高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1.1平均变化率课件北师大版选修1-1

1
2
3
3.导数的概念 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ ������x →0 ������y Δ������ →0 ������x
=
������������������
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ������t)-s(1) lim Δ������ →0 ������t 2(1 + Δ������)2 + 1 + Δ������-1-2 = ������������������ = lim (2Δ������ + 5) = 5. Δ������ →0 ������t →0 Δ������ 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1
2
3
1.平均变化率
我们把式子
������(������2 )-������(������1 ) 称为函数������(������)从������1 ������2 -������1
1
2
3
【做一做1-1】 已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ������ =
������ ������
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ������

,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时 变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义 和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线 方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学 习,提高学生观察、归纳、抽象概 括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现 象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,

应用：在物理学、化学、生物学等领域，变化率被广泛用于描述各种物理、化学、生物现象的变化速度
变化率：描述变 化速度的量，通 常用单位时间内 的变化量来表示
变化的快慢：描 述变化速度的直 观感受，通常用 变化量与变化时 间的比值来表示
关系：变化率是 变化的快慢的量 化表示，两者成 正比关系
应用：在物理、 化学、生物等领 域，变化率是描 述变化快慢的重 要参数，可以帮 助我们更好地理 解和分析问题
影响：变化的快慢与变化率对未来科技、经济、社会等领域的发展具有重要影响 意义：理解变化的快慢与变化率有助于我们更好地适应未来社会的变化，提高应对能力 挑战：未来发展的不确定性和复杂性将带来新的挑战，需要我们不断学习和适应 机遇：未来发展的变化将为我们带来新的机遇，需要我们积极把握和利用
气候变化：通过变化率预测 气候变化趋势
股票市场：通过变化率判断 股票价格走势
经济增长：通过变化率评估 经济增长速度
疾病传播：通过变化率预测 疾病传播速度
变化率：描述变化快慢的量，通常 用导数或微分表示
数学建模：将实际问题转化为数学 模型，通过求解模型得到问题的解
添加标题
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添加标题
添加标题
变化快慢：描述变化率的大小，通 常用积分或极限表示
初始状态：初始状态越接近目 标状态，变化越快
变化速度：变化速度越快，变 化越快
变化方向：变化方向与目标状 态一致，变化越快
干扰因素：干扰因素越小，变 化越快
变化率：描述 事物变化快慢
的量
意义：帮助理 解事物变化的
速度
应用：广泛应 用于物理、化 学、生物等领
域
计算方法：通 过比较两个时 间点的数据变 化来计算变化
率

x
说明曲线在x0处没有切线.
练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出 切线方程. 4x-y-2=0
第八页，共十三页。
三、瞬时速度(shùn shísù
dù)
S 1 gt2 2
V S t
第3秒
S3tS3
t
∆s
第3+∆t秒
29.4t 4.9t 2
t
29.4 4.9t
……
“冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的
情况, 都是数学中导数概念的原型.
导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有 广泛的应用.
第二页，共十三页。
§1 变化(biànhuà)的快慢与变化(biànhuà)
一、平均(píngjūn)变化率率
y
如图, 曲线C是函数(hánshù) y=f(x)
y就是割线PQ的斜率. x
用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢.
第三页，共十三页。
请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近(jiējìn)时,割线PQ绕着点P逐渐转 动的情况.
y
y=f(x)
y k PQ x
Q
T
切线
Δy
(qiēxiàn)
P
Δx
当Δx→0时 PQ →PT
o
y
k PQ x
例3. 物体作自由落体运动, 运动方程为 s 1 g t 2 , g=10m/s2 . 2
求：(1) 物体在时间区间[2, 2.1]上的平均速度； (2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将Δt =0.1代入上式,得:

(3)平均变化率表示为
������(������2 )-������(������1) ������2 -������1
.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 名师点拨对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨 胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函 数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程 度是平均变化率的“视觉化”.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
求平均变化率
【例1】 已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率. Δ������ 分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ������即可. 解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
【做一做】 自由落体物体的运动方程是 s(t)=2gt2 (s 单位:m,t 单位:s), 物体在 t=3 s 这一时刻的速度是
解析:Δs= g(3+Δt)2 - g×32 =3gΔt+ g(Δt)2 ,
������ ������ 1 2 1 2 1 2 1 2 3������������ +2������(������) ������
3.1 变化的快慢与变化率
学 习 目 标 1. 通过实际例子理解平 均变化率的概念. 2. 会求函数的平均变化 率. 3. 理解平均变化率在实 际问题中的意义.
思 维 脉 络
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)自变量的改变量为x2-x1,记作Δx. (2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作Δy.

=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

＝2－Δt，
当
Δt
趋于零时，Δs趋于 Δt
2.
∴v(0)＝2.
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求改变(gǎibiàn)量
求函数f(x)＝x2＋3x＋1从1变化到2时函数的改变量． [解] Δy＝f(2)－f(1)＝11－5＝6.
方法归纳(guīnà) (1)自变量的改变量指变化后的自变量减去变化前的自 变量．
t0
t0
0
到
t0
这段时
间内乙的平均速度大．
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[感悟提高]
设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两
点，函数 y＝f(x)的平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）＝
f（x1＋Δx）－f（x1）为割线 Δx
0.70 0.71 0.71
0.71
…
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表中是某同学(tóng xué)通过计算得出的部分数据，请你据此估计该合金
棒在x＝2 m处的线密度． 解：从此同学列出的表格可以看出，当x1趋于x0＝2 m时，平均线密 度趋于0.71 kg/m，所以该合金棒在x＝2 m处的线密度为0.71 kg/m.
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)， 若记 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx 可正，可负，可为零( × ) (2)函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝f（x2）x2－ －xf（1 x1）＝ f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）( √ )

