用于预测未来的趋势和变化。

建立灰色预测模型的流程包括数据收集和预处理、建立灰色模型、模型检验和精度评价、模型应用和预测。

通过这个流程，可以得到准确可靠的预测结果，为决策提供参考和支持。

灰色预测模型具有简单、高效、灵活等特点，已经在各个领域得到广泛应用。

什么是灰色预测法?灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。

白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。

而黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。

灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测的类型①灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

②畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

③ 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

④拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

关联度生成数列分类通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。

累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。

b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。

累减生成可将累加生成还原成非生成数列。

c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。

灰色预测关系式记x(0)为原始数列x(0)=(x(0)(k)xk=1,2,…，n)=(x（0）⑴，x（0）⑵，…，x(0)(n))记x⑴为生成数列x⑴=(x⑴（k）xk=1,2，…，n)=(x⑴⑴，x⑴⑵，…，x⑴（n）)如果x(0) 与x⑴之间满足下列关系，即称为一次累加生成。