高考数学讲义抛物线之焦点弦面积问题

第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos p AF α=+；②22sin pAB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =， 易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−， 所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−， 所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−， 所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−， 显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==， 从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23pBF =代入1AF AF BF−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点，此时1AF AF BF−=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF pp BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AF AF BF−=，所以AF AF BF BF −⋅=，故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BD ABAF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KF AFK AFAF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos pBF α=+，cos cos pAF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos pp p ααα−=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x = 【答案】22y x =。

03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次曲线，具有许多重要的性质。

其中一个重要的性质是焦点弦性质。

接下来，我将介绍焦点弦性质的定义、推导过程以及将该性质应用于实际问题的例子。

1.焦点弦性质的定义：考虑一个抛物线和其焦点上的两个点A和B，连接AB，然后过抛物线上的其他点C，将CA和CB分别延长，与抛物线相交于D和E。

焦点弦性质指出，点D和E的中点M一定位于直线AB上。

2.推导过程：首先，我们需要了解抛物线的标准方程是什么。

假设抛物线的焦点位于原点上方，其焦半径为p。

那么，抛物线的标准方程为y² = 4px。

接下来，设焦点F的坐标为 (0, p)，则点A的坐标为 (a, 2ap)，点B的坐标为 (-a, 2ap)。

由于点C(x,y)位于抛物线上，我们可以将其坐标带入抛物线的方程中得到：y² = 4px(x,y)²=4p(x,y)x² + y² = 4px我们知道直线CA的方程为 y - 2ap = (x - a)(2ap - a)。

以此类推，直线CB的方程为 y - 2ap = (x + a)(2ap + a)。

将以上两个直线方程与抛物线方程联立，我们可以求出点D和点E的坐标。

设点D的坐标为(x₁,y₁)和点E的坐标为(x₂,y₂)。

即有：x₁² + y₁² = 4px₁x₂² + y₂² = 4px₂求解出x₁和x₂，我们可以得到点D和点E的坐标。

然后，我们将点D和点E的坐标带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)y - 2ap = (x + a)(2ap + a)联立以上两个方程，我们可以求解出直线AB的方程。

最后，我们求出点M的坐标，并将其带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)若点M的坐标满足该方程，则说明点M位于直线AB上，证明了焦点弦性质。

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次函数图像，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

