北师大版数学选修1-1教案：第3章-变化的快慢与变化率-参考教案【2】

3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。

瞬时变化率—导数
一、学习目标
1通过实例，理解并掌握导数的概念及几何意义并能灵活应用函数的定义求解导数。

2独立思考，小组合作，学会求导数的方法。

3缜密思维，激情投入，享受成功的快乐。

二、根底梳理
1曲线上一点处的切线
曲线C：=f，设，那么Δ→0时，
求
2求函数在=1处的导数
【变式训练】求函数f=-2在=-1处的导数
3求函数在点1，1处的切线方程。

：f=3
1求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
2求过点1,1与f=3相切的直线
【变式训练】曲线上一点P1，2，求过点P的曲线的切线的倾斜角和切线方程
四、课堂小结
1知识方面
2思想方法方面。

【知识点拨】 1.对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球
的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 .
定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值 y . x (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
为
二、瞬时变化率 对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为___________ 平均变化率 ，
y f x1 f x 0 f (x 0 x) f x 0 记作：__________________________________. x x1 x 0 x
类型 一
求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近 一点(1+Δ x,2+Δ y),则 y 为( ) x A. x 1 2 B. x 1 2 x x C.Δ x+2 D.2 x 1 x 2.求y=2x2+1在x0到x0+Δ x之间的平均变化率，并求x0=1，
2.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别：平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数
值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在
x0点处变化的快慢.
y 趋于一个常数， x 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率
3.对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点 处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一 定精确度的情况下，不影响其取值的严谨性.

3。

1 变化的快慢与变化率一、问题情境1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载。

观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为:问题1:“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化)曲线上升的陡峭程度？20 30 3421020300 210二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.2、由点B 上升到C 点，必须考察y C -y B 的大小，但仅仅注意y C -y B 的大小能否精确量化BC 段陡峭程度,为什么？3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

三、建构数学1．通过比较气温在区间［1，32］上的变化率0．5与气温［32，34］上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间［x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。

4。

平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”,但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。

四、数学运用例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元,乙挣到2万元，如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?变:在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲,乙两人的经营成果？. 例2、水经过虹吸管从容器甲中,t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位:3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。

注:(10)(0)100V V --例3、已知函数2()f x x =,分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3］； （2）［1,2］；（3)[1，1。

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。

四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。

五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。

六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量B ．t 0称为函数值增量C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量D.Δs Δt称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3.函数y ＝1x在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx＝－1x 0（x 0＋Δx ）. 答案：－1x 0（x 0＋Δx ）4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt趋于12.答案：12[A 级 基础达标]1.在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C.Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2.2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )中的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：选A.v ＝Δs Δt ＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝[（3＋Δt ）2＋3]－（32＋3）Δt＝6＋Δt . 3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：Δs Δt＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h. 答案：100 km/h5.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k OA ； v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ； v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC . 又∵k BC ＞k AB ＞k OA ，∴v 3＞v 2＞v 1.答案：v 3＞v 2＞v 16.求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2－4Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx＝（3＋Δx ）2－9Δx＝6＋Δx . 令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大． [B 级 能力提升]7.(2012·九江测试)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.8.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt 趋于0时，Δs Δt＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2.9.求函数f (x )＝x 2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．解析：k 1＝Δy 1Δx 1＝f （2）－f （1）2－1＝22－121＝3， k 2＝Δy 2Δx 2＝f （1.1）－f （1）1.1－1＝1.12－120.1＝2.1， k 3＝Δy 3Δx 3＝f （1.01）－f （1）1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.答案：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.10.已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度．解：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的位移增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20，因此，落体在这段时间内的平均速度为 v ＝Δs Δt ＝12g （t 0＋Δt ）2－12gt 20Δt ＝12g ·Δt （2t 0＋Δt ）Δt＝12g (2t 0＋Δt )． (2)落体在t 0时的瞬时速度即Δt 趋于0时，Δs Δt趋于gt 0这一速度． (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s ，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m /s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度为v ＝9.8×2＝19.6(m /s)．11.(创新题)质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s.。

间 t 的函数 v＝v(t)，从刹车开始 t＝t1 到汽车停止 t＝t2，汽车平 vt2－vt1
均减速_____t2_－__t1____.
4．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值___f_x_x22_－－__fx_1x_1__＝ΔΔyx，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率，即函数 f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的_斜__率__.
是从大于 t0 的一边趋近，平均速度都趋近于 t0 时的瞬时速度．
(2)|Δt|无限变小时，－v 无限接近于 v，故 v＝lim Δt→0
Δs Δt.
1.若函数 f(x)＝3x2＋1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，
C．6＋3Δx
D．4＋2(Δx)2
(1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
函数
Δt＝2.1－2＝0.1，
∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的
瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
[答案] C
[解析] Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
物理学里我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0