【做一做 1】 已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一
点(1+Δx,1+Δy),则ΔΔ������������等于(
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=2(1+Δ������)2Δ-1������-2×12+1
题型一
题型二
题型三
平均变化率在物理中的应用
【例2】 一辆汽车按s=3t2+1做直线运动,求这辆车从3 s到6 s的
平均速度(位移单位:m,时间单位:s).
分析:求平均速度就是把位移s看成时间t的函数,利用求平均变化
率的公式来求平均速度.来自解:������=
������ ������
=
������(6)-������(3) 6-3
名师点拨1.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡
峭程度是平均变化率的“视觉化”.
2.对于函数y=f(x),当自变量x在x0处有改变量Δx时,函数y相应地 有改变量Δy,则f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率有更一般的形式:
������ ������
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
3.1.1 平均变化率
1.理解函数平均变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率,并能根据函数的平 均变化率判断函数在某个区间上的变化快慢.
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为������(���������2���2)--������������1(������1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自

专题一 专题二 专题三
解:(1)∵f(x)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5,
∴f'(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
(2)f'(x)=
������tan������-
2 cos������
'=
������sin������ cos������
-
2 cos������
'=
������sin������-2 cos������
∵f'(x0)=Δl���i���m→0 x0+1������������xx-x10=-x102, ∴所求直线方程为 y-y0=-x102(x-x0). 由于点(2,0)在该直线上,∴x02y0=2-x0.
再由 P(x0,y0)在曲线上,得 x0y0=1,联立可解得 x0=1,y0=1, 故所求直线方程为 x+y-2=0.
过点P(x0,y0)的切线方程时应注意: (1)判断点P(x0,y0)是否在曲线y=f(x)上; (2)若点P(x0,y0)为切点,则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为
f'(x0),切线的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 若点P(x0,y0)不是切点,则设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-
=
lim
������→������0
������(���������)���--������������0(������0)=f'(x0),
∴ lim [������(������)]2-[������(������0)]2
������→������0
������-������0

200 20
第六页，共十四页。
当时 x从 2间 m 0 变 in3到 m 0 时 in ,体y温 相对于 x的 自平 变均 量变 化率 :3 8 为 3.8 50.50.0(5 c/min).
3 020 10
这里出现,它 了表 负示 号体温 ,显下 然 ,绝 降对 了值越大下 越快 ,这里 ,体温2从 0mi到 n30mi这 n 段时间下 0m降 i到 n得比 20mi这 n 段时间 . 要快
h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数
关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
请计算(jì
suàn)
0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v :
第十一页，共十四页。
在 0 t 0.5这段时间里 , v h(0.5) h(0) 4.05 (m / s);
x1 x0
第八页，共十四页。
抽象 概括 (chōuxiàng)
对一般y的 f(x函 )来数 ,说 当自x从 变 x1变 量x为 2时 ,函数f值 (x1) 从 变f为 (x2)它 , 的平均: 变化率为 f(x2)f(x1).
x2x1
通常我们把自变化量 x2 的 x1称变作自变量的,记 改作 变 x,量 函数 值的变f (化 x2) f (x1),称作函数值的,记 改作 变 y.量 这样 ,函数的平 均变化率就可以函表数示值为的改变量量与的自改变变量,即之 : 比
39 y/(c)
38
37 36
10 20 30 40 50 60 70
x/ min
比较x时 从 0m 间到 in20 m和 in 2从 0 m到 in30 m体 in 温的变 , 化 哪段时间体?如 温何 变刻 化画 较体 快 慢 温 ? 变化的

对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量 ， 记 作 ________ ， 函 数 值 的变 化 f(x2)－ f(x1) 称作函 数 值 的改 变 量 ，记 作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速 度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________

(0 +Δ)-(0)
变化率,记作:
Δ
=
=
.
Δ
1 -0
Δ
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数
(hánshù)在x0点的瞬时变化率.
第四页，共22页。
特别(tèbié)提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间
Δ
分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ即可.
解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=f(-1)-f(-3)=[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6,
Δ
6
∴Δ = 2 =3,
即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 3.
②∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=g(-1)-g(-3)=[2×(-1)2 +1]-[2×(-3)2 +1]=-16,
第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.
第十四页，共22页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
一
思维(sīwéi)
辨析
变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度
为(
A.12
)
B.-12 C.4
Δ
解析:
Δ
=
D.-4
(4+Δ)-(4)
Δ
2
2
2[1-(4+Δ)] -2(1-4)
=
=2Δt+12,
Δ
Δ
当 Δt 趋于 0 时, Δ 趋于 12.
答案:A
第十五页，共22页。

在(2)题中，ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝f44.1.1－－4f4，它表示抛物 线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率．
[点拨] 求函数 f(x)的平均变化率的步骤是： (1)根据 x1 和 x2 值写出自变量的增量 Δx； (2)由 Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量；
练 3 求函数 y＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数．
[解] 法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. y′|x＝3＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16.
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析： v ＝ΔΔst＝8＋2.21.21－－28＋22＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 B．f′(x0)＝ lim [f(x0＋Δx)－f(x0)]
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
3．对导数概念的理解 某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含 义：
(1) Δlixm→0ΔΔxy存在，则称 f(x)在 x＝x0 处可导并且导数即为 极限值；
＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
[点拨] 在导数的定义中，增量 Δx 的形式是多种多样 的，但不论 Δx 选择哪种形式，Δy 也必须选择与之相对应的 形式．利用函数 f(x)在 x＝x0 处可导的条件，可以将已给定 的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重