抛物线具有很多特性，其中之一就是焦点弦性质。

现在来介绍抛物线焦点弦性质及其推导过程。

首先，我们需要明确焦点和焦点弦的概念。

焦点：抛物线上的所有点到定点F的距离与相应的焦准线上的所有点到定直线l的距离之比保持不变，这个定点F称为抛物线的焦点。

焦点弦：焦点的直角坐标系中的述焦线称为焦点弦。

接下来，我们通过几何推导来证明焦点弦性质。

假设抛物线的焦点为F，焦准线为l。

取抛物线上的任意一点P，并以焦点F为中心，做半径为FP的圆，交抛物线于点A，焦准线上一点为B。

根据焦点定义，有AP/PF=AB/BF。

根据圆的性质，AF是正切段，即∠FAP=90°。

考虑三角形ABP，根据直角三角形性质，我们有∠FAB=∠BAP。

将这个角度关系应用于三角形ABF，我们可以得出∠ABF=∠BFA。

因此，△ABF是一个等腰三角形。

由等腰三角形的性质，我们得到AB=AF。

而且，根据直角三角形性质，∠FBA=∠BAF。

因此，折线APB是一个等角三角形。

结合等腰三角形的性质，我们可以得出∠AFP=∠PFA=∠FAP。

根据角度对应定理，∠AFP=∠PFA=∠FAP=∠ABF。

而∠AFP+∠PFA+∠FAP+∠ABF=360°，因此∠AFP=360°/4=90°。

综上所述，我们可以得出结论：焦点弦AP是一个垂直于抛物线的直线。

因此，我们成功地证明了抛物线焦点弦性质的推导过程。

焦点弦性质的重要性在于我们可以利用该性质来确定一些几何问题中的未知量。

另外，在物理学和工程领域，焦点弦性质也有广泛的应用。

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！一．重要结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为px y 22=.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于B A ,两点，其坐标分别为),(),,(2211y x B y x A .性质1.，2||p x AF A +=2||px BF B +=,p x x AB B A ++=||.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过B A ,向准线引垂线，垂足分别为N M ,.由定义可知：||||||||BF BN AF AM ==，.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线px y 22=的焦点为F，),(),,(2211y x B y x A 是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4p y y p x x -==.证明：),2(),,2(222121y py B y p y A ，则AB 的方程为2(221211p y x y y p y y -+=-，整理可得：212112))((y px y y y y -=+-，即可得AB 的方程为：21212)(y y px y y y +=⋅+.最后，由于直线AB 过焦点，代入焦点坐标可得221p y y -=.再代入抛物线方程4221p x x =.一般地，如果直线l 恒过定点)0,(m M 与抛物线)0(22>=p px y 交于B A ,两点，那么pm y y m x x B A B A 2,2-==.于是，若AB OB OA ⇒⊥恒过定点)0,2(p .性质3.已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，则（1）pFB F A P BF p AF 2||1||1cos 1||,cos 1||=++=-=，θθ.（2）)11(2||sin 2sin 2||222k p AB p S p AB OAB+===∆，，θθ.证明：设准线l 交x 轴于点P ，过点A 作x AM ⊥轴于M ，作l AN ⊥于N ，由抛物线定义可知：AN AF =．其中p PF =，θcos ⋅=AF MF .所以θcos AF p FM PF AN +=+=，θcos AF p AF +=，故θcos 1-=pAF ．同理θcos 1+=p BF ，所以θθ22sin 2cos 12pp BF AF AB =-=+=．性质4.抛物线的通径(1).通径长为p 2.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，若弦AB 中点的坐标为),(00y x ，则2(2||0p x AB +=.证明：设B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，由抛物线定义：p x x BF AF AB ++=+=21||||||，故)2(2||0p x AB +=.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.证明：设焦点弦的中点为),(:00y x M ，则M 到准线的距离为20px +，由性质5可证得.性质7.如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于N M ,两点，自N M ,向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ，则（1）21FM FM ⊥；（2）记1111,,FNN N FM FMM ∆∆∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，22134S S S =.注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.二．典例分析例1.（2017年全国1卷）.已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：法1:设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．法2:设1l 的倾斜角为α,则直线2l 的倾斜角为π2α+，根据焦点弦长公式有:2244πsin sin 2AB DE αα+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22222224416sin cos sin cos αααα+=+≥=+．故选A．法4:设点()()1122,,,A x y B x y ,则()221212121224AB x x p x x y y =++=++=++()212121224y y y y ⎡⎤=+-+⎣⎦设直线1l 的方程为1x my =+()0m ≠联立直线1l 与抛物线2:4C y x =方程消去x 可得2440y my --=所以121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩,所以()221212122444AB y y y y m ⎡⎤=+-+=+⎣⎦同理244DE m =+，所以2248416AB DE m m +=++≥(当且仅当1m =±时等号成立)法5：可设直线12111:,:b x ky l b kx y l +-=+=，由抛物线焦点弦的性质3可得：)1(4||),11(4||22k DE k AB +=+=，故16)1(411(4||||22≥+++=+k kDE AB ，当且仅当1±=k 时取到最小值，故选A.上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例2．（2022新高考2卷）已知O 为坐标原点，过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点()0M p ，，若AF AM ＝，则直线AB的斜率为A．直线AB 的斜率为2B．OB OF ＝C．4AB OF＞D．180<∠+∠OBM OAM 解析：选项A：设FM 中点为N ，则32,24A N ppx x p +===所以()2233220,42A A A y px p p p y ==⋅=>所以,A y p =故2342AB p k p p ==-选项B：112112342p AF BF p BF p p +=⇒+=+5623B B p p BF p x x ⇒==+⇒=所以2222.33Bp p y p =⋅=所以22222227.9394B B p p p p OB x y =+=+=≠选项C：32524.4312pAB p p p p OF =++=>=选项D：由选项A,B知3,,,43pA p p B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22233,0,4344p pOA OB p p p⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AOB∠为钝角；又22211,0,42331212p p pMA MB p p p p⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AMB∠为钝角；所以180OAM OBM∠+∠<︒.