第七章正则方程

正则化原理总结正则化理论（Regularization Theory）是 Tikhonov于1963年提出的⼀种⽤以解决逆问题的不适定性的⽅法。

不适定性通常由⼀组线性代数⽅程定义，这组⽅程组由于具有很⼤的系数⽽使得它的反问题（已知系统输出求输⼊）存在多解。

正则化理论就是⽤来对原始问题的最⼩化经验误差函数（损失函数）加上某种约束，这种约束可以看成是⼈为引⼊的某种先验知识(正则化参数等价于对参数引⼊先验分布)，从⽽对原问题中参数的选择起到引导作⽤，因此缩⼩了解空间，也减⼩了噪声对结果的影响和求出错误解的可能，使得模型由多解变为更倾向其中⼀个解。

也就是说，正则化项本质上是⼀种先验信息，整个最优化问题从贝叶斯观点来看是⼀种贝叶斯最⼤后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息（不同的正则化项具有不同先验分布），损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积则对应贝叶斯最⼤后验估计的形式。

附加的先验信息强⾏地让系统学习到的模型具有⼈们想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等，约束了梯度下降反向迫使最终解倾向于符合先验知识。

接下来的问题是我们应该引⼊什么样正则项作为先验知识，才能准确⾼效地缩⼩解空间？⼀切⽅法的动机来源于⼈们⼀直以来对科学的“简洁性”、“朴素性”和“美”的深刻认同，这⼀经典理念可以⽤14世纪逻辑学家Occam提出的“奥克姆剃⼑”原理表述，它长久以来被⼴泛运⽤在⼈们对⾃然科学、社会科学的探索和假设之中：Entities should not be multiplied unnecessarily，译作“若⽆必要，勿增实体”，即“简单有效原理”。

说到这⾥还想多说⼏句题外话。

其实⾄少从亚⾥⼠多德以来，在哲学界、科学界陆续有很多⼈针对不同的场景、以种种⽅式提出了类似的观点。

科学家们⽤这种⽅式，作为建⽴基本假设的原则、作为想象⼒的出发点和思考的⼤⽅向、作为模型选择和建⽴的依据，最终得到了被实验事实所验证的理论学说，⽐如：⽜顿经典⼒学、麦克斯韦⽅程中位移电流的假设、进化论中进化机制的构想、狭义相对论两个基本假设的建⽴、⼴义相对论场⽅程的推导等等，当然它在如今的管理学、经济学等领域同样被⼴泛运⽤。

正则化详解⼀、为什么要正则化 学习算法，包括线性回归和逻辑回归，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应⽤到某些特定的机器学习应⽤时，会遇到过拟合(over-fitting)的问题，可能会导致它们效果很差。

正则化(regularization)技术，可以改善或者减少过度拟合问题，进⽽增强泛化能⼒。

泛化误差（generalization error）= 测试误差（test error），其实就是使⽤训练数据训练的模型在测试集上的表现（或说性能 performance）好不好。

如果我们有⾮常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够⾮常好地适应训练集（代价函数可能⼏乎为0），但是可能会不能推⼴到新的数据。

下图是⼀个回归问题的例⼦： 第⼀个模型是⼀个线性模型，⽋拟合，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是⼀个四次⽅的模型，过于强调拟合原始数据，⽽丢失了算法的本质：预测新数据。

我们可以看出，若给出⼀个新的值使之预测，它将表现的很差，是过拟合，虽然能⾮常好地适应我们的训练集但在新输⼊变量进⾏预测时可能会效果不好；⽽中间的模型似乎最合适。

分类问题中也存在这样的问题：就以多项式理解，x的次数越⾼，拟合的越好，但相应的预测的能⼒就可能变差。

如果我们发现了过拟合问题，可以进⾏以下处理： 1、丢弃⼀些不能帮助我们正确预测的特征。

可以是⼿⼯选择保留哪些特征，或者使⽤⼀些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。

2、正则化。

保留所有的特征，但是减少参数的⼤⼩（magnitude）。

⼆、正则化的定义 正则化的英⽂ Regularizaiton-Regular-Regularize，直译应该是"规则化"，本质其实很简单，就是给模型加⼀些规则限制，约束要优化参数，⽬的是防⽌过拟合。

