【免金币】高中数学抛物线焦点弦结论探究

证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。

例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线过焦点的弦的八个结论关于抛物线过焦点的弦，基本上我们可以得出八个结论。

首先，任何抛物线都可以用焦点和直线来描述，而这些直线就是抛物线的弦。

这些弦是由焦点和抛物线的两个端点组成的，它们可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

其次，这些弦经常穿过抛物线上的焦点。

它们是从抛物线的端点到焦点的一条直线，这条直线是抛物线的一部分。

这通常被称为“焦点弦”，它可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当它穿过焦点时。

第三，这些弦有时也会穿过抛物线上的端点。

这可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当抛物线的两个端点在同一条直线上时。

第四，这些弦可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

例如，如果抛物线的弦是从左到右的，那么它的焦点就会位于右侧，这意味着抛物线会向右延伸。

第五，抛物线的弦可以用来求出抛物线的长度。

这是因为弦的长度就是两个端点之间的距离，而抛物线的长度就是两个端点之间的距离。

第六，抛物线的弦可以帮助我们求出抛物线的面积。

这是因为抛物线的面积是由两个端点之间的弦组成的，而弦的面积就是这些端点之间的距离。

第七，抛物线的弦可以用来求出抛物线的切线。

这是因为弦的切线也是由两个端点之间的距离组成的，而抛物线的切线也是由两个端点之间的距离组成的。

最后，抛物线的弦还可以用来计算抛物线的曲率。

这是因为抛物线的曲率是由两个端点之间的弦组成的，而弦的曲率也是由两个端点之间的距离组成的。

总的来说，焦点弦对于理解抛物线的形状和方向至关重要，它们还可以帮助我们求出抛物线的长度、面积、切线和曲率。

因此，了解抛物线的弦可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，从而帮助我们更好地求解抛物线的问题。

抛物线焦点弦的八大结论分别是？
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2)则
|AB|=x1+x2+p
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。

由于L 的方程是x＝-p/2，所以
|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。

焦点并不在准线上。

抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。

抛物线的另一个描述是
作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。

第三个描述是代数。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。

相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。

声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。

这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。

2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。

因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。

证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。

而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。

4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。

证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。

5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。

证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。

7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。

证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以抛物线焦点弦经过焦点。

另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。

9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。

证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。

另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。

10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线焦点弦结论探究授课 蒲海凤 点评 杜永来一、课堂实录[引言] 抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的一道习题出发，通过5次观察联想，多次的猜想、验证、证明，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。

基本探究[投影]〈引例〉：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B向准线作垂线，垂足分别为1A 、2A ，求证：︒=∠9011FB A师：这是课本中的一道习题 高二上册P 133复习参考题B 组第2题，同学们应该很快给出证明思路。

生1：要证明11FB A ∠是直角，因为F A 1和F B 1斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，设),(),,(2211y x B y x A ，),,2(),,2(2111y p B y p A --可求得22121.p y y k k =，其中21y y 由直线AB和抛物线方程联立可求得。

师：好，思路非常清晰。

生2：由抛物线定义知AF AA =1BF BB =1则11AFA F AA =∠11BFB F BB ∠=∠，又FO A F AA 11∠=∠FO B F BB 11∠=∠，则︒∠==∠+∠90211AFB FO A FO B师：这位同学注意到图形中几何关系，给出了一个更为简单的证法，我们把这一结论归纳为： 结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

1．观察联想1师：我们要从这个问题出发进行观察联想，如果观察结论你能联想到什么？（学生思考）生：射影定理。

师；说说看得到什么结论？生：由︒=∠9011FB A 知是直角三角形且11B A FK ⊥由射影定理得， 因21,y y 异号，所以221p y y -=师：对于这个同学推出的结论我们也并不陌生，只是以前的证明方法不一样，以前我们是用什么方法得到这一结论的？生：设出两交点坐标),(),,(2211y x B y x A 直线A B 方程与抛物线方程联立消去x 或y 得到一个一元二次方程，利用韦达定理得到两根之积，证得其中一个结论，再由两点在直线上得另一结论。

