高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_10222260

������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
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专题探究
专题一

函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.

＝2－Δt，
当
Δt
趋于零时，Δs趋于 Δt
2.
∴v(0)＝2.
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第十二页，共二十九页。
求改变(gǎibiàn)量
求函数f(x)＝x2＋3x＋1从1变化到2时函数的改变量． [解] Δy＝f(2)－f(1)＝11－5＝6.
方法归纳(guīnà) (1)自变量的改变量指变化后的自变量减去变化前的自 变量．
t0
t0
0
到
t0
这段时
间内乙的平均速度大．
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第二十七页，共二十九页。
[感悟提高]
设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两
点，函数 y＝f(x)的平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）＝
f（x1＋Δx）－f（x1）为割线 Δx
0.70 0.71 0.71
0.71
…
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第二十三页，共二十九页。
表中是某同学(tóng xué)通过计算得出的部分数据，请你据此估计该合金
棒在x＝2 m处的线密度． 解：从此同学列出的表格可以看出，当x1趋于x0＝2 m时，平均线密 度趋于0.71 kg/m，所以该合金棒在x＝2 m处的线密度为0.71 kg/m.
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第七页，共二十九页。
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)， 若记 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx 可正，可负，可为零( × ) (2)函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝f（x2）x2－ －xf（1 x1）＝ f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）( √ )

【解题探究】1.函数y=f(x)在[x0，x1]内自变量与函数值的改变量 各是什么?
2.解答题2时，Δy的表达式是什么?
探究提示：
1. 自 变 量 的 改 变 量 Δx=(1+Δx)-1 ， 函 数 值 的 改 变 量 Δy=f(1+Δx)f(1).
2.解答题2时Δy的表达式为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
3.平均变化率表示为
_____f__x__2 ___f__x.1
4.平均变化率的意义：刻xy画函数值在x 2区 间x1[x1，x2]上_____
_______.
变化
的快慢
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十二分。
思考：对于函数f(x)，若x1≠x2,平均变化率能否表示
为 f x1 f x2 ？
第三章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十二分。
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十二分。
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.自变量的改变量为___x_2-_x，1 记作Δx.
2.函数值的改变量为___________，记作Δy. f(x2)-f(x1)
0 函数在x0点的___________.
瞬时变化率
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十二分。
判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零.( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间［x0,x1］上变化的快
慢.( )
(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0.( )
40 80x
x
当Δx趋于0时， 趋f于40,

第三章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.自变量的改变量为_____，记作Δx. 2.函数值的改变量为___________，记作Δy.
3.平均变化率表示为 __x_2_-_x_1 ________.
4.平均变化率的意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上_____
(2)在x0点的瞬时变化率：当Δx趋于__时，平均变化率趋于
函数在x0点的___________.
平均变化率
y f x1 f x0 f (x0 x) f x0
x x1 x0
x
0 瞬时变化率
判断：（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间［x0,x1］上变化的快慢.( ) (3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0.( )
பைடு நூலகம்
3.对瞬时变化率的两点说明 (1)平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点处的瞬时变化率 是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一定精确度的情况 下，不影响其取值的严谨性.
类型 一 求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近
一点(1+Δx,2+Δy),则 为( )
A.
B.
C.Δx+2
D.
2.求y=2x2+1在x0到x0+Δx之间的y平均变化率，并求x0=1， 时函数的平均变化率的值.x
x 1 2
x 1 2
x
x
2 x 1 x
x 1 2
【解题探究】1.函数y=f(x)在[x0，x1]内自变量与函数值的改变量各是什么? 2.解答题2时，Δy的表达式是什么? 探究提示： 1.自变量的改变量Δx=(1+Δx)-1，函数值的改变量Δy=f(1+Δx)-f(1). 2.解答题2时Δy的表达式为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).