其中最常见的规则限制就是添加先验约束，常⽤的有L1范数和L2范数，其中L1相当于添加Laplace先验，L相当于添加Gaussian先验。

量子力学中的正则方程与量子路径积分量子力学是物理学中的重要分支，研究微观粒子的行为和相互作用。

其中，正则方程和量子路径积分是量子力学的两个核心概念。

首先，让我们简要介绍正则方程。

正则方程是量子力学中描述粒子运动轨迹的方程，它与哈密顿力学紧密相关。

在经典物理中，我们可以通过拉格朗日力学或哈密顿力学来描述粒子的运动。

而在量子力学中，我们需要采用一种量子化的方法来描述微观粒子的运动。

正则方程正是在这个过程中发挥重要作用的数学工具。

正则方程的基本原理是哈密顿力学中的正则变量和正则动量之间的关系。

正则变量是系统中的广义坐标的函数，而正则动量则是广义速度的函数。

在经典物理中，正则方程描述了系统的运动，通过解这些方程，我们可以得到系统的轨迹。

在量子力学中，正则方程同样也扮演了非常重要的角色。

通过求解正则方程，我们可以得到量子态的演化规律，从而了解粒子在不同状态下的行为。

现在，让我们来介绍一下量子路径积分。

量子路径积分是研究量子力学中粒子运动的一种方法，它是由费曼在20世纪50年代提出的。

量子路径积分的基本思想是将粒子的所有可能路径都考虑进去，并对它们进行适当的加权求和。

这样，我们就可以得到粒子在不同路径上的概率幅度。

量子路径积分的核心是费曼路径积分表达式。

该表达式通过对时间的积分来计算粒子行为的概率幅度。

具体而言，费曼路径积分的计算是在时间的离散化上进行的，将时间划分为无数个小时间片。

然后，通过对每个时间片的粒子位置进行积分，最终得到整个路径上的概率幅度。

正则方程和量子路径积分在量子力学中有着广泛应用。

正则方程可以用来描述粒子在势能场中的运动，从而了解粒子的反射、透射、散射等现象。

而量子路径积分则可以用来计算各种物理量的期望值，比如能量、动量和角动量等。

通过正则方程和量子路径积分的研究，我们可以深入了解量子力学中微观粒子的行为规律，揭示出微观世界的奥秘。

当然，正则方程和量子路径积分的研究还存在一些问题和挑战。

第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。

[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。

第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。

主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。

结构系统的建模过程可分为两个过程。

首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。

取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。

这个过程是个重要的定性过程。

然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。

这是个定量过程。

建立有限元模型采用的是离散化概念。

在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。

在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。

在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。

在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。

最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。

7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。

结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。

选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。

数学公式正则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学公式正则，即正则表达式用来匹配数学公式的模式，是在处理数学相关文档时非常有用的工具。

正则表达式是一种用于描述文本模式的工具，通过定义一些规则来进行文本的匹配和查找。

在处理数学公式时，我们需要一些特定的规则来匹配公式中的各种组成部分，如数学符号、变量、运算符等。

本文将介绍数学公式正则的一些基本规则和应用场景。

一、基本规则1. 数字匹配：匹配一个或多个数字的规则。

\d+可以匹配一个或多个连续的数字。

3. 变量匹配：匹配一个或多个字母的规则。

[a-zA-Z]匹配一个字母。

4. 操作符匹配：匹配特定操作符的规则。

[+\-*/]可以匹配加减乘除四种操作符。

5. 括号匹配：匹配括号的规则。

\(匹配左括号，\)匹配右括号。

6. 上标、下标匹配：匹配上标、下标的规则。

^匹配上标，_匹配下标。

7. 分式匹配：匹配分式的规则。

\d+/\d+可以匹配任意一个分式。

以上是一些基本的数学公式正则规则，通过这些规则可以匹配一些基本的数学公式。

下面我们将介绍一些更复杂的数学公式正则规则。

二、应用场景1. 简单数学公式匹配：可以使用\d+[+\-*/]\d+来匹配简单的加减乘除公式。

4. 指数函数匹配：可以使用[a-zA-Z]\^\d+来匹配指数函数。

通过上述规则和应用场景，我们可以实现对数学公式的有效匹配和查找。

数学公式正则的应用不仅可以用于简单的数学计算，还可以用于数学文档的处理和分析。

在处理数学相关文档时，数学公式正则是非常有用的工具，可以提高文档处理的效率和准确性。

第二篇示例：数学公式是数学中最基本也是最重要的表达方式之一，它通过符号和字母的组合，用于描述数学规律和关系。

在数学研究和应用领域中，数学公式的准确性和规范性至关重要。

而数学公式的正则表达式则是用来描述和匹配数学公式的一种方法。

在计算机科学中，正则表达式是一种用来描述文本模式的字符串的工具，可以用来检查文本是否符合某种模式。

正则方程矩阵理论
所有矩阵经过初等行变换以后都能变成分块矩阵，其中一块是一个I矩阵，其他是0的分块矩阵，这样的分块矩阵叫做正则矩阵在环中，“正则”和“可逆”是两个概念。