抛物线焦点弦常用结论及推导
抛物线的焦点弦常用结论为：
1、抛物线的焦点到它的两个焦点弦的距离相等；
2、抛物线的焦点弦是等长的；
3、抛物线的两个焦点弦的中点均位于该抛物线的准线上；
4、抛物线的焦点弦的中点到焦点的距离是抛物线的准线的1/2倍。

推导：
设抛物线方程为y2=2ax，其中a为参数，焦点为F(x1, y1)，过F点的垂线为y=2ax1+b。

它与y2=2ax的交点有两个M1(x1+p, 0)和M2(x1-p, 0)。

因为FM1=FM2，所以，y1=2ax1+b --> b=y1-2ax1 --> 2ax1+y1-
2ax1=0 --> x1+p=x1-p --> 2p=0 --> p=0。

由此可知，F点就是M点，即抛物线的焦点弦的中点均位于该抛物线的准线上。

再由设p=0，有：AF=FM，FM=FM2——>AF=FM2，即AF=1/2FM2所以抛物线的焦点弦的中点到焦点的距离是抛物线的准线的1/2倍。

1课题：抛物线焦点弦相关结论的探究编稿教师：何兆强 2014.11.18【考纲要求】①掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ②理解数形结合的思想.【本节考点解读】了解抛物线焦点弦的一些简单性质，并学会依相关定义及数形结合的方法来解有关抛物线的问题.【课前回顾】复习（1）抛物线的定义、标准方程及几何性质（2）直线与抛物线的位置关系.【知识要点】利用平面几何、解析几何的相关知识进一步挖掘抛物线焦点弦的相关结论. 锻炼学生动手操作、观察联想、猜想证明的能力.【引言】抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的几道教材中的习题出发，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但探究过程本身给我们的启发更为深刻.【课前展示】 1. 设抛物线24y x =与过其焦点的斜率为1的直线交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅= . (P 73-2（5）巩固与提高)思考：如果把条件“斜率为1”去掉，结果是否改变？你能否得到更一般的结论？2. 已知抛物线28y x =的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，弦AB = .(P 71-4习题2-5A )3. 已知抛物线24y x =的弦AB 经过它的焦点F ，弦AB 的长为20，则直线AB 的方程为 .(P 74-6巩固与提高)4. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为4π的直线，交抛物线于,A B 两点，点A2在x 轴的上方，则AFBF = . (P 71-4习题2-5B )1、过抛物线()220y px p =>的焦点的一条直线与这条抛物线相交于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y . 求证:221212,4p x x y y p ==-.(体现了动中有定的数学之美.) 思考：证明过程是否需要对直线分类讨论？为什么？反思：证明过程中如何避免了对直线的分类讨论？例：抛物线()220y px p =>的焦点的一条直线与这条抛物线相交于,A B 两点. 求证：这两个交点到x 轴的距离的乘积是常数. (P 70-3练习A )思考：这两个交点到y 轴的距离的乘积是否是常数？【我的疑惑】【合作探究】探究1：抛物线的焦半径的表示方法.过抛物线()220y px p =>的焦点的一条直线与这条抛物线相交于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y .① 求证：1=2p AF x +，2=2p BF x +.（由此看出抛物线的顶点到焦点的距离最小，及焦半径的变化过程.）3 ② 求证：设直线AB 的倾斜角为α，=1cos p AF α-，=1cos p BF α+. 进而证明：112AF BF p+=【我的疑惑】例1：若抛物线24y x =上一点M 到该抛物线的焦点F 的距离5MF =，则点M 到x 轴的距离为 .变式：（武昌调研）设()00,M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是（ ）().0,2A [].0,2B ().2,C +∞ [).2,D +∞例2：过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于,A B 两点，且4AF FB = ，则直线AB 的斜率为 .例3：过抛物线24y x =的焦点的直线交该抛物线于,A B 两点，且3AF =，则AB = . 变式：（安徽卷改编）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点.若43AF =，则AOB ∆的面积为 .探究2：抛物线焦点弦的弦长的两种表示形式.过抛物线()220y px p =>的焦点的一条直线与这条抛物线相交于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y .① 求证：12=AB x x p ++.② 设直线AB 的倾斜角为α，证明：22=sin p AB α.