拉格朗日方程和哈密顿正则方程

理论力学题库——第五章一、填空题1. 限制力学体系中各质点自由运动的条件称为 。

质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。

2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。

3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。

4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为 约束。

5. 哈密顿正则方程的具体形式是 和 。

5-1. n 个质点组成的系统如有k 个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的. 5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为 完整约束 .5-3自由度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 . 5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。

5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。

5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。

5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力（主动力 + 惯性力）的总虚功等于 零 。

5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 （或：主动力+拉氏力）。

5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。

5-11.勒让德变换就是将一组 独立 变数变为另一组 独立 变数的变换。

5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。

5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。

5-14. 泊松定理可表述为：若21),,(,),,(c t p q c t p q ==ψϕ是正则方程的初积分，则 []3c ,=ψϕ 也是正则方程的初积分.5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： ],[H p pαα= ； ],[H q q αα= 。

经典力学的拉格朗日与哈密顿形式经典力学是物理学中的一个重要分支，用来研究物体在作运动时的力学规律。

在经典力学的发展历程中，拉格朗日力学和哈密顿力学是两个基本的理论框架。

本文将对拉格朗日力学和哈密顿力学的基本概念、原理和应用进行介绍。

一、拉格朗日力学拉格朗日力学是由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出的一种描述力学系统的方法。

它基于一个称为“拉格朗日函数”的函数来描述物体的运动。

拉格朗日函数由广义坐标和广义速度构成，具体形式为L(q, ẋ)，其中q表示广义坐标，ẋ表示广义速度。

在拉格朗日力学中，通过引入一个称为“作用量”的量来描述系统的运动。

作用量定义为物体在运动过程中受到的广义力与广义坐标变化的积分，即S = ∫L(q, ẋ)dt。

拉格朗日原理指出，物体在运动时，其实际路径是使作用量S取极值的路径。

通过应用拉格朗日原理，可以得到运动方程及其解。

对于单个质点的运动，拉格朗日力学方程可以写为∂L/∂q - d(∂L/∂ẋ)/dt = 0。

对于多个质点的系统，可以将拉格朗日函数写为各质点的质量、速度以及势能、动能的函数，并将系统的位形空间表示为广义坐标的空间。

拉格朗日力学具有坐标变换不变性、方程形式简洁等优点，适用于描述各种复杂力学系统的运动。

二、哈密顿力学哈密顿力学是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的一种力学描述方法。

它是拉格朗日力学的一种等价形式，通过引入广义动量，将力学系统的描述从坐标空间转化为相空间。

在哈密顿力学中，广义动量定义为p = (∂L/∂ẋ)，并利用广义动量和广义坐标构成哈密顿函数H(q, p)。

哈密顿函数描述了系统的总能量，并在相空间中表示系统的状态。

利用哈密顿原理，可以推导出哈密顿力学的运动方程，即哈密顿正则方程。

对于单个质点的运动，哈密顿正则方程写为dq/dt = (∂H/∂p)，dp/dt = - (∂H/∂q)。

对于多个质点的系统，可以将哈密顿函数表示为各质点坐标、动量以及势能、动能的函数。

分析力学的3部经典著作及其作者分析力学是物理力学的一个分支，在描述物体运动和相互作用时，采用了数学和物理学原理。

下面将介绍三部经典著作，这些著作对于分析力学的发展起到了重要的推动作用。

第一部经典著作是艾萨克·牛顿的《自然哲学的数学原理》。

这部著作于1687年首次出版，为后来研究力学的发展奠定了基础。

《自然哲学的数学原理》详细介绍了质点运动的规律，其中包括牛顿的三大定律、引力定律等。

这部著作成为了经典力学的基石，不仅深刻地描述了质点的运动，还探索了天体运动和地球物理学的基本原理。

第二部经典著作是约瑟夫·拉格朗日的《分析力学》。

这部著作于1788年首次出版，并且极大地推动了分析力学的发展。

《分析力学》通过广义坐标和拉格朗日方程的提出，将力学问题转化为求解变分问题，从而大大简化了力学问题的描述和求解过程。

这一方法为后来的研究者提供了更广阔的发展空间，使分析力学得到了很大的发展。

第三部经典著作是威廉·哈密顿的《正则方程》。

这部著作于1833年首次发表，引入了哈密顿力学，对分析力学的形式化描述起到了重要作用。

《正则方程》通过引入哈密顿函数和哈密顿正则方程，将力学问题从运动微分方程的形式转化为运动相轨迹的表示。

这一方法使得力学问题的求解更加直观，且在量子力学的发展中发挥了重要作用。

这三部经典著作给分析力学的发展带来了革命性的变化。

在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，物体的力学问题被揭示、定量描述，并得出了经典力学的代数形式。

