高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率北师大版选修2

'
记 一 记
9
不需推导，但要注意符号的运算.
1 公式7 (1oga ) 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
10
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(2) 6x5 ; (4) -sin .
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
13
3.填空
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______; 2 1 x 3 3 2 (2) y x 的导数是_______; 3
y 0, x y ' ' f ( x ) C lim 0. x 0 x
C C 0
5
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x ) lim lim1 x 0 x x 0 1
12
( 5) y
x ( 6) y x
1 3
15
5、基本初等函数的导数公式
0 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____; nxn-1 n(n∈R),则f ′(x)=_; （2）若f(x)=x cosx ′(x)=_____; （3）若f(x)=sinx,则f （4）若f(x)= cosx,则f

§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。

可以发现，随着气球内空气体积的增加，气球的半径增加得越
来越慢．从数学的角度，我们如何描述这种现象呢？
[解析]
气球的体积V与半径r之间的函数关系是V(r)＝
4 3
3 πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝
3V 4π.
当空气体积V从0增加到1时，气球半径增加了r(1)－
r(0)≈0.62，气球的平均膨胀率为r11－－0r0≈0.62；
1 2
t2，则t＝2时，
此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．12
1 D.4
• [答案] A
[解析] ∵ΔΔst＝122＋ΔtΔ2t－12×22＝12Δt＋2，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(12Δt＋2)＝2，故选A.
探索延拓创新
• 割线的斜率
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy) 作曲线的割线，求当Δx＝0.1时割线的斜率．
第二章 变化率与导数
第二章 §1 变化的快慢与变化率
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．了解函数平均变化率的概念 • 2．掌握函数平均变化率的求法 • 3．理解瞬时变化率 • 本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、
0.02×902＝262；生产90个到100个单位该产品时，成本的平
均变化率为c110000－－9c090＝3.8.
易错辨误警示
下列说法：①函数y＝4x＋1在x从1变到3时的平 均变化率ΔΔyx＝ΔΔxxxy＝yx；②函数y＝x2＋x在x从0变到2时，Δx＝2 －0＝2，Δy＝f(2)－f(0)＝6；③函数y＝ x 在x从4变到9时，Δy ＝f(9－4)＝f(5)＝ 5.其中正确的有________．

������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
Δ��� )-������(������1 ) .我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 ������2 -������1
温馨提示
1.
������ ������
=
������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 ������ ������
第二章
变化率与导数
§2.1
变化的快慢与变化率
学习目标 思维脉络 1.理解函数在某点的平 均变化率的概念与意义. 2.理解运动物体在某时刻的 瞬时变化率(瞬时速度). 3.会求函数在某点的平均变 化率. 4.能正确地理解平均变化率 与瞬时变化率的区别与联 系.
1
2
1.函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变 为 f(x2),它的平均变化率为
与 Δx 是相对应的“增量”,即当
Δx=x2-x1 时,Δy=f(x2)-f(x1).
1
2
做一做 1
一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速 度为( ) A.0.41 解析:������ = 答案:D

'
记 一 记
9
不需推导，但要注意符号的运算.
1 公式7 (1oga ) 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
10
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(2) 6x5 ; (4) -sin .
y 0, x y ' ' f ( x ) C lim 0. x 0 x
C C 0
5
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x ) lim lim1 x 0 x x 0 1
12
( 5) y
x ( 6) y x
1 3
15
5、基本初等函数的导数公式
0 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____; nxn-1 n(n∈R),则f ′(x)=_; （2）若f(x)=x cosx ′(x)=_____; （3）若f(x)=sinx,则f （4）若f(x)= cosx,则f
' '
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
3
(2) 求函数f(x)=0的导数；
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
4
公式1 C 0 (C为常数).
'
证明： f ( x ) C , y
y f ( x x ) f ( x )

1.函数的平均(píngjūn)变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均(píngjūn)变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).
记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
( )-(1 )
(2)结论:商 2 -
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
瞬时变化率
【例2】 已知s(t)= gt1 2,其中g=10 m/s2.
2
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(3)求平均速度 =
Δ
;
Δ
(4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt 趋于 0
第十三页，共23页。
Δ
时, 趋于
Δ
v(常数).
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t1
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
1
1
2
Δs=s(3.1)-s(3)=2·g·(3.1) -2·g·32=3.05(m),Δs
Δ
3.05
1 = =
=30.5(m/s).
Δ

第二章 变化率与导数
K12课件
1
身高（cm)
姚明身高变化图
240
210
180
150
120
90
60
30
0
0
3
6
9
12
15
18
21
年龄（岁）
K12课件
2
问题1：
物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过
的路程，显然 s 是时间t 的函数，表示为s = s （t）.
在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上的平均变化率为:
y f (x2 ) f (x1 )
x
x2 x1
2. 瞬时变化率:
对于函数 y f (x) 的平均变化率
y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
记为 v s t
K12课件
5
问题2：
某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示.
y/(oC)
39
38
体温从0min到20min的平均变化 率是：38.5 39 0.5 0.025
20 0 20
体温从20min到30min的平均变化
37
率是：38 38.5 0.05
快慢。
K12课件
9
思考交流
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平
均变化率.
答案：都是2
2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率.
答案：还是2
3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率.

