数学建模-灰色预测方法

灰色模型算术公式灰色模型是一种用于预测和分析数据的方法，其基本思想是将数据分为两类：已知数据和未知数据。

已知数据是指已经确定并可以用来建模的数据，而未知数据则是需要预测或者分析的数据。

为了对未知数据进行预测或分析，灰色模型使用了灰色系统理论中的灰色预测方法。

灰色模型的算术公式包括：灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等。

其中，灰色微分方程是灰色预测方法的核心公式，它的形式为：$$ frac{dx}{dt} + a x = u $$其中，$x$ 表示原始数据序列，$t$ 表示时间，$a$ 表示灰色微分方程的参数，$u$ 表示灰色微分方程的非齐次项。

通过对该方程进行求解，可以得到灰色模型的预测结果。

另外，灰色模型GM(1,1)是一种常用的灰色预测模型，它的基本形式为：$$ x(k+1) = (x(1)-frac{u}{a})e^{-ak} + frac{u}{a} $$ 其中，$x(k+1)$ 表示预测值，$x(1)$ 表示初始值，$a$ 和$u$ 分别表示灰色微分方程的参数。

通过对历史数据进行处理，可以得到灰色模型GM(1,1)的预测结果。

此外，灰色关联度是用于分析数据间关系的一种方法，在灰色系统理论中被广泛应用。

灰色关联度的计算公式为：$$ r_{ij} = frac{sum_{k=1}^nmin(x_i(k),x_j(k))}{sum_{k=1}^n x_i(k)} $$其中，$x_i(k)$ 和 $x_j(k)$ 分别表示第 $i$ 个和第 $j$ 个数据在第 $k$ 个时刻的值，$n$ 表示时刻数。

通过计算灰色关联度，可以了解数据之间的关系，从而对其进行进一步的分析和预测。

总之，灰色模型的算术公式包括灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等，这些公式是灰色预测和分析方法的核心内容。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算和分析。

算法简介1、灰色预测模型（必掌握） 灰色预测模型使用范围：①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式③只适合做中短期预测，不适合长期预测。

灰色预测原理比较简单，详细的可以参考司守奎《数学建模算法与应用》。

需要注意的几点是：（1）灰色预测的使用范围（2）灰色预测中的“级比”如果级比不在范围要对数据进行处理。

（3）司老师书中的代码，并没有运行出后面的运行结果，如果想运行出预测的结果，看下面的说明。

（4）在使用灰色预测的时候要考虑残差等（见代码的最后三行） （5）代码直接复制粘贴文本文档的文件就可以了。

（6）文本文档是给出了两种代码，不要复制错了，第一个是司老师书中的。

第二个是学员提交的作业，可以直接得出预测结果，但是没有检验结果。

例 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见1。

表1 城市交通噪声数据/dB(A)序号 年份 eq L序号 年份 eq L1 1986 71.1 5 1990 71.42 1987 72.4 6 1991 72.03 1988 72.4 7 1992 71.6 4198972.1该例题源代码如下： clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';%注意这里为列向量 n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 range=minmax(lamda') %计算级比的范围 x1=cumsum(x0); %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); u=B\Y syms x(t)x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。

第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。

灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。

对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。

模型的选择不是一成不变的。

一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。

只有通过检验的模型才能用来进行预测。

本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。

7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。

是一个确定的数。

海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。

某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。

人的身高、体重等是连续灰数。

5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。

6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。

非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。

我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。

如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。

从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。

灰色预测模型建模流程灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，主要用于处理样本数据有限、信息不完整或不确定的情况下的预测问题。

灰色预测模型的建模流程包括以下几个步骤：问题描述、数据序列预处理、建立灰色预测模型、模型检验与优化、预测与评价。

在进行灰色预测之前，需要明确问题的描述和目标。

例如，我们要预测某个产品的销售量，目标是根据历史数据推测未来一段时间内的销售趋势。

明确问题描述和目标有助于确定预测模型的输入和输出。

第二步是数据序列的预处理。

预处理的目的是对原始数据进行平滑、去噪和规范化，以提高模型的精度和可靠性。

常用的预处理方法有累加生成序列、均值生成序列和一次累加生成序列等。

预处理后的数据更符合灰色预测模型的要求。

第三步是建立灰色预测模型。

灰色预测模型有多种，常用的有灰色关联度模型、灰色马尔可夫模型和灰色GM(1,1)模型等。

根据问题的特点和数据的特征选择适合的模型进行建模。

以灰色GM(1,1)模型为例，该模型假设数据序列满足一阶线性累加规律，通过建立累加生成序列和非累加生成序列的微分方程，利用最小二乘法进行参数估计，得到模型的参数。

第四步是模型检验与优化。

在建立模型之后，需要对模型进行检验和优化，以保证模型的准确性和可靠性。

常用的检验方法有残差检验、后验差检验和累计误差检验等。

如果模型检验结果不理想，则需要对模型进行调整和优化，提高模型的拟合度和预测精度。

最后一步是预测与评价。

在模型检验通过后，可以使用建立好的灰色预测模型对未来的数据进行预测。

预测结果可以通过计算相对误差、平均相对误差和均方根误差等指标进行评价，以评估模型的预测效果。

总结来说，灰色预测模型的建模流程包括问题描述、数据序列预处理、建立灰色预测模型、模型检验与优化、预测与评价等步骤。

通过合理选择模型、优化模型参数和评价预测结果，可以提高灰色预测模型的准确性和可靠性，为决策提供科学依据。

【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。

2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。

目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。

灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。

3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。

二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。

目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。

在市场经济条件下,影响药品市场销售量的因素很多，如何准确预测药品销售量，对药品生产厂家来说尤为重要。

没有确切的预测数字，药品生产数量不足，会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果生产过剩，一时销售不出去，造成药品积压占用流动资金，影响资金周转，也会造成经济损失。