（垂直于x 轴的焦点弦叫做通径，由此看出通径长2p 是最短的焦点弦.）【我的疑惑】例4：（2014孝感统考）已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为 .例5：（广州调研）已知过抛物线()220y px p =>的焦点，斜率为()11,A x y ，()22,B x y ()12x x <两点，且9AB =.若O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+ ，则λ的值是 .探究3：以焦半径为直径的圆的特点.以抛物线()220y px p =>的焦半径AF 为直径的圆与y轴相切.（由此看出y 轴上存在唯一的一点使得它与焦半径的两个端点的连线垂直.）【我的疑惑】5例6：（2013全国卷II ）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =. 若以MF 为直径的圆过点()0,2，则C 的方程为探究4：以焦点弦为直径的圆的特点.以抛物线()220y px p =>的焦点弦AB 为直径的圆与准线相切. （由此看出准线上存在唯一的一点使得它与焦点弦的两个端点的连线垂直.）【我的疑惑】 例7：（2013全国卷II 改编）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于A B 、两点，4AB =，以AB 为直径的圆过点,12p ⎛⎫-⎪⎝⎭，则抛物线C 的方程为探究5：抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直.例8：直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,P Q 两点，由点,P Q 分别向准线引垂线,PR QS ，垂足分别为,R S ，如果,PF a QF b ==，M 为RS 中点，则MF =.6探究6：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点.【我的疑惑】【创新探究】探究7：抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分.探究8：抛物线焦点弦的一个端点和另一个端点在准线上的投影的连线经过原点.【小结】1. 这节课你学到了哪些知识与方法？2. 在学习过程中你有哪些感受？7 【巩固练习】一、选择题1、(2011辽宁)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ C ）A ．34B ．1C ．54D ．742、(2014全国新课标卷Ⅰ)已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83、 (2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( C ) A.303B ．6C ．12D ．7 3 4、(2014全国II)设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ D ）A. B.C. 6332D. 94 5、(2012四川理)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ B ）A.B. C. 4D. 6、(2012安徽理)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ C ）A．2B.C. 2D.8 二、填空题7、已知F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为 .8、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为3π的直线，交抛物线于,A B 两点，且AF BF >，则AF BF = . 9、过抛物线23y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，设坐标原点为O ，若3A O F B O FS S ∆∆=， 则AB = .10、（2014厦门质检）已知点P 在抛物线24y x =上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比 为12，则点P 到x 轴的距离为 . 11、(2012北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与该抛物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方. 若直线l 的倾斜角为60º，则△OAF12、(2012重庆理)过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = . 13、(2010重庆理)已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB = ,则弦AB的中点到准线的距离为___________.14、(2010重庆文)已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF =____________ .你的习题完成质量是。

抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。

抛物线焦点弦结论推导抛物线焦点弦结论是一个有用的数学工具，可以帮助我们推导和解决抛物线问题。

这项定理最早出现在17世纪英国数学家斯蒂芬穆勒（Stephen Mueller）的论文中，它表明抛物线的焦点和弦之间存在着固定的关系。

它的推导历经两个世纪，成为了近代抛物线的基本知识，并且为建立抛物线研究的基础奠定了坚实的基础。

想要理解抛物线焦点弦结论，首先要了解抛物线的基本概念，其次要了解结论中所涉及的数学知识。

抛物线记作“y=ax2+bx+c”，其中a是抛物线的开口方向，b和c是抛物线的x、y截距，其中a不能为零。

抛物线的焦点是它的对称轴的另一端的点，用x、y表示，用符号F表示。

抛物线焦点弦结论指出，抛物线的焦点与其弦之间存在一种确定的关系。

以抛物线y=ax2+bx+c为例，x的值介于两个定点之间，抛物线的焦点F=(f,g)和弦之间的距离为：d^2=(x-f)^2+(ax^2+bx+c-g)^2解f和g，可以把这个方程分解成一个关于x的一元二次方程，从而得出：f=2a+b/2a g=2a^2+3b/4a抛物线焦点弦结论的另一方面是，如果将x的值固定在抛物线的焦点的某一端，那么抛物线的弦将满足下面的式子：y=4af+4ag^2+3bg+c以上就是抛物线焦点弦结论的推导过程。

抛物线焦点弦结论提供了一种有效的方法来求解抛物线，它可以用来解决一系列抛物线问题，比如抛物线的焦点、焦线长度、抛物线凹凸性等。

此外，它还可以用来解决一系列抛物线相关的几何问题，如抛物线的运动、抛物线的轨迹拟合及其他几何图形分析等。

抛物线焦点弦结论的应用非常广泛，它可以用来解决许多实际问题，比如计算地球表面上的连续抛物线（如特定经纬度的抛物线形的海岸线）；计算地面上不连续的抛物线（如悬崖、拱顶等）；建立精确的物理现象模型（如普朗克定律）；求解流体力学中解析抛物线问题；解析品质管理中抛物线形的数据；设计动画、游戏等虚拟场景中的抛物线等。

总之，抛物线焦点弦结论是一个重要而有用的数学工具，它可以帮助我们推导、解决抛物线问题，在各领域都有着广泛的应用。

抛物线焦点弦结论推导抛物线是平面坐标系中的一类图形，它有着独特的形状，表现为曲线上一点被称为抛物线的“焦点”，其另一点称为“弦”，由此得出“焦点弦结论”。

抛物线焦点弦结论是一种计算抛物线特征的方法，它利用给定的抛物线的焦点和弦求解抛物线的方程式。

抛物线可以通过两点式、标准形式或参数形式来定义，其中两点式可以用来求解抛物线的一般方程式，而标准形式和参数形式则可以用来求解抛物线的椭圆参数方程式。

焦点弦结论则可以用来求解抛物线的参数方程式，其中可以用两个点来表示抛物线的焦点以及一个弦和一个随机点来表示椭圆的参数。

首先，抛物线的焦点和弦可以用两点表示，即F1(x1，y1)和F2(x2，y2)。

其次，随机点可以用点P(x0，y0)表示，x0和y0分别为点P的横纵坐标。

焦点弦结论可以用如下等式推导出抛物线的参数方程：A =( x1x)( y2y1)+( yy)( x 2x1)B =( x2x)2+( y 2y)2C = x21x1y2根据上式，可得出抛物线的参数方程式：x2y2+Axy+By+C=0本文介绍了抛物线焦点弦结论，它可以推导出抛物线的参数方程式，为解决抛物线方程提供了一种新的思路。

抛物线焦点弦结论是一种有用的方法，可以用来求解抛物线的参数方程式，为抛物线理论研究提供了重要参考。

从常规方面来看，焦点弦结论可以应用于几何和代数中多项式求根、非线性系统方程组求解、数学建模等多种情况，在一定程度上可以改变传统算法的解决思路。

它也可以被运用于电子工程、计算机视觉、生物信息学、航空航天认知技术等领域。

总之，抛物线焦点弦结论是一种有用的方法，可以用来求解抛物线的参数方程式，为抛物线理论研究提供了重要参考。

它可以有效改变经典算法的求解思路，广泛地应用于几何学、代数学、数学建模、航空航天认知技术等方面，为研究人员提供了更多的思路，有助于探索出更有效的解决方案。