抛物线焦点弦专题_经典

抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程AB1 2 12 3有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 2= 2 px (p>0)的焦点 F 作⼀条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点1122结论 1： AB = x 1 + x 2 + pAB =AF + BF = (x + p ) + (x + p) = x + x + p1 2 2 21 22 p结论 2：若直线 L 的倾斜⾓为θ，则弦长 AB π=sin 2 θ证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2= 2 p ∴结论得证π(2)若θ≠时,设直线 L 的⽅程为： y = (x -2p ) tan θ即 x = y ? cot θ+ p2 2代⼊抛物线⽅程得y 2 - 2 py ? cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ由弦长公式得 AB = y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2θ) =2 p sin 2 θ结论 3：过焦点的弦中通径长最⼩sin 2 θ≤ 1∴2 psin 2 θ≥ 2 p ∴ AB 的最⼩值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.结论 4：S 2 ?oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θAF + BF 222 212 2 1 S= S+ S= 1OF ? BF ? sin θ+ 1OF ? AF ? sin ? ?OABOBF=1(+0 AF) 2 2 θ= 1 ? ? θ= 1 ? ? 2 p ?θ=p 2OF2 S 2AF= P 3 8 BFsin OF AB 2sin2 2 sin 2 θsin2 sin θ结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p2 (2) x 1x 2=4y 2 y 2 ( y y )2 P 2证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x =1 2 = 1 2 p 22 p1 2 4P 2 4结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1，过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1 == = 2 2 2故结论得证结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1FAA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA 同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90?∴A 1F ⊥ B 1 F结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1（2）M 1F ⊥ AB（3） M 1 F = （4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1+ M 1 B = 4 M 1 MAF ? BF则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1A 1 FB 1 为直⾓三⾓形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90?∴M 1F ⊥ AB∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90?∴ M F 2= AF ? BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90?⼜ A 1F ⊥ B 1F∴∠A 1FB 1 = 90?所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB2= ( A F + BF )2= ( AA+ BB 1 )2= (2 MM )2= 4 MM 2结论 9：（1） A 、O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平⾏于 X 轴（4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平⾏于 X 轴AA 1 + BB 1 AB1 21FA FB AF FA FB BF FA B 1 E EA 1 AF BFAE BEAF BF 时y 1 y 1 1证：因为 k oA = x = y 2 = 2 p , k yoB 1 = y 2 - p = - 2 y 2 p ，⽽ y 1 y 2 = - p 21 1 12 p2 所以 k oA 结论 10：+=2 p- p 2y 2 1 = = - 2 y 2 p2 p= k oB 1所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

微专题3 抛物线的焦点弦的性质 抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y 2＝2px (p >0)，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1.证明：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0)，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (5)S △OAB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)①当AB ⊥x 轴时，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. ②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2py k－p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)当θ≠90°时，过A 作AG ⊥x 轴，交x 轴于G ，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，在Rt △AFG 中，|FG |＝|AF |cos θ，由图知|GG 1|＝|AA 1|，则p ＋|AF |cos θ＝|AF |，得|AF |＝p 1－cos θ， 同理得|BF |＝p 1＋cos θ； 当θ＝90°时，可知|AF |＝|BF |＝p ，对于|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ亦成立， ∴|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ. (3)|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ≥2p ， 当且仅当θ＝90°时取等号．故通径长2p 为最短的焦点弦长．(4)由(2)可得，1|AF |＋1|BF |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p. (5)当θ＝90°时，S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22， 故满足S △OAB ＝p 22sin θ； 当θ≠90°时，设直线AB ：y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 原点O 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪p 2tan θ1＋tan 2θ＝p 2sin θ， S △OAB ＝d 2|AB |＝p 4sin θ×2p sin 2θ＝p 22sin θ. (6)如图：⊙M 的直径为AB ，过圆心M 作MM 1垂直于准线于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2 ＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．二、焦点弦性质的应用例2 (1)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝92x D ．y 2＝9x答案 B解析 依题意得，|AF |＝3，|BF |＝1，由1|AF |＋1|BF |＝2p ，知13＋11＝2p ， ∴p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x (2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 方法一 由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94， 故所求三角形的面积为 12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94(θ为直线的倾斜角)． (3)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 A解析 方法一 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2. 以－1k代替k ，得|DE |＝4＋4k 2， ∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号， 故|AB |＋|DE |的最小值为16.方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，不妨设直线AB 的倾斜角为θ，0<θ<π2， 因此|AB |＋|DE |＝2p sin 2θ＋2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16. ⎝⎛⎭⎫当且仅当θ＝π4时，等号成立. 反思感悟 研究抛物线的焦点弦问题时，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。