2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.1 变化的快慢与变化率学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.1 变化的快慢与变化率学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2.1 变化的快慢与变化率(建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1。

函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于（）A。

12 B.24C。

2 D.－12【解析】Δy＝f（3)－f(1）＝33－31＝24，则错误!＝错误!＝12。

故选A。

【答案】A2.函数f(x）＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为（)A。

3 B.2C。

1 D.4【解析】由已知得错误!＝3,∴m＋1＝3，∴m＝2。

【答案】B3。

将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于( )A。

8πRΔRB.8πRΔR＋4π(ΔR）2C.4πRΔR＋4π(ΔR)2D。

4π(ΔR）2【解析】球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π（R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π（ΔR）2。

【答案】B4.函数y＝f(x）＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是（）A。

2 B.3C.4 D。

5【解析】Δy＝f(2＋Δx）－f（2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1）＝3Δx，则ΔyΔx＝错误!＝3，∴当Δx趋于0时，错误!趋于3。

•平均变化率
1.定义：对于函数y＝f(x)，我们把式子fxx22－－xf1x1称为函数 y＝f(x)从x1到x2的___平__均__变__化__率__．___
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1.可把Δx看作相对于 x1的一个“增量”；类似的，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化 率可以表示为ΔΔyx＝___f_x_x2_2－－__xf_1_x_1___.
中小学精编教育课件
第二章 变化率与导数
• 本章知识概述
• 本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变 化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导 数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数 的求导法则.
• 教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事 物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识 过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
• [解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近
一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔyx等于( )
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
• [答案] D
D．3－Δx
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3， 故选D.
(2)
Δy Δx
＝
fx1－fx0 x1－x0
＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
，式子中Δቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，Δy的值
可正、可负，但Δx的值不能为零，Δy的值可以为零，若函数
f(x)为常数函数时，Δy＝0.所以平均变化率可正、可负，也可

这里出现了负号它表示体温下降了显然, 绝对值越大下降得 , , 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 min到 0 20 min 这段时间要快 .
归纳 在第一个问题中我们用一段时间内物体 , 的平均速度刻画了物
体运动的快慢 当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s (t0 )变 , 为s (t1 ), 这段时间内物体的平均 速度是 : s(t1 ) s(t0 ) 平均速度 . t1 t0
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s ); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s ). 2 1
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢 当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是 : y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0

北师大版-高中数学选修2-2 第2章：变化率与导数 第1节：变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率
模块一：平均变化率
例1 S(t)表示物体经过时间t走过的路程，比较该物体在
[2,10],[10,13]这两段时间内运动的快慢？
路 程 32
C(13,32)
v1

S(10) 10

S(2) 2

1.75
y f (1) f (1) 0
y 0 0 x 2
模块一：平均变化率
随堂练习
2.已知函数f ( x) 2x2 1
答案：
(1)求函数f(x)在[1,1]上的平均变化率； (1)0
(2)10, 8.2, 8.02
(2)求函数f(x)在[2,3],[2, 2.1],[2, 2.01]上
变 20
化
曲
A(2,6) 6
线
o2
B(10,20) 路程曲线
S(10) 13 10

4
区间[t1, t2 ]平均速度计算公式： S(t2 ) S(t1)
t2 t1
模块一：平均变化率
y
f(1300)
登 山 f(x2)
路
线
f(x1) A
图 f(200)
o 200
模块二：瞬时变化率
例2 一小球从高空自由下落，其走过的路程 s与时间t之间的函数关系是s 1 gt2
2 (1)小球在时间区间[5, 6], [5, 5.1]上的平均速度
v1, v2 ? (2)小球在t 5时的瞬时速度？
(2)t 0，在[5 t,5]这段时间 v s(5) s(5 t) 4.9(10 t)
（1）当t 2s，t 0.01s时，求 s ； t

