经典力学的哈密顿理论(精)

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。

教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。

教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。

§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。

一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。

为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。

其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。

2.极坐标、柱坐标和球坐标。

用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。

在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。

其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。

从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。

另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。

3.广义坐标。

反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。

它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。

广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。

另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。

下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。

经典力学中的哈密顿力学经典力学是研究物体运动的学科，是描述宏观物体运动的物理学分支。

在经典力学中，哈密顿力学是一种与牛顿力学等其他形式的力学相比较而独特的表述方式。

1. 哈密顿力学的定义哈密顿力学是由W.R. Hamilton在19世纪的初期发展起来的。

它是经典力学的一种数学表述方式，而不是新的力学理论。

在哈密顿力学中，对于物体的运动是由哈密顿函数和哈密顿方程来描述的。

哈密顿函数H是一种描述物体状态的函数，它由物体的位置和动量组成。

哈密顿函数可以看作一个确定物体状态的函数，通常情况下，它的定义是：H = T + V，其中T是动能，V是势能。

对于一个系统，T和V是已知的。

哈密顿方程是描述经典力学中物体运动的基本方程之一。

在哈密顿力学中，物体的运动由哈密顿函数和哈密顿方程来描述。

2. 哈密顿力学的应用哈密顿力学的应用范围广泛。

例如，它可以用来描述分子运动、经济系统、天体力学等问题。

在分子运动中，哈密顿力学可以用来计算分子的能量和动量。

在经济系统中，哈密顿力学可以用来描述经济交易和市场价格的变化。

在天体力学中，哈密顿力学可以用来描述行星的运动和轨道。

在物理学中，哈密顿力学的应用也非常重要。

哈密顿力学在量子力学中的应用，特别是在量子场论和量子微扰理论中，是不可缺少的。

3. 哈密顿力学的数学基础哈密顿力学的数学基础是泊松括号。

泊松括号在经典力学中是描述位形和动量演化的工具，它可以用来计算任意两个物理量的变化率。

泊松括号是两个函数的反对称李括号：[f,g] = ∂f/∂q * ∂g/∂p - ∂f/∂p * ∂g/∂q其中，q和p分别为位置和动量，f和g是任意两个函数。

4. 哈密顿力学和其他力学形式的比较哈密顿力学是牛顿力学和拉格朗日力学的补充，它提供了一种更加方便的方式来描述动态系统。

与拉格朗日力学相比，哈密顿力学的优点是它的形式不变性，使其比拉格朗日力学更加容易理解和应用。

5. 结论哈密顿力学是经典力学中的一种表述方式，它通过哈密顿函数和哈密顿方程来描述物体的运动。

哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。

哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。

哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。

假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。

那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。

其中，\delta 表示变分（即微小变化）。

哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。

它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。

通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。

2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。

量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。

哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。

3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。

通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。

这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。

4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。

控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。

哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。

总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。

哈密顿凯莱定理的应用哈密顿-凯莱定理，又称为哈密顿凯莱原理或哈密顿原理，是经典力学中的一个重要定理。

它是由物理学家威廉·哈密顿和瑞典数学家格雷戈里·凯莱独立提出的，用于描述质点在约束下的运动规律。

本文将从不同角度探讨哈密顿-凯莱定理的应用。

第一部分：哈密顿凯莱定理的基本原理哈密顿凯莱定理是通过变分原理推导得到的。

它的核心思想是，对于一个质点在约束下的运动，其真实轨迹可以通过使作用量取极值的路径来描述。

这里的作用量是指质点在一段时间内沿着轨迹所做的功。

第二部分：应用一：自由质点的运动我们来看一个简单的应用，即自由质点的运动。

在没有外力作用下，质点的能量守恒。

根据哈密顿凯莱定理，质点的真实轨迹是使作用量取极值的路径。

由于没有约束，质点可以在空间中任意运动。

而在这种情况下，质点的真实轨迹就是直线。

这个结论可以通过哈密顿凯莱定理轻松得到。

第三部分：应用二：带有约束的质点运动接下来，我们考虑带有约束的质点运动。

在这种情况下，质点的运动受到一些限制条件，比如刚性杆的长度保持不变等。

根据哈密顿凯莱定理，质点的真实轨迹是使作用量取极值的路径。

但由于约束的存在，真实轨迹不能是任意的，而是受到约束条件的限制。

因此，我们需要引入拉格朗日乘子法来处理约束。

第四部分：应用三：经典力学中的守恒定律哈密顿凯莱定理的另一个重要应用是推导守恒定律。

根据定理，如果系统的拉格朗日函数不显含某个坐标，那么该坐标对应的广义动量守恒。

这是因为在这种情况下，作用量对这个坐标的变分为零，意味着作用量在这个坐标上取极值。

根据哈密顿凯莱定理的推导，我们可以得到守恒定律的表达式。

第五部分：应用四：量子力学中的路径积分我们来看哈密顿凯莱定理在量子力学中的应用。

在量子力学中，粒子的运动不再是确定的轨迹，而是通过波函数表示的概率分布。

路径积分是一种计算量子力学系统的方法，它基于哈密顿凯莱定理。

路径积分的基本思想是将系统的所有可能路径加权求和，得到最终的波函数。

哈密顿力学哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。

它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。

但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。

关于这点请参看其数学表述。

哈密顿力学-简介哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。

不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。

哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et,t∈R是位置空间。

拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t 的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。

任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。

函数H称为哈密顿量或者能量函数。

该辛流形则称为相空间。

哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。

该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。

该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。

该时间的演变由辛同胚给出。

根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。

由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。

哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。

泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。

当余度量是退化的时，它不是可逆的。

在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。

但是，哈密顿量依然存在。

这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。

这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。

每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。

这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。

亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。

哈密顿原理的应用方面哈密顿原理是经典力学中一种重要的动力学原理，它可以用来描述一般的广义力学体系，如质点系、弹性体系、连续介质力学等。

除了力学，哈密顿原理还在电动力学、光学和量子力学等领域有广泛的应用。

以下是哈密顿原理在不同领域中的应用方面：1.力学：在经典力学中，哈密顿原理可以用来推导出运动方程。

通过将系统的拉格朗日函数表示为广义坐标和广义速度的函数，然后应用哈密顿原理，可以得到系统的哈密顿函数，并且根据哈密顿函数可以得到运动方程。

这种方法比拉格朗日方程更加简便和直观，特别适合于处理含有约束的力学系统。

2.泛函分析：泛函是函数的函数，即函数空间中的点，而泛函分析是研究泛函空间和其上定义的连续线性泛函的理论。

哈密顿原理是泛函极值问题的基础。

通过对泛函的变分，即对其自变量做微小变化，然后应用哈密顿原理，可以得到泛函的最小值条件，从而得到泛函的极值问题。

3.统计力学：在统计力学中，哈密顿原理用于推导统计物理量的期望值。

通过将系统的哈密顿函数写为广义坐标和广义动量的函数，然后应用带有拉格朗日乘子的哈密顿原理，可以得到统计物理量的平均值和涨落，从而用统计的方法描述宏观的热力学性质。

4.电动力学：在电动力学中，哈密顿原理可以用来描述电磁场的运动。

通过将电磁场的拉格朗日函数写为电场和磁场的函数，然后应用哈密顿原理，可以得到电场和磁场的运动方程，并且得到电磁场的能量和动量。

5.光学：在光学中，哈密顿原理用于求解光的传播问题。

通过将光的传播路径表示为波前面的波动函数的形式，然后应用哈密顿原理，可以得到光传播路径的最小作用量以及光的折射和反射定律。

6.量子力学：在量子力学中，哈密顿原理可以用来推导量子力学体系的运动方程，即薛定谔方程。

通过将粒子的哈密顿函数写为广义坐标和广义动量的函数，并将广义坐标和广义动量换成算符形式，然后应用哈密顿原理，可以得到系统的薛定谔方程。

总结起来，哈密顿原理是一种十分重要的动力学原理，在力学、泛函分析、统计力学、电动力学、光学和量子力学等领域都有广泛的应用。

第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数二．三种不同形式的哈密顿动力学方程1．哈密顿正则方程2．哈密顿原理3．哈密顿-雅可比方程一．正则坐标和哈密顿函数为表述空间的位置，引入坐标。

常用坐标：<1）直角坐标；<2）平面极坐标；<3）柱坐标；<4）球坐标等功能：<1）用三个坐标值表示空间的一点的位置<2）确定空间一组相互正交的单位矢量<有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：<1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的<2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， <3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标1．广义坐标：设拉格朗日方程为：又设：拉格朗日方程为：令：上式中是变量的任意函数，则：而所以由：可以得到：即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。