=f (x +∆x )-f (x )第三章 变化率和导数 3．1．1 瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的 定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的 运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是 方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我 们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数 f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点 Q 运动，随着点 P 无限逼近点 Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点 Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用 Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点 Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ =f ( x ) - f ( x )1 0 x - x1 0，设 x 1－x 0△= x ，则 x 1 △= x ＋x 0，∴ k PQ =f ( x + ∆x ) - f ( x )0 0 ∆x当点 P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于 0 时， k0 0∆x无限趋近点 Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：k = f ( x 0 +∆x ) - f ( x 0 )∆x，当 △x 无限趋近于 0 时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。

第三章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率自主整理1.函数的平均变化率函数y=f(x)当自变量x 从x 1变为x 2时,函数值从f(x 1)变为f(x 2),它的平均变化率为_________.通常自变量的变化x 2-x 1称作自变量的改变量,记作_________,函数值的变化f(x 2)-f(x 1),称作函数值的改变量,记作_________.这样函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量之比,即_________.我们用它刻画函数值_________. 2.函数的瞬时变化率函数y=f(x)在自变量x 从x 0变到x 1的过程中,若设Δx=x 1-x 0,Δy=f(x 1)-f(x 0),则函数的平均变化率是101)()(x x x f x f x y --=∆∆=_________.当Δx 趋于0时,平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是_________.高手笔记1.函数的平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,变化得越快.2.求函数f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量Δy=f(x 2)-f(x 1); (2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆. 3.求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法，求解过程较为烦琐，根据教材概括也可以按以下方法求解：（1）设Δx=x 1-x 0,求Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0);(2)求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00;(3)当Δx 趋于0时，xy∆∆趋于一个常数，即函数在x 0点的瞬时变化率. 名师解惑1.同一函数的平均变化率是否为一个常数? 剖析:平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆,式子中Δx,Δy 的值可正、可负,但Δx 的值不能为0,Δy 的值可以为0.当函数f(x)为常数函数时,Δy=0,此时平均变化率为0.当x 1、x 2分别取不同的数值时,函数的平均变化率往往不同.2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系是什么? 平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00,当Δx 趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x 0点的瞬时变化率.剖析:Δx 趋于0是指自变量间隔Δx 越来越近,能达到任意小的间隔,但始终不能为0;Δx,Δy 在变化中都趋近于0,但它们的比值趋近于一个确定的常数. 讲练互动【例1】甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,试指出哪一个厂治污效果较好?解析：通过比较相同时间Δt 内,两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果. 解：在t 0处,虽然W 1(t 0)=W 2(t 0), 但tt t W t W ∆∆--)()(0101<t t t W t W ∆∆--)()(0202,所以,在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.绿色通道通过函数的平均变化率研究函数值变化的快慢,xy∆∆越大,高度的平均变化量就越大,图像越陡峭;反之,xy∆∆越小,高度的平均变化量越小,图像越平缓. 变式训练1.过曲线f(x)=x 3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求当Δx=0.1时割线的斜率. 解析:割线斜率k=xyx x y y ∆∆=--1212. 解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=1.13-1=0.331. ∴当Δx=0.1时割线PQ 的斜率为1.0331.0=∆∆x y =3.31. 【例2】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.估计运动员在t=2时的瞬时速度. 解析：运动员一段时间的高度改变量Δh 除以这段时间的改变量Δt 就是这段时间的平均速度. 解：将时间间隔每次缩短为前面的1计算出相应的平均速度得到下表.可以看出,当时间t 1趋于t 0=2 s 时,平均速度趋于-13.1 m/s,因此,可以认为运动员在t=2 s 时的瞬时速度为-13.1 m/s. 绿色通道从物理的角度看,时间间隔Δt 无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度. 变式训练2.求y=2x 2-x 在x=1附近的平均变化率.解析:平均变化率,即xy ∆∆. 解:Δy=f(1+Δx)-f(1)=［2(1+Δx)2-(1+Δx)］-(2-1)=2(Δx)2+3Δx,xy∆∆=2Δx+3.。

转变的快慢与转变率学习目标：了解瞬时速度的概念，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时转变率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其概念域内不同的两点，那么函数的转变率能够用式子 表示，咱们把那个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的。