然而，牛顿的运动定律并不适用于一些复杂的系统。

拉格朗日的《分析力学》引入了广义坐标和拉格朗日方程，使得力学问题变为极值问题。

这种方法在有约束体系和非惯性系下有效，并在研究许多力学问题的变分原理中发挥了关键作用。

而哈密顿的《正则方程》则引入了哈密顿函数和哈密顿正则方程，极大地简化了力学问题的描述和求解过程。

通过哈密顿力学的形式化描述，运动相轨迹的表示更加直观，力学系统的守恒量也被更好地揭示出来。

§1.3哈密顿正则方程上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 L T U =-，并且发现拉格朗日函数L 是广义坐标和广义速度的函数。

给出拉格朗日方程的表达式。

但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。

为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。

一、广义动量设体系的广义坐标为11,,,s q q q ，对于每一个广义坐标k q ，可以定义一个广义动量： k kLp q ∂=∂ （1） 式中L 为拉格朗日函数，k q 为广义速度。

大家注意，这里我们定义的广义动量和我们一般所说的动量的含义不一定相同。

例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角θ为广义坐标。

则质点的速度为：v r θ=，2221122T mv mr θ==， 2212L T mr θ==，广义动量2Lp mr θθθ∂==∂相当于通常意义上的动量矩。

二、哈密顿正则方程拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即(,)L L q q =，它的全微分11ssk k k k k kL L dL dq dq q q ==∂∂=+∂∂∑∑ （2） 由拉格朗日方程()0k k d L L dt q q ∂∂-=∂∂和广义动量的定义式k kLp q ∂=∂得 k kLp q ∂=∂ （3） 将(1)(3)代入(2)中，dL 可写为11ssk k k k k k dL p dq p dq ===+∑∑ （4）而上式的第二项可写为111()ss skkk k k k k k k p dqd p q q d p ====-∑∑∑ （5）把（5）式代入（4）式得111()sssk k k k k k k k k dL p dq d p q q d p ====+-∑∑∑即111()sssk k k k k k k k k d p q L p dq q d p ===-=-+∑∑∑ （6）定义： 1sk k k H p q L ==-∑ 称作哈密顿函数所以（6）式可写为11ssk k k k k k dH p dq q d p ===-+∑∑ （7）由上式可以看出H 只是各个k q 和k p 的函数。

第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？5.4既然a q T ∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了aq T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，X 维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W δδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11 知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答αp 与αq 不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。

拉格朗日方程和哈密顿方程的区别拉格朗日方程和哈密顿方程都是非常重要的物理学方程，它们在量子力学和应用数学中扮演着重要的角色。

拉格朗日方程是一种量子力学方程，用于描述粒子的运动与忽略粒子间引力作用的情况下的粒子的能量和物态变化的方程。

它通常被认为是实现量子化的基础方程，可以用来研究量子态的变化。

哈密顿方程，又称为基业量解析法，是了解量子力学系统能量状态变化的易用和有用的一种方法。

它能够通过描述系统的初态能量和物态变化，以及它们之间的关系，间接地测量能量和物态之间的关系。

这两个方程是线性和非线性物理学方面最重要的方程，它们对于理解物理现象具有非常重要的意义。

拉格朗日方程的性质和量子力学的性质非常有联系：它能够在复数空间上确定质点的物态，即使在这些物态不能通过一般物理形式而以数字表示的情况下，也可以表示它们的变化。

它的非线性特性使得拉格朗日方程能够描述对原子来说非常重要的位置和能量变化：拉格朗日方程并不仅仅用来描述不同粒子关于时间和位置的变化，而是也可以用来研究同一原子的物态变化，从而帮助我们理解量子力学。