经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项：由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。

2．广义动量:若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。

但是，由于拉格朗日函数都包含有广义速度因此和将是两个不同的力学量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。

用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。

b5E2RGbCAP若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。

但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。

条件：<1）保留广义坐标的概念不变<2）保留广义动量的定义不变，<3）对不做任何限制，问题：若使和保持独立地位：（A）力学理论如何？（B）是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？回答上述问题的理论即为哈密顿理论！3．两个变量的勒让德变换一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。

哈密顿原理哈密顿原理，又称“哈密顿总动量定理”，是物理学的重要定理之一，由英国物理学家威廉哈密顿（William Hamilton）发现，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。

本文将以详细的介绍介绍哈密顿原理，并讨论它在现代物理学中的作用。

哈密顿原理（Hamilton Principle），也称为哈密顿总动量定理（Hamilton Principal of the Conservation of Momentum），是物理学中的重要理论，它提供了一种有效的方法来描述物质受给力作用时的运动行为。

它的主要思想是，在某些确定的物理系统中，物体在接受给力的过程中所承受的瞬态动量必须是系统整体的总动量的最小值。

因此，哈密顿原理可以用来求解某些物理系统的运动行为，但它仅适用于确定的物理系统。

哈密顿原理表明，当受力物体在系统中发生变形时，它的总动量变化（即动量矢量）越小越好。

因此，受力物体的运动行为满足哈密顿原理的条件，即最优化其总动量矢量的条件。

哈密顿原理也可以用来推导某些重力场的运动规律。

例如，对于受力物体在引力场中发生运动，哈密顿原理可以用来推导出物体受到引力时在无惯性参考系下的运动方程式，即质量*加速度=引力，从而解释山岳问题、月球问题等。

另外，哈密顿原理还可以应用于一些重要的物理现象，如超声波传播、灰尘环形等。

例如，对于超声波传播，哈密顿原理指出，超声波在介质中可以存在，且其传播的速度和传播的方向都是介质的性质决定的。

此外，哈密顿原理还可以用来求解受力物体在各种复杂运动体系中的运动行为，如基本动力学、现代力学等。

在基本动力学中，它可以用来推导受力物体的位移、速度、加速度等关系，从而求解受力物体的运动问题。

在现代的力学中，哈密顿原理也可以用来求解某些复杂的动力学问题，如振动动力学、热传导等问题。

总之，哈密顿原理是物理学的重要定理，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多物理现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。

哈密顿原理⽜顿质点动⼒学1 ⽜顿第⼆定律 dtd p f 从三个⽅⾯来应⽤：全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；2 重点研究⾮惯性、⽮量性、连续性、相对性的问题；3 从动⼒学观点上升到能量的观点。

哈密顿原理、保守⼒及其势4 五⼤类典型模型概括：⼀个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）；⼆种建模⽅法：动⼒学⽅法、能量法；三类研究⽅法：对称性⽅法（全局）、平均值⽅法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究⽅法（瞬时）；四⼤重点问题：⽮量性（⽮量空间法）、连续性（微元动⼒学法）、相对性（相对速度公式法）、⾮惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒⼦模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。

（科学计算技术与研究式的学习模式）哈密顿原理、对称性和稳定性1.拉格朗⽇函数和哈密顿量拉格朗⽇函数L对于⼀个物理系统，可⽤⼀个称为拉格朗⽇函数的量),,(t qq L i i 来描述，其中i q 是⼴义坐标，=i q dt dq i /是⼴义速度；⼴义坐标与通常所说的坐标区别在于，⼴义坐标是针对系统的⾃由度确定的，譬如⼀个质点限制在半径R 的球⾯上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但⼴义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；⼀般由于运动受到约束，坐标与⼴义坐标的数量是不相等的，仅在⽆约束条件下，坐标与⼴义坐标的数⽬才是⼀样的,与坐标⼀样⼴义坐标的选取也不是唯⼀的。

在保守⼒作⽤下，系统的拉格朗⽇量L 定义为动能与势能之差；U T L -=哈密顿量H物理系统还可以⽤⼀个称之为哈密顿量的函数描述，在保守⼒作⽤下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ）其中)(/i i qL p ??=是⼴义动量，哈密顿量是⼴义坐标和⼴义动量的函数，在直⾓坐标下对于质点运动的⼴义动量可写成v p m =。