AB1 2 12 3有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 2= 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点1122结论 1： AB = x 1 + x 2 + pAB =AF + BF = (x + p ) + (x + p) = x + x + p1 2 2 21 22 p结论 2：若直线 L 的倾斜角为θ，则弦长 AB π=sin 2 θ证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2= 2 p ∴结论得证π(2)若θ≠时,设直线 L 的方程为： y = (x -2p ) tan θ即 x = y ⋅ cot θ+ p2 2代入抛物线方程得y 2 - 2 py ⋅ cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ 由弦长公式得 AB =y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2θ) =2 p sin 2 θ结论 3： 过焦点的弦中通径长最小sin 2 θ≤ 1∴2 psin 2 θ≥ 2 p ∴ AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.结论 4：S 2 ∆oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θAF + BF 222 212 2 1 S= S+ S= 1OF ⋅ BF ⋅ sin θ+ 1OF ⋅ AF ⋅ sin ϑ ∆OAB∆OBF=1⋅ (+∆ 0 AF) 2 2 θ= 1 ⋅ ⋅ θ= 1 ⋅ ⋅ 2 p ⋅θ=p 2OF2 S 2AF= P 3 8 BFsin OF AB 2sin2 2 sin 2 θsin2 sin θ结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p2 (2) x 1x 2=4y 2 y 2 ( y y )2 P 2证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x =1 2 = 1 2 p 22 p1 2 4P 2 4结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1 == = 2 2 2故结论得证结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1FAA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90︒∴A 1F ⊥ B 1 F结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1（2）M 1F ⊥ AB（3） M 1 F = （4） 设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1+ M 1 B = 4 M 1 MAF ⋅ BF则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1∆A 1 FB 1 为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90︒∴M 1F ⊥ AB∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90︒∴ M F 2= AF ⋅ BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90︒又 A 1F ⊥ B 1F∴∠A 1FB 1 = 90︒所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB2= ( A F + BF )2= ( AA+ BB 1 )2= (2 MM )2= 4 MM 2结论 9： （1） A 、O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3） 设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平行于 X 轴 （4） 设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平行于 X 轴AA 1 + BB 1 AB1 21FA FB AF FA FB BF FA B 1 E EA 1 AF BFAE BEAF BF 时⎪ y 1 y 1 1证：因为 k oA = x = y 2 = 2 p , k yoB 1 = y 2 - p = - 2 y 2 p ，而 y 1 y 2 = - p 21 1 12 p2 所以 k oA 结论 10：+=2 p- p 2y 2 1 = = - 2 y 2 p2 p= k oB 1所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点： )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A 、B 两点px y 22=),(11y x ),(22y x结论1：px x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(结论2：若直线L 的倾斜角为，则弦长θθ2sin 2pAB =证: (1)若 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,2πθ=结论得证∴=∴p AB 2(2)若时,设直线L 的方程为：即 代入抛物线方程得2πθ≠θtan )2(p x y -=2cot py x +⋅=θ由韦达定理0cot 222=-⋅-p py y θθcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB p 2结论4：)(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) (2) x 1x 2=221p y y -=42p 证 44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知故结论得证222111AB BFAF BB AA MM =+=+=结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F B 1F⊥FAA FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理A 1FB 1 F︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴⊥结论8：（1）AM 1BM 1 （2）M 1F AB （3）⊥⊥BFAF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214MM B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上 AM 1BM 1∴⊥为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点11FB A ∆ 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA M 1F AB∴⊥ AM 1BM 1 BF AF FM ⋅=∴21 ⊥FB F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，︒=∠∴90FB A 1122121ABB M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BF AF ==+=+=结论9： （1）O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线、A （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为，而p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====221p y y -=所以所以三点共线。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。

抛物线的焦点弦问题考前专项突破例1 (1)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M (1,4)，则p 等于( )A ．4B ．8C ．4 2D ．8 2(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4 B.92C ．5D ．6 例2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值．注：设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的一条焦点弦，焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)1|AF |＋1|BF |＝2p. (3)|AB |＝2p sin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角)． 同步练习：1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.942．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A.13 B.23 C.34 D.433．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A. 2B.22C.12D ．2 4.如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；S1(2)求S2的最小值及此时点G的坐标．。

抛物线的焦点弦例题
例：已知抛物线的方程为y^2=2px(p>0)，过焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，求证：1/|AF|+1/|BF|为定值。

证明如下：
第一步，由题目信息，可知抛物线的焦点坐标为(p,0)，因此直线AB的方程可以设为x=my+p。

我们设A、B两点在直线上的横坐标分别为x1和x2。

第二步，根据抛物线方程，我们可以得到y1^2=2px1，y2^2=2px2。

因此，我们有AF的长度为x1+p，BF的长度为x2+p。

第三步，根据焦半径公式，我们知道1/|AF|+1/|BF|=1/(x1+p)+1/(x2+p)。

第四步，由第一步中的直线AB的方程和抛物线方程联立，可以得到一个关于y的二次方程，进而可以通过韦达定理得到y1*y2的值。

第五步，将第四步中得到的y1*y2的值代入第三步中的式子，我们可以得到1/|AF|+1/|BF|的值为定值。

所以，我们证明了无论过焦点的直线如何变动，1/|AF|+1/|BF|总是为定值。