适应用 来表示，即： 。

（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0） [问题2] 咱们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时刻内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率是: 。

咱们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率；②概念的转变形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000； ()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- ③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[问题4]求函数()f x 在0x 处导数三步法：①求函数的增量： 。

§1 变化的快慢与变化率学习目标：1.理解函数平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间的平均变化率．(重点)3.会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢．(重点、难点)1．平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．思考：函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？[提示] (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．2．瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．思考：物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示]不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则(1)Δx可正，可负，可为零；()(2)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝f(x1＋Δx)－f(x1)Δx；()(3)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x2)x1－x2＝f(x2－Δx)－f(x2)－Δx；()(4)当Δx趋于0时，ΔyΔx就趋于x1处的瞬时变化率．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx等于()A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C[Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.]3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率为__________．[解析]ΔyΔx＝(1＋Δx)2－12Δx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝Δx＋2，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于2.[答案] 2求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.∴ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3.即函数y＝3x2＋2在[2,2.1]上的平均变化率为12.3.求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)计算Δx，求出Δx＝x2－x1；(2)计算Δy，求出Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)计算变化率，求出ΔyΔx的值.1．已知函数f(x)＝x2＋x，计算f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数f(x)＝x2＋x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝(x0＋Δx)2＋x0＋Δx－(x20＋x0)Δx＝(2x0＋1)·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0＋1＋Δx，当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝x2＋x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.求瞬时速度【例2】 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．思路探究：本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[解] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度v ＝ΔsΔt ；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝3时的瞬时速度．[解] 令Δt 为增量．则s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝－3Δt －(Δt )2Δt ＝－3－Δt .当Δt 趋于0时，s (3＋Δt )－s (3)Δt趋于－3.所以此物体在t ＝3时的瞬时速度为－3.求瞬时变化率[探究问题]1．已知s (t )＝5t 2，请求出t 从3秒到3.1秒的平均速度． [提示] 当3≤t ≤3.1时， Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3) ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． 2．在上述问题中，请求出t ＝3秒时的瞬时速度． [提示] 在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3秒时的瞬时速度为30 m/s . 【例3】 已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数y ＝f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求函数y ＝f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．思路探究：函数y ＝f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率Δy Δx →Δx 趋于0→ΔyΔx 趋于常数．[解] (1)由已知，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝4x 0＋2Δx .(2)由(1)可知，ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于8，即函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44B [Δy ＝f (2＋0.1)2－f (2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.]2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上平均变化率为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．[解析] Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.[答案] 4.14．某物体作匀速运动，其运动方程为s ＝v (t )＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系为________．[解析] 平均速度v ＝v (t ＋Δt )＋b －[vt ＋b ]Δt ＝v ΔtΔt ＝v .故任一时刻的瞬时速度也是v .[答案] 相等5．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移(单位：m)，t 表示时间(单位：s)．(1)求该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt )(m/s)．(2)由(1)知，当Δt 趋近于0 s 时，ΔsΔt 趋近于－6 m /s ，所以该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为－6 m /s .。

变量(Δx＝__x_2_－__x_1 _)的比值
作用 刻画函数值在_区__间__[x_1_，__x_2_]上变化的快慢
二、瞬时变化率 对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy
定义 ＝f(x1)－f(x0)，则当_Δ_x__趋__于__0_时，平均变化率ΔΔxy＝fxx11－ －fx0x0＝_f_x_0_＋__ΔΔ_xx_－__f__x_0_ 趋于函数在 x0 点的瞬时变化率
一、平均变化率
对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为
定义
fx2－fx1
f(x2)．它的平均变化率为____x_2_－__x_1__
函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy＝_f_(x_2_)_－__f(_x_1_)_)与自变量的改 实质
实质 平均变化率为当___自__变__量__的__改__变__量_趋__于__0_时_______的值 作用 刻画函数值在__x_0_点____处变化的快慢
[疑难提示]
对平均变化率的正确理解
(1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx
代替x2.
(2)
Δy Δx
6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果 较好？
解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)， 但W1t0－ΔWt1t0－Δt<W2t0－WΔt2t0－Δt， 所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3. (1)写出r关于V的函数r(V)； (2)当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1 L增 加到2 L时，气球的平均膨胀率又是多少？ (3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？