哈密顿方程是数学方面应用最广泛的一个量子力学方程，它用于分析物理系统的能量和物态变化。

它对数学推导特别重要，它可以用来求解有限维子空间中的系统的总能量和每种状态的能量结构。

哈密顿方程的奇异性使得其不但可用于表示固定系统的能量结构，而且还可以用来描述较大能量系统中物态变化的情况，可以用来研究复杂物理问题，如超导性、高温超导性、粒子物理工程学等。

总而言之，拉格朗日方程主要应用于粒子的物态变化，而哈密顿方程则用于表示系统的能量结构以及物态变化的方程。

这两个方程虽然在物理上有联系，但它们的处理方式以及其应用有着一定的区别，它们的理解和使用各自拥有不同的价值。

拉格朗日力学中的哈密顿形式与正则变换拉格朗日力学和哈密顿力学是研究物理系统运动的两种重要方法。

在拉格朗日力学中，我们使用广义坐标和拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，而在哈密顿力学中，我们使用广义坐标和广义动量以及哈密顿函数来描述系统。

在这篇文章中，我们将探讨拉格朗日力学中的哈密顿形式以及与之相关的正则变换。

一、拉格朗日力学中的基本原理拉格朗日力学是基于最小作用量原理的一种描述物理系统运动的方法。

它假设系统的演化是在使作用量取极值的路径上进行的。

作用量可以通过系统的拉格朗日函数L表示，其定义为：\[S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt\]其中，q是广义坐标，\(\dot{q}\)是广义坐标q对时间的导数的集合，t是时间。

通常，在拉格朗日力学中，我们使用虚位移原理和欧拉-拉格朗日方程来推导系统的运动方程。

二、哈密顿形式的引入虽然拉格朗日力学在描述系统运动方面非常有效，但在处理一些特定问题时，它的形式可能较为复杂。

为了更好地描述系统的运动，我们可以引入哈密顿力学。

哈密顿力学的基本思想是通过引入广义动量p 来替代广义坐标\(\dot{q}\)。

哈密顿函数H由拉格朗日函数L和广义动量p表示：\[H=p\dot{q}-L\]利用广义坐标q和广义动量p，我们可以得到哈密顿力学中的哈密顿方程：\[\frac{{dq}}{{dt}}=\frac{{\partial H}}{{\partial p}}, \ \ \\frac{{dp}}{{dt}}=-\frac{{\partial H}}{{\partial q}}\]这些哈密顿方程与欧拉-拉格朗日方程等价，因此哈密顿力学和拉格朗日力学是等价的。

三、正则变换的概念正则变换是指在给定的广义坐标和广义动量之间进行转换的变换。

它可以将系统的描述从一个坐标系转换为另一个坐标系，使得新的坐标和动量满足哈密顿方程。

正则变换的形式可以表示为：\[Q=Q(q,p,t), \ \ \ P=P(q,p,t)\]其中，Q和P是新的广义坐标和广义动量，q和p是原有的广义坐标和广义动量，t是时间。

由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程 姓名：谭建学号：222010315210236 学院：物理学院年级：2010级4班一、 问题重述 已知H q p α∙∂∂=∂，H p q α∙∂∂=-∂，H L t t ∂∂=-∂∂(1,2,...,)s ∂= 求证拉格朗日方程()0d L L dt qq ∙∂∂-=∂∂ 二、 问题分析及证明H 是q,p,t 的函数，L 是q,q ∙,t 的函数，因此我们要先将H 换成q,q ∙,t 的函数。

勒让德变换有 1s H L H p p ααα=∂=-+∂∑……………………………………..（１） 1(())s H H dL dH d p dp p p ααααα=∂∂=-++∂∂∑…………..（２） 此处的H 仍是q,p,t 的函数，因此将H 全微分有1()sH H H dH dp dq dt p q t ααααα=∂∂∂=++∂∂∂∑…………….（３） 将（３）式带入（２）得 1(())sH H H dL d p dq dt p q t ααααα=∂∂∂=--∂∂∂∑………..（4） 再将已知条件H q p α∙∂∂=∂，H p q α∙∂∂=-∂，H L t t ∂∂=-∂∂(1,2,...,)s ∂= 代入（4）有1()s L dL p d q p dq dt tαααα∙∙∂=∂=++∂∑………………（5） 而L 是q,q ∙,t 的函数，即L （q,q ∙,t ）。