1变化的快慢与变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.一质点的运动方程为s ＝10t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：求该质点从t 1＝1到t 2＝2的平均速度v 1. 提示：v 1＝10×4－10×12－1＝30.问题2：问题1中所求得的速度是t ＝1或t ＝2时的速度吗？ 提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t 1＝1到t 1＝1.1的平均速度v 2.提示：v 2＝10×1.12－10×11.1－1＝21.问题4：v 1，v 2中哪一个值较接近t ＝1时的瞬时速度？ 提示：v 2，因为从t 1＝1到t 2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．[例1] (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．[思路点拨] 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． [精解详析] (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2， Δx ＝2.01－2＝0.01， ∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx x 0＋ΔxΔx＝4x 0＋2Δx .[一点通] 求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0.[注意] Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.1．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .2．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率， 并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 2－1＝12. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 5－3＝1415.由于12<1415， 所以函数f (x )＝x ＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．[例2] (1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度．[精解详析] (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)， ＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt ＋Δt Δt＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt 是趋于0，而不是Δt ＝0，此处Δt 是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1 解析：选D Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2.∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋aΔt2Δt＝4a ＋a ·Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0 解析：选AΔy Δx＝f －f 1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度 解析：选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝－2＋Δx2－－2＋Δx ＋1－＋4＋Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：因为Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝1＋Δt 2－14Δt＝－4＋Δt ＋Δt2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋t －2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋＋Δt －2－29－－2Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。

北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2 第二章《变化率与导数》 第二章《变化率与导数》
§1 变化的快慢与变化率
周至县第三中学 数学组 马周科
1 © Synopsys 2012 1
一、学习目标： 学习目标：
1、理解函数平均变化率的概念； 理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平 均变化率，并能根据函数的平均变化 均变化率， 率判断函数在某区间上变化的快慢。 率判断函数在某区间上变化的快慢。
物体从某一时刻开始运动， 表示此物体 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体 经过时间t走过的路程 走过的路程， 经过时间 走过的路程，在运动的过程中测得了 一些数据，如下表. 一些数据，如下表
t(秒 ) s( 米 )
0 0
2 6
5 9
10 13 15 … 20 32 44 …
物体在0 物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内， 秒和10～13秒这两段时间内， 10 秒这两段时间内 哪一段时间运动得更快？ 哪一段时间运动得更快？
2 © Synopsys 2012 2
• 二、学习重点： 学习重点：
• 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 变化的快慢的数量描述。
• 教学难点： 教学难点：
• 对平均速度的数学意义的认识
• 三、学习方法： 学习方法：
f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分 12个月的体重变化如图所示 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 12 的平均变化率. 的平均变化率.

2.1 导数的概念及其应用导数是数学中最重要的概念之一，是我们这一章内容的根本，只有准确把握好导数的概念才能用它指导相关知识的学习，才能用它来解决问题．一 细说导数的概念１． 函数()f x 在某一点0x 处的导数：它是用函数在这一点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量趋与零时的极限来度量的，即 ()'0000()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，或者()0'000()()lim x x f x f x f x x x →-=-，或者()'0000()()lim x f x f x x f x x∆→--∆=∆，或者在k 为非零常数时()'0000()()lim x f x k x f x f x k x∆→+∆-=∆等．这几种形式是等价的，明确这点对解题很有帮助． 例１．已知函数()f x 中，()'12f =,求xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim 0． 分析：当0x ∆→时，20x -∆→，只需将xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim 0变形为(2)0[1(2)](1)2lim (2)x f x f x -∆→+-∆---∆，即可用导数的定义解决． 解：()'0(2)0(12)(1)[1(2)](1)lim 2lim 214(2)x x f x f f x f f x x ∆→-∆→-∆-+-∆-=-=-=-∆-∆． 点评：函数在某一点0x 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量x ∆必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2x -∆， 12x ∆等． ２． 函数()f x 在开区间(),a b 内的导数：如果函数()f x 在开区间(),a b 内可导，对于开区间(),a b 内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样'()f x 在开区间(),a b 内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间(),a b 内的导函数， 记作 ()()()00lim lim x x f x x f x y f x y x x∆→∆→+∆-∆'='==∆∆，导函数也简称为导数．例２．求()22f x x =的导数．分析：我们先认定x 为函数()f x 在定义域内的某一个固定的点，用导数的定义求其在这一点处的导数，而这个x 在定义域内又是任意的，故所求出的导数就是函数()22f x x =的导数．解：()()()()222'0002242lim lim lim 424x x x x x x x x x f x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-⋅∆+∆===+⋅∆=∆∆． 点评：定义法是求函数导数的基本方法．二 导数在解决问题中的应用例３．求证：偶函数的导数是奇函数．分析：根据偶函数的定义和导数的定义进行变换．证明：设()f x 是偶函数，则()()()()()()()()'00'()0limlim ()lim ()x x x f x x f x f x xf x x f x xf x x f x f x x ∆→∆→-∆→+∆-=∆--∆--=∆-+-∆--=-=---∆， 即对函数()f x 的定义域内的任意x 有()''()f x f x -=-，即'()f x 是奇函数．点评：0030x x x ∆→⇔-∆→⇔∆→等是活用导数的定义的关键，变形时注意分子分母中自变量改变量的一致性．小结：从上面不难看出导数概念中的关键是＂自变量改变量的一致性和自变量的改变量趋于零的绝对任意性＂．。

变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。

2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。

（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。

我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

解：我们将时间间隔每次缩短为前面的1，计算出相应的平均速度得到下表： 可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。