变化的快慢与变化率

变化的快慢与变化率()-一、学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2.2. 知道平均变化率的定义。

二、课前自学A 阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1）x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x .（2） 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________.2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；(2)求函数的增量________________；(3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②Δf=Δy=y 2-y 1；B 小试牛刀：1.函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ）A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .三、合作学习在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形计算和思考，展开讨论；四、课堂训练1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41 D 、432. 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]3、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

一组数据的变化量和变化率
变化量：用其末量减去初量。

表示某量变化的多少。

只要变化的多，其变化量就大，例如你的速度由1变成3，我的速度由1变成5，你的速度变化量是2，我的速度变化量是4，我就比你大。

变化率：用变化量除时间。

表示某量变化的快慢。

你的速度由1变成3，用时四秒，那你的速度每秒就增加0.5，“0.5”就是速度变化率（物理书上又把速度变化率叫做加速度）。

我的速度由1变成5，我用时两秒，我的速度每秒增加2，所以我的速度比你增加的快。

你提问问题，目的是听懂，并不在于回答者回答字数的多少，我是看你悬赏的分数多才回答的，我急需分数，用来悬赏提问与大学专业有关的问题，所以若感觉我回答的还可以的话，就把分给我吧，毕竟用手机打字很辛苦的。

1 变化的快慢与变化率
1.平均变化率：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。

1．函数的平均变化率的概念：一般地，给出函数()f x 在区间12[]x x ，上的平均变化率2121
()()f x f x x x --； 2. 平均变化率的几何意义：直线的斜率；
3．平均变化率的实际作用：反映了函数某个区间上的平均变化率（变化快慢）；或者说在某个区间上曲线的陡峭程度．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
提醒：平均变化率有局限．我们知道平均变化率只能反映函数在某个区间内的平均变化，而无法精确反映某一点的变化状态
1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及
临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则
=∆∆x
y . 【解析】
)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.
【解析】
2
020)(x x x y -∆+=∆
所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 1
212)()(x x x f x f --
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02。

1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量B ．t 0称为函数值增量C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量D.Δs Δt称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3.函数y ＝1x在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx＝－1x 0（x 0＋Δx ）. 答案：－1x 0（x 0＋Δx ）4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt趋于12.答案：12[A 级 基础达标]1.在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C.Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2.2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )中的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：选A.v ＝Δs Δt ＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝[（3＋Δt ）2＋3]－（32＋3）Δt＝6＋Δt . 3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：Δs Δt＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h. 答案：100 km/h5.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k OA ； v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ； v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC . 又∵k BC ＞k AB ＞k OA ，∴v 3＞v 2＞v 1.答案：v 3＞v 2＞v 16.求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2－4Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx＝（3＋Δx ）2－9Δx＝6＋Δx . 令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大． [B 级 能力提升]7.(2012·九江测试)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.8.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt 趋于0时，Δs Δt＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2.9.求函数f (x )＝x 2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．解析：k 1＝Δy 1Δx 1＝f （2）－f （1）2－1＝22－121＝3， k 2＝Δy 2Δx 2＝f （1.1）－f （1）1.1－1＝1.12－120.1＝2.1， k 3＝Δy 3Δx 3＝f （1.01）－f （1）1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.答案：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.10.已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度．解：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的位移增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20，因此，落体在这段时间内的平均速度为 v ＝Δs Δt ＝12g （t 0＋Δt ）2－12gt 20Δt ＝12g ·Δt （2t 0＋Δt ）Δt＝12g (2t 0＋Δt )． (2)落体在t 0时的瞬时速度即Δt 趋于0时，Δs Δt趋于gt 0这一速度． (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s ，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m /s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度为v ＝9.8×2＝19.6(m /s)．11.(创新题)质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s.。

变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f （x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．3、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝【典例例题分析】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：，故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）＝或f′（x0）＝导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）＝；②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．。