但在方阵环中，“正则”和“可逆”等价。

由于中国大学一般只学一点线性代数，所以“正则”一般不讲。

我们常见的实数矩阵和复数矩阵中，正则矩阵=可逆矩阵。

我们还是先思考一个问题，为什么会出现正则化这个名词。

我们在讲解最小二乘法的时候，会遇到过拟合（又叫“高方差”）的现象。

简单说过拟合现象，使用高维函数进行数据拟合时，为了使误差达到最下，拟合后的函数对当前训练数据误差比较小。

但是当新的数据加入的时候，拟合的函数性能表现很差。

在这里说到过拟合，就不得不说一下欠拟合（又叫“高偏差”）。

欠拟合其实就是我们假设的函数模型是低维，在根据数据进行拟合的时候，不能很好得到数据本质特性。

那么我们如何解决过拟合这个现象呢，主要有两种方法：尽量减少选取变量的数量；加入正则化。

其中减少选取变量的数量，说白了就是我们人为经过对数据进行分析，将一些对判定结果不重要的特征信息去除，来达到减少变量数量目的。

但是这样也会造成模型假设的不精确，例如，我们要拟合一下每天进出北京车的数量，由于出现过拟合，我们可能认为河北、天津等北京周边信息对解决该问题的意义不是很大，而删除该特征信息。

但是有的时候确实会存在，周边地区
政策或者其它原因，导致进出北京车辆的数目增加。

因此，删除该特征信息，会造成降低模型的精确度。

正则化方程正则化方程是机器学习中常用的一种方法，用于解决过拟合的问题。

在机器学习中，我们常常会面临一个问题，就是模型在训练数据上表现良好，但在新的数据上表现较差。

这种现象被称为过拟合。

过拟合的原因是模型过于复杂，过多地拟合了训练数据中的噪声，导致对新数据的泛化能力较差。

为了解决这个问题，我们可以引入正则化的概念。

正则化是通过在损失函数中添加一个正则化项来限制模型的复杂度。

正则化项通常是模型参数的平方和，也被称为L2正则化。

正则化项的引入可以使模型更加简单，减少模型对训练数据中噪声的拟合，从而提高模型在新数据上的表现。

正则化方程可以表示为：J(θ) = L(θ) + λR(θ)其中，J(θ)是正则化后的损失函数，L(θ)是原始的损失函数，R(θ)是正则化项，θ是模型的参数，λ是正则化参数。

正则化参数λ控制了正则化项在损失函数中的权重。

当λ趋近于0时，正则化项的影响变小，模型更容易过拟合；当λ趋近于无穷大时，正则化项的影响变大，模型更容易欠拟合。

因此，我们需要根据实际情况选择合适的λ值。

通过引入正则化项，正则化方程可以使模型在训练数据上拟合得更好，同时又能够保持模型的简单性。

在实际应用中，正则化方程被广泛应用于线性回归、逻辑回归、神经网络等机器学习算法中。

以线性回归为例，我们可以将线性回归的损失函数表示为：J(θ) = 1/2m * ∑(hθ(xi) - yi)^2 + λ/2m * ∑θ^2其中，m是训练样本的数量，hθ(xi)是模型对第i个样本的预测值，yi是第i个样本的真实值，θ是模型的参数。

正则化项λ/2m * ∑θ^2是用来限制模型参数θ的大小的。

当λ趋近于无穷大时，正则化项的影响变大，模型的参数会趋向于0，从而使模型更加简单。

这样可以有效地减少过拟合的风险，提高模型在新数据上的表现。

正则化方程的引入可以有效地改善模型的泛化能力，避免过拟合的问题。

通过合理选择正则化参数λ，我们可以在保持模型拟合能力的同时，使模型更加简单，提高模型的泛化能力。

normal equation正则方程
我们要了解什么是Normal Equation（正则方程）。

首先，我们需要知道什么是Normal Equation。

在统计学和线性代数中，Normal Equation（正则方程）是一个方程组，用于描述线性回归模型中的参数。

它是最小二乘法（Least Squares Method）的直接结果。

对于一个线性回归模型y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp，Normal Equation可以表示为：
(X'X)β = X'y
其中，X是设计矩阵，β是参数向量，y是响应变量。

现在，我们来详细解释一下这个方程：
1. X'X 是X的转置矩阵与X的乘积。

它是一个对称矩阵，用于描述X
中每个特征与每个特征之间的交互。

2. X'y 是X的转置矩阵与y的乘积，它是一个向量。

3. β 是我们要找的参数向量，它使得模型y = β0 + β1x1 +
β2x2 + ... + βpxp 尽可能地接近实际数据。

通过解Normal Equation，我们可以找到最佳拟合数据的参数β。

计算结果为：β = {b0: 1, b1: 0, b2: 1}
所以，通过解Normal Equation，我们找到了最佳拟合数据的参数β。