eq \a\vs4\al(1.) (2012·西安检测)某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的是( )A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量B．t0称为函数值增量C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增量D.ΔsΔt称为函数值增量解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．2.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选B.∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3.函数y＝1x在区间[x0，x0＋Δx](x0≠0，且x0＋Δx≠0)的平均变化率为________．解析：ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝1x0＋Δx－1x0Δx＝－1x0（x0＋Δx）.答案：－1x0（x0＋Δx）4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．解析：ΔsΔt＝18（t＋Δt）2－18t2Δt＝14t＋18Δt.当t＝2，且Δt趋于0时，ΔsΔt趋于12.答案：12[A级基础达标]1.在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx 为( )A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx解析：选C.Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋2.2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)中的平均速度等于( ) A．6＋ΔtB．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝ΔsΔt＝s（3＋Δt）－s（3）Δt＝[（3＋Δt）2＋3]－（32＋3）Δt＝6＋Δt.3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④B．②①③④C．②①④③D．②④①③解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：ΔsΔt＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h.答案：100 km/h5.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图，在时间段[t，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：∵v1＝s（t1）－s（t0）t1－t0＝k OA；v2＝s（t2）－s（t1）t2－t1＝k AB；v3＝s（t3）－s（t2）t3－t2＝k BC.又∵k BC＞k AB＞k OA，∴v3＞v2＞v1.答案：v3＞v2＞v16.求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝（1＋Δx）2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝（2＋Δx）2－4Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f（3＋Δx）－f（3）Δx＝（3＋Δx）2－9Δx＝6＋Δx.令Δx＝13，可得k1＝73，k2＝133，k3＝193，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大．[B级能力提升]7.(2012·九江测试)将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加( )A．8πR(ΔR)B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2.8.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt －8t·Δt－4(Δt)2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt趋于0时，ΔsΔt＝16－8t－4Δt＝0.即16－8t＝0，解得t＝2.9.求函数f(x)＝x2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．解析：k1＝Δy1Δx1＝f（2）－f（1）2－1＝22－121＝3，k2＝Δy2Δx2＝f（1.1）－f（1）1.1－1＝1.12－120.1＝2.1，k3＝Δy3Δx3＝f（1.01）－f（1）1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2.答案：x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2.10.已知自由落体的运动方程为s＝12gt2(g＝9.8 m/s2)，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t0＝2 s时的瞬时速度．解：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的位移增量为Δs＝12g(t0＋Δt)2－12gt20，因此，落体在这段时间内的平均速度为v＝ΔsΔt＝12g（t0＋Δt）2－12gt20Δt＝12g·Δt（2t0＋Δt）Δt＝12g(2t0＋Δt)．(2)落体在t0时的瞬时速度即Δt趋于0时，ΔsΔt趋于gt0这一速度．(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s，其时间增量Δt＝t1－t0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v＝12g(2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m/s)．(4)由(2)知落体在t0＝2 s时的瞬时速度为v＝9.8×2＝19.6(m/s)．11.(创新题)质点M按规律s＝s(t)＝at2＋1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt＝4aΔt＋a（Δt）2Δt＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

2 解:∵ Δs=v0(t0+Δt)- g(t0+Δt)2- ������0 ������0 - g������0 =(v0-gt0)Δt- g(Δt)2,
1
2
【做一做 1-1】
������ ������
已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一点 )
(1+Δx,1+Δy),则 等于( A. 4 C.4+2Δx 解析: B.4 x
D.4+2(Δx)2
Δ������ ������(1+Δ������)-������(1) = Δ������ Δ������ 2 2(1+Δ������) -1-2×12+1 = =4+2Δx. Δ������
【做一做 2】
如果质点 A 按规律 s=2t3 运动(其中 s 表示路程,t 表示 ) C.54
2 3
时间),则在 t=3 时的瞬时速度为( A. 6 B.18
Δ������ 解析: Δ������
D.81
=
2(3+Δ������) -2×33 Δ������ Δ������ Δ������
3
=
54������+18(������) +2(������) ������
值不能为 0,Δy 的值可以为 0.当函数 f(x)为常数函数时,Δy=0,此时平均变化 率为 0.当 x1,x2 分别取不同的数值时,函数的平均变化率往往不同.
1
2
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 剖析:平均变化率
������ ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 当 Δx Δ������

知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考 1 函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？梳理平均变化率(1)定义式：＝________________.(2)实质：___________________________________________之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__________________________________________．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则平均变化率＝x2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的________．知识点二瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？梳理要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝________________，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的____________．类型一函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(3)得平均变化率＝x2－fx1,x2－x1).跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．反思与感悟函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y ＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝x2－fx1,x2－x1).跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )。