很全抛物线焦点弦的有关结论附标准答案

（难度3星）1.（2019 •安徽高二期末（文））在平而直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2（1）求抛物线的标准方程：（2）过点 3的直线交抛物线于弘"两点，尸点是直线：=一2上任意一点.证明：直线、、的斜率依次成等差数列.【答案】（1）—2 : （2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线关于轴对称，可设抛物线为亠2，而点（玄②在抛物线上，从而有另=2X2,得 =故抛物线方程为2=2 ：（2）设点（―）是直线上任意一点，直线交抛物线于“、"两点，所以直线的斜率不等于0,可设直线：= +2交抛物线于（”』）、（？，？），由｛可得：--2 - 2= 0从而有j + 2=2, 1 2= ~~ 2,1 ~ _ 2~= ------- •= ------ 9 =— --1^1 ?+/ 21且在直线上，所以有：1= 丄+Z 2= E+Z-2 —=―：=一'而2 =-，即证得证直线，,+ =2的斜率成等差数列.（难度2星）2. （2020 •河南高二期末（理））已知是抛物线： I （2,）是抛物线上一点，且| |=2（1）求抛物线的方程：（2）直线与抛物线交于，两点，若―'• 一 = -彳（否会过某个泄点若是，求出该立点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）2=4:⑵是，（2,6.【解析】（1）由抛物线的泄义知I | =』+三=2,.・.=2,•••抛物线的方程为：2=4（2）由题意知:可设的方程为：= + ,代入'=4有2— 4 — 4 = 0、（＞。

的焦点,为坐标原点），则直线是设(b 1}>( 9 2)> 则r 2= -4、・・「（宀一么••1 2_ 托 _ 、S・・・•= 广？+ 厂2= 4 =_4 ・•・ =2••• 的方程为 = +Z恒过点（2,0）.所以直线过左点（20・（难度2星）3.（2020 •江西高二期末（文））已知抛物线：亠2（2_ 2=谢圆心.（1）求抛物线Q的标准方程：（2）过抛物线的焦点尸的直线』与抛物线相交于两点，程.■【答案】（1）2=4（2）=2一戒=_2 +2【解析】（1）圆的标准方程为（一庁+ 2*圆心坐标为（20,>0的焦点尸为圆2 +| = £求直线』的方即焦点坐标为 g 则7= I =缩到抛物线的方程亠4（2）设直线的方程为: + /联立抛物线的方程2=4消整理得: 2- {4 2+2) +1=0：.』+ 尸 4 - + 2根据焦点弦的性质可知：| |= ；+ .+ =4 2+4又因为| | = 5 ..4 2+4=M得=±：所以所求直线的方程为：=2 = _2 +2（难度2星）4.（2019 •四川高二期末（文））已知点（一2。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

探索与研究圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。

下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。

（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

（难度3星）1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).（1）求抛物线x 的标准方程；（2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =−1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列.【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1，故抛物线方程为x 2=2x ；（2）设点x (−1,x )是直线x 上任意一点，—直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0，可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)，由{x =xx +1x 2=2x可得：x 2−2xx −2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=−2,x xx =x 1−x x 1+1，x xx =x 2−x x 2+1，x xx =−x 2且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1x xx +x xx =x 1−x x 1+1+x 2−x x 2+1=2xx 1x 2+(2−xx )(x 1+x 2)−4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =−2xx 2−4x 2x +4=−x ，而2x xx =−x ，即证x xx +x xx =2x xx .得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列.【（难度2星）2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx(x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2.(1)求抛物线x 的方程；(2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4（x为坐标原点），则直线x是否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0).【解析】（1）由抛物线的定义知|xx |=1+x 2=2,∴x =2,∴抛物线x 的方程为：x 2=4x*（2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x ,代入x 2=4x 有x 2−4xx −4x =0,设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),则x 1⋅x 2=−4x ,∴x 1⋅x 2=(x 1⋅x 2)216=x 2,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+x 1⋅x 2=x 2−4x =−4∴x =2∴xx 的方程为x =xx +2,恒过点x (2,0).所以直线x 过定点(2,0).?（难度2星）3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点F 为圆x 2+x 2−2x =0的圆心.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线相交于xx 两点，且|xx |=5，求直线l 的方程.【答案】（1）x 2=4x （2）x =2x −2或x =−2x +2【解析】（1）圆的标准方程为(x −1)2+x 2=1，圆心坐标为(1,0)，即焦点坐标为x (1,0)，则x 2=1,x =2得到抛物线x 的方程x 2=4x（2）设直线x 的方程为：x =xx +1联立抛物线x 的方程x 2=4x 消x 整理得： 》x 2−(4x 2+2)x +1=0 ∴x 1+x 2=4x 2+2根据焦点弦的性质可知:|xx |=x 1+x 2+x =4x 2+4 又因为|xx |=5∴4x 2+4=5解得x =±12所以所求直线x 的方程为：x =2x −2或x =−2x +2（难度2星）4．（2019·四川高二期末（文））已知点x (−2,0)，x (3,0)，动点x (x ,x )满足： xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6.（1）求动点P 的轨迹x ；-（2）已知点x (14,0)，若曲线E 上一点M 到x 轴的距离为12，求|xx |的值.【答案】（1）焦点在x 轴，开口向右的抛物线x 2=x ；（2）12【解析】（1）x 点坐标为(x ,x ),则有:xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x ,−x )，xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x ,−x ) ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x −6+x 2=x 2−6，即：x 2=x ，∴点P 的轨迹为焦点在x 轴，开口向右的抛物线.（2）由题意可得：x x =±12代入方程求得x x =14,所以x (14,±12),而x (14,0)∴|xx |=√(14−14)2+(±12−0)2=12 ,即|xx |=12.。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 22 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2)两点结论 1： AB x 1 x 2 pAB AF BF (x 1 p) (x 2 p) x 1 x 2 22结论 2：若直线 L 的倾斜角为 ，则弦长 AB 2p 2sin2结论 4：23S ABoAB p8(为定值)(2)若2时 ,设直线 L 的方程为： py (x )tan2 即xy cot2p代入抛物线方程得2 y2py cot p 2 0 由韦达定理y 1y 2 2 p ,y 1y22pcot2 )2p )2由弦长公式得 AB 1 cot 2y 1 y 2 2p(1 cot证: (1)若2时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径si n结论 3： 过焦点的弦中通径长最小 AB 2p 结论得证 2sin2p 2sin2p AB 的最小值为 2p ,即过焦点的弦长中通径长最短同理 B 1FOB 1FBA 1FB 1 90A 1FB 1 F2结论 8：（1）AM 1 BM 1 （2）M 1F AB （3） M 1F AF BF（4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1相交于 Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） AM 12M 1B 24M 1M 2证：由结论（ 6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上 AM 1 BM 1A 1FB 1为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点A 1M 1 M 1F M1FA 1M1A 1FAA 1F AFA 1AA 1FFA 1MAA 1M190AFA 1A1FM190M 1FABM 1F2AFBFAM 1BM 1 AM1B 90又 A 1FB 1FA 1FB 1 90 所以 M 1，Q ， F,H 四点共圆， AM 1 2M 1B 2AB 22 2 2 2AF BF 2AA 1 BB 1 22MM 1 24MM 1 2结论 9： （1） A 、O 、B 1 三点共线 （ 2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1平行于 X 轴（ 4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1平行于 X 轴S OAB SOBF1S 0AFOFBF 1sin 2OF AF sin OF 2S OABAB结论 5： （1） 证x 1AFP 3y 1y 22y1 2p ,x 2BF 2p 2sinOF AB sinp22psin2 sin 22 p2sin(2) x 1x 2=2 y22px 1x 2(y 1y 2)24P 2P 2结论 6：以 AB 证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 为直径的圆与抛物线的准线相切AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1，MM 1结论 7：连接 A 1F 、 AA 1 AF,AA 1 BB 1 AF BF22B 1 F 则 A 1FAA 1F B 1FAB 2故结论得证AFA 1 AA 1 //OF AA 1FA 1FO A 1FO A 1FA41E,因为直线 L 的倾斜角为证：因为 k oAy1 x1y12 y12p,k oBoB 1y 11y2 p2y2，而 y 1y 2 p2 p2p2所以 k oA2p2 p y22y 2 pk oB 1所以三点共线。