我们将L 全微分1()sL L L dL dq d q dt q t q ααααα∙∙=∂∂∂=++∂∂∂∑ (6)比较（5）、（6）两式我们可得到如下公式L p q αα∙∂=∂，Lp q αα∙∂=∂ 所以我们可得到()d L p dt q αα∙∙∂=∂，L p q αα∙∂=∂ 所以有()0d L L p p dt q qαα∙∙∙∂∂-=-=∂∂……………..（7） 第七式即为拉格朗日方程。

牛顿方程、拉格朗日方程、达朗伯原理及哈密顿方程的比较（以阿特伍德机为例）已知：绳长为l ，半径为r ，滑轮质量不计，1m ，2m 的坐标分别为1x ，2x 。

试求两物体的加速度1x ，2x 。

1、牛顿方程： 对于1m ：1m g －1T＝1m 1x① 2m g －1T ＝2m 2x②1x＝－2x ③ 1T＝1T ④1x ＝－2x＝1212g m m mm-+分析： 当1m ＞2m 时1x ＝－2x ＝1212g mm mm-+当1m ＜2m 时1x ＝－2x ＝2112g mm mm-+当1m ＝2m1x＝－2x ＝02、拉格朗日方程0dL L dt q q αα⎛⎫∂∂ ⎪-= ⎪∂∂⎝⎭势能零点为坐标轴X 轴零点处 T ＝21112m v －22212m v ＝21112m x －22212m x＝()()21211212mm xx x +=-U ＝()11221g g l r m x m x x π----L T U =- ()()2121112112g g l r m m xm x mx π=+++-- ()121L m m x q α∂=+∂1L x ∂=∂ （广义动量）12L g g m m qα∂=-∂1L x ∂=∂（广义力）固有：()()121120g m m x m m ---= 3、达朗伯原理首先，推导虚功原理虚位移：0t δ=虚功（约束力）=0→理想约束 在牛顿力学中有，当1m =2m 时0iiN F -= ()0ii irN F δ-=虚功原理：0i ir Fδ∙=∑（平衡条件）拉格朗日平衡：dL L L U dt q q q ααα⎛⎫∂∂∂ ⎪==- ⎪∂∂∂⎝⎭如果一个系统处于平衡状态，则势函数有极值，有极小值则出现稳定平衡且稳定平衡是力学中存在的平衡。

动力学原理：2iiiim x N F -= 20iiiim x N F --=达朗伯原理：()20ii i i im x r NF δ--=4、哈密顿方程①广义动力()L T U =-()22212T myxz=++xT m xxP∂==∂ 同理有yT m yyP∂==∂ ，zT m zzP∂==∂即是：xL m xxP∂==∂ 同理有yL myyP∂==∂ ，zL m zzP∂==∂②勒让德变换 设函数(),f x y 令f X x∂=∂，f Y y∂=∂对于函数(),f x y 的全微分f f df dx dy Xdx Ydy xy∂∂=+=+∂∂令()(),,G X Y f x y xX yY =-- ()()(),dG X Y df d xX d yY =--d f X d x x d X Y d y y=---- x d X y d Y =-- ① 而G G dG dX dY XY∂∂=+∂∂ ②由①②可以得：G x X∂=-∂G y Y∂=-∂在拉格朗日方程中： (),Lqq αα LP q αα∂=∂ ()11sH L qP ααα=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑ 哈密顿函数 ()1,sHL qq PPααααα==-+∑（,q P αα为共轭变量）()11,ssH HdHd d q q P P qP αααααααα==∂∂=+∂∂∑∑()1111,ssssLLdHd d d d qq q q qP P P q q αααααααααααααα====⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=-+++⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ H L qqαα∂∂=-∂∂ ③H qP αα∂=∂ ④ 由拉格朗日得L P q αα∂=∂ ⑤LP qαα∂=∂ ⑥由③④⑤⑥可以得到：H Pqαα∂=-∂ （广义力）H qP αα∂=∂ （广义速度） 由哈密顿求解阿特伍德机：()()2121112112H g g l r mm xm xm x π=+----()12121H g g g m mm m x ∂=-+=--∂()1211H m m x P x α∂=-=∂()12111H H mm xPx x α⎛⎫∂∂==+⎪ ⎪∂∂⎝⎭故由哈密顿方程可以得到：121112H g m mx Pm x m α-∂=-→=∂+分析力学的优点：消去“理想约束”减少方程数量，进而减少计算量。