故选ACD.例3.抛物线24y x=的焦点为F，11(,)A x y，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若123(2)2AB x x=++，则AFB∠的最大值为A．23πB．56πC．34πD．3π解析：)12122,2,()AF BF x x AB x x AB AF BF+=++++∴+.在AFB△中,由余弦定理得：()2222222222241331122AF BF ABcos AFBAF BFAF BF AF BF ABAF BFAB AB ABAF BF AF BF+-∠=⋅+-⋅-=⋅-=-=-⋅⋅，又213AF BF AB AF BF AB+∴⋅.所以221131,1223ABcos AFB AFBAB∠-=-∴∠⨯的最大值为23π.本题选择A选项.例4．（2022·广东·一模）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n≥且*Nn∈）满足1223112n n nPFP P FP P FP P FPnπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（）A．2n=时，12112P F P F+=B．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9C．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8解析：当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，，，则121111=+122P FP F +=，故A 错误；当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈,2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+，123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos 2ααα+=+-+，令113cos ,(,222t t α=+∈，则123242332t PF P F P F t t +++=+-，令242332()t t t f t +=+-，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=--，当112t <<时，()0f t '>，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '<，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ==，故当1t =，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,2PFx πθθ∠=∈,12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++，当2sin 21θ=时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；故选：BC例5.（2018年全国2卷）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解析：（1）设直线l 的方程为)0)(1(>-=k x k y ，且B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，联立方程可得：()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得：解得：1=k ，故l 的方程为1-=x y .（2）由（1）可得AB 中点坐标为)2,3(，所以AB 的垂直平分线方程为5+-=x y ，设所求圆的圆心坐标为),(00y x ，则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．注：此题以焦点弦性质6为背景展开.例6．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点.（1）设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.解析：由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，12221222y y y y m m pp∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.（2）由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tanθk =，θ为倾斜角，则sin θ=，2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴=-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴=⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.例7．已知抛物线2:(0)E y ax a =>的焦点为,F A 为E 上一点，||AF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的标准方程；（）过焦点F 作互相垂直的两条直线121,,l l l 与抛物线E 相交于,P Q 两点，2l 与抛物线E 相交于,M N 两点.若,C D 分别是线段,PQ MN 的中点，求22||||FC FD +的最小值.解析：（1）抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）由（1）得，点()0,1F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 斜率为k ，则2l 的斜率为1k -，直线1l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得2440x kx --=，216160k ∆=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x k +=，所以线段PQ 中点()22,21C k k +，()2424k F k C =+，同理242114FD k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以242242114FC k F k k D k ⎛⎫=+++ ⎝+⎪⎭，令2212t k k =+≥=，当且仅当221k k =，即21k =时等号成立.所以24412t k k=++，且[)2,t ∈+∞，所以()()222221424249162t t t t t FC FD ⎛⎫=+-=+-=+-≥ ⎪⎝+⎭，当且仅当2t =时取等号，所以22FC FD +的最小值为16.例8．已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线PA ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.解析：（1）抛物线2C 的方程为24x y =；（2）抛物线2C 的方程为24x y =，即2'xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线PA ，PB 的斜率分别为12x，22x .所以切线PA ：，)(2111x x x y y -=-∴211122x x y x y =-+，又2114x y = ，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线PA ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=.联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+，∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+==+-+-+，令32m t R+=∈∴原式21111454522221221222t t t t t=+=+-++-≤。