证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。

2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。

因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。

证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。

而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。

4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。

证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。

5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。

证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。

7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。

证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以抛物线焦点弦经过焦点。

另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。

9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。

证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。

另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。

10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。

1基础回顾1.以AB2.2124p x x = 3.212y y p =- 4.'AC B ∠=5.''A FB ∠=6.1232)2sin AB x α=+7.112AF BF P +=;8.A、O、'B 三点共线；9.B、O、'A 三点共线；10.22sin AOB P S α= ；11.23()2AOBS P AB = （定值）；12.1cos PAF α=-；1cos PBF α=+；13.'BC 垂直平分'B F ；14.'AC 垂直平分'A F ；15.'C F AB ⊥；16.2AB P ≥；17.11'('')22CC AB AA BB ==+；18.AB 3PK =y ；19.2p 22ytan =x -α;20.2A'B'4AF BF =⋅;221.1C'F A'B'2=.22.切线方程()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 在准线上．证明:从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8M 平分PQ ．结论9PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PFFB FA =⋅结论11PAB S ∆2min p =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12①p y y x p 221=，221y y y p +=结论13PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14PFB PFA ∠=∠结论15点M 平分PQ 结论162PF FB FA =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，3（1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，（1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）。

抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。

与抛物线焦点弦有关的几个结论在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦A B叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．A B与x轴不垂直也不平行时，设弦A B所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦A B被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若A B与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦A B为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦A B所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦A B为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦A B的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦A B为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设A F的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝⎛=:k y AB.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）p y x p y x 2,2222211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:pmy x AB +=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得(),22221k k p x x +=+∴()222112kk p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N设以AB 为直径的圆的半径为,r∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则01190=∠FB A 。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴BB KB A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则由知识点1知221p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论
抛物线焦点弦，又称抛物线弦或抛物线，是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关
于抛物线的有关结论有如下：
1. 抛物线的方程为y²=2px，或x²=2py，其中p为抛物线的焦距，“焦点”F(p，0)
和“直径”2p定义如下：
2. 抛物线呈对称性，它的轴对称轴是一条直线，被称为“抛物线弦”。

3. 给定两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，抛物线的焦距p及对称轴的方程为：
p=(x1x2+y1y2)/2，
y=kx+(x1x2+y1y2)/2，
其中k=(y2-y1)/(x2-x1)；
4. 关于抛物线的离心率，抛物线的离心率是1/2的抛物线的离心率；
5. 关于抛物线的焦点，抛物线的焦点是抛物线围绕其中心旋转的法线，焦点的距离
是抛物线弦的长；
6. 抛物线弦所得到的线段，其投影与原点构成的线段n、n1相等。

7. 抛物线弦的位置关系，抛物线弦若与坐标轴垂直，则与坐标轴的切点的距离的平
方等于抛物线的焦距的两倍；若抛物线弦与坐标轴平行，则抛物线弦与坐标轴的切点的距
离相等；
8. 抛物线弦上的点对抛物线有特殊意义，“拱点”是抛物线可能拱起的点，“切点”是抛物线可能与其他直线相交的点，“焦点”是抛物线的中心，而“弦定点”则是抛物线
弦中心和焦点的中点。

总之，抛物线焦点弦是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关于抛物线的诸多结论
都可以从对称轴的方程、焦点弦的长度及相关点的位置关系中得出。