用球坐标写出球摆的哈密顿正则方程泊松括号哈密顿力学一般是指以哈密顿函数为主函数的力学体系。
哈密顿函数一个罗斯函数的一个显然的推广：将朗格朗日力学中的所有的qk,q˙k换成qk,pk即可，事实上，这也正是数学上定义的勒让德变换。
将L中显含的时间t视作参数不参与变换，我们有：dL(qk,q˙k)=∑k∂L∂qkdqk+∑k∂L∂q˙kdq˙k按照动量定义式pk=∂L∂q˙k和拉格朗日方程：p˙k=∂L∂qk带入上面的式子：dL(qk,q˙k)=∑kp˙kdqk+∑kpkdq˙k我们的目标是让上面的式子不含dq˙k，所以利用pkdq˙k=d(pkq˙k)−q˙kdpk带入上面的式子:dL(qk,q˙k)=∑kp˙kdqk+∑kd(pkq˙k)−∑kq˙kdpk简单的合并一下得到：d(∑kpkq˙k−L)=−∑kp˙kdqk+∑kq˙kdpk那么根据全微分的定义，被微分的函数是qk,pk的函数，那么定义H=∑kpkq˙k−L就是很自然的。
对于主函数为H(pk,qk,t)，写出它的全微分，有：dH=−∑kp˙kdqk+∑kq˙kdpk所以：∂H∂qk=−p˙k,∂H∂pk=q˙k,左边的方程也称作哈密顿方程，他与前面的拉格朗日-欧拉方程的信息完全一样。
也就是，哈密顿力学给出了力学的另一个表述形式。
启动哈密顿力学有一些绝妙的好处，首先是其上可以定义一个代数（事实上，无歧义来说，代数是指的一个线性代数，而我们这里事实上是一个李代数，如果你没有学过高等代数，请忽略。
）考虑一个力学量，在(pk,qk)张成的空间中，哈密顿已知，为了探讨这个量，我们考虑做他的全微分：df(pk,qk,t)=∑k(∂f∂pkdpk+∂f∂qkdqk)+∂f∂tdt，由于系统的哈密顿已知，系统的全部信息都已经被获取，事实上任何力学量都只依赖于时间，带入哈密顿方程，消去dqk,dpk，得到：dfdt=∂f∂t+∑k(∂f∂qk∂H∂pk−∂f∂pk∂H∂qk)，用一些带有启发性的标记标记括号中的内容：dfdt=∂f∂t+∑k∂(H,f)∂(pk,qk)，引入泊松括号：{H,f}=∑k∂(H,f)∂(pk,qk)那么dfdt=∂f∂t+∑k∂(H,f)∂(p,q)=∂f∂t+∑k∂(H,f)∂(p,q)=∂f∂t+{H,f}p,q=[∂∂t+{H,⋅}]f那么抽调出“算符”的形式，有：ddt=∂∂t+{H,⋅}回想牛顿力学中，转动参照系的导数，即考虑一个矢量在原参考系的导数和转动参考系的导数，有：dG→dt|fixed=dG→dt|rot+ω→×G→;，抽调成算符：ddt|fixed=ddt|rot+ω→×我们自然的联想到，泊松括号这个二元算符（指有两个量参加运算，如：加法、减法、乘法等），和叉积的相似性。