因此，掌握一个较为准确的预测药品销售量的方法是很重要的。

常见的定量化预测方法，大多是应用“趋势外推”的思想，当历史资料较少而预测的时间跨度又较长时，往往遇到困难。

灰色系统预测模型-GM （1，1），近年来的应用实践表明，这种预测方法有较好的准确性和适应性。

根据2012年的各个月各个销售点的需求量来预测2013年的各个销售点的月需求量问题。

模型建立假设原始数据是：000(1)(2)......()x x x n 、希望的到观测值令 00(1)(2)......x n x n ++、、令11()()ki x k x i ==∑（k=2,3,...,n),称为原始数据的一次累加生成序列。

不难理解，非负序列经多次累加后的生成数列将表现出良好的指数增长特性。

由微积分学知道，一个随时间按指数规律变化的连续变量1()y x t =可以看作下列微分方程d y a y b d x+= （1） 的解：对该方程求解,将时间t 离散化，得： 10(1)[(1)]a kb b x k x ea a-+=-+（2）由的定义求原函数列的公式为： 011(1)(1)()x k x k x k +=+- （3）取k ≥n 的正整数，即可得所求预测值0(1),(2),........x n x n ++。

上述（1）、（2）、（3）构成所谓GM （1,1）预测模型。

模型中参数a 、b 由最小二乘法原理求得：1()TTa A A A Bb -⎛⎫= ⎪⎝⎭ （4）其中1111111[(1)(2)]121[(2)(3)]12............1[(1)()]12x x x x A x n x n ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭00(2)(3)........()x x Bx n ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由（4）式求得a 、b 后，带入（2）式算出再由（3）式便可算出所求的预测值。

数学建模-灰⾊预测模型GM（1,1）_MATLAB %GM(1,1).m%建⽴符号变量a(发展系数)和b(灰作⽤量)syms a b;c = [a b]';%原始数列 AA = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填⼊已有的数据列！n = length(A);%对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);%对数列 B 做紧邻均值⽣成for i = 2:nC(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;endC(1) = [];%构造数据矩阵B = [-C;ones(1,n-1)];Y = A; Y(1) = []; Y = Y';%使⽤最⼩⼆乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作⽤量)c = inv(B*B')*B*Y;c = c';a = c(1);b = c(2);%预测后续数据F = []; F(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %这⾥10代表向后预测的数⽬，如果只预测⼀个的话为1F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;end%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G = []; G(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %10同上G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据enddisp('预测数据为：');G%模型检验H = G(1:10); %这⾥的10是已有数据的个数%计算残差序列epsilon = A - H;%法⼀：相对残差Q检验%计算相对误差序列delta = abs(epsilon./A);%计算相对误差Qdisp('相对残差Q检验：')Q = mean(delta)%法⼆：⽅差⽐C检验disp('⽅差⽐C检验：')C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)%法三：⼩误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);disp('⼩误差概率P检验：')P = length(tmp)/n%绘制曲线图t1 = 1995:2004;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5...t2 = 1995:2014;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5... plot(t1, A,'ro'); hold on;plot(t2, G, 'g-');xlabel('年份'); ylabel('污⽔量/亿吨');legend('实际污⽔排放量','预测污⽔排放量'); title('长江污⽔排放量增长曲线'); %都⽤⾃⼰的grid on;。

灰色预测模型步骤灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，其核心是建立一个数学模型来预测未来的发展趋势。

在实践中，灰色预测模型通常应用于经济、社会和环境等各个领域，以帮助决策者制定合理的规划和决策。

灰色预测模型的步骤主要包括以下5个方面：1、建立模型的数据预处理数据预处理是计算机处理向灰色预测模型输入数据的第一步。

在预处理过程中，需要对原始数据进行标准化处理，将非数值型数据转换为数值型数据，同时还需要对数据的质量进行评估，识别和剔除异常值。

2、建立灰色驱动模型在数据预处理后，需要建立一个灰色驱动模型。

该模型是一种简化的数学模型，用于描述因变量和自变量之间的离散关系。

此外，该模型还需要根据实际的情况调整参数，以提高模型的准确性。

3、对模型进行验证在灰色预测模型中，模型验证是非常重要的一步。

通过对模型进行验证，可以评估模型的预测精度，并确定预测误差的可接受范围。

如果模型的预测误差过大，则需要进一步调整模型，以获得更准确的预测结果。

4、进行预测在完成模型的验证后，需要对所建立的模型进行预测。

预测的结果通常是未来的某个时间点的数值预测。

预测结果需要基于实际情况进行解读和分析，并形成有效的决策参考。

5、模型的评价和修正最后，需要对模型进行评价和修正。

因为灰色预测模型是一种逐步调整的预测方法，因此需要在应用过程中进行持续的评价和修正。

通过评价，可以确定模型的适用性和准确性，从而更好地应对未来的预测任务。

总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，可以在很大程度上提高预测精度和决策效率。

通过逐步的建模和修正，该方法可以为各个领域提供更好的预测和决策参考。