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任意三角函数的定义说课PPT课件

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三角函数认识ppt课件

三角函数认识ppt课件

辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。

人教版高中高一数学必修四 12 任意角的三角函数 说课课件(共28张PPT)

人教版高中高一数学必修四 12 任意角的三角函数 说课课件(共28张PPT)

引入已有知识和经验，利于学生对新知识 的理解 和记忆。同时，培养学生的逻辑思维 能力和扩展思维能力。
初中锐角的三角函数是如何定义的？
y
r
o
P ( x, y )
M
x
对边 y sin 斜边 r 邻边 x cos 斜边 r 对边 y t an 邻边 x
（ 让 学 生 回 答 ）
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正切，即 x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习巩固
练习一 （口答）
sin 45
y
5 3
AOB 3000 , 如图所示它的的终边与单位圆的
5 解：在直角坐标系中，作AOB 易知 3
1 3 M﹒ 交点坐标为( , ) 2 2 o A x 5 5 3 5 1 ﹒B tan 3 cos 所以 sin 3 2 3 2 3
意图：加强学生对定义的理 解，让学生学会计算任意角 的三角函数
问题 1.在直角坐标系中如何用坐标表示
锐角三角函数？
y
P
y
O

x
M
x
前面我们学了角的概念推广后，下面我们要把 “定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM x, MP y OP r x 2 y 2
y
﹒Px, y

MP y sin OP r
y
﹒ Px, y

O
A1,0 x
学生讨论填表

高中数学《任意角三角函数的定义》课件

高中数学《任意角三角函数的定义》课件

二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数

中职数学7.2任意角的三角函数的定义ppt课件

中职数学7.2任意角的三角函数的定义ppt课件
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只
依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
Page 4
于是我们有如下定义：
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点
的距离为 r.
比值
x
叫做角 的余弦.记作
r
cos x r
比值
y
叫做角 的正弦.记作
r
sin y r
y
比值 叫做角 的正切.记作
斜边邻边cos斜边对边sin邻边对边任意角三角函数的定义已知终边与两个半径不同的同心圆的交点则由相似三角形对应边成比例得由于点pp在同一象限内所以它们的坐标符号相同因此得所以当角不变时不论点p终边上的位置如何这三个比值都是定值只依赖于的大小与点p终边上的位置无关
三角
三
三角
角
三角
5锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)
对边
B
sin A 斜边
斜
对
边
边
邻边 cos A 斜边
A 邻边 C
对边 tan A 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
Page 2
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的
教材P138，练习 A 组，练习B 组．
Page 18
S3 求值 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
Page 7
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）如图，
求角 的三个三角函数值．
y
解 已知点 P（2， -3），则
O
r OP 22 32 13．
sin y 3 3 13； r 13 13

任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)

任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)

调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .

三角函数的定义 课件

三角函数的定义 课件

(2)sin -
11π
6
25π
+cos
3
tan -
15π
4
.
分析:将角转化为k·360°+α或2kπ+α的形式,利用公式一求值,注意
熟记特殊角的三角函数值.
解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(ab)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
解析式
y=sin x
y=cos x
正切函数
y=tan x
定义域
R
R
π
≠ π + ,∈Z
2
2.三角函数值的符号
sin α,cos α,tan α在各个象限的符号如下:
3.诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
sin( + ·
2π) = sin,
2π) = cos,(k∈Z).
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°
=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
(2)原式
π
π
π
=sin -2π + +cos 8π + ·
tan -4π +
π
6
π
π
6
3
4
=sin +os tan
1
3
1
2
2
= + ×1=1.
4
三角函数定义理解中的误区
典例已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=

任意角的三角函数的定义-微课PPT

任意角的三角函数的定义-微课PPT

y sin r
x 比值 r 叫做角 的余弦.记作
y 比值 x 叫做角 的正切.记作
x cos r
y tan x
上述定义当角 的终边落在第二、第三、第 四象限的时候，仍然适用。 依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应，这三个对应关系 都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的正弦 函数、余弦函数和正切函数。这样我们就把初中时的 锐角三角函数的定义推广到了任意角的范围。
sin 对边 a 斜边 c
c
a
b
邻边 b cos 斜边 c
t an 对边 a 邻边 b

思考1:
角的范围推广到任意角后，我们是否可以用这种
方法来定义任意角的正弦、余弦、正切函数呢？ 思考2: 用？ 思考3: 是否可以将锐角放在平面直角坐标系中来研究任 如何修正锐角三角函数的定义，使它对任意角都适
由以上探索可知，借助直角坐标系，利用角终边上任意一点P
的坐标，就能定义角的 正弦、余弦、正切。用这种定义法就可 以在平面直角坐标系中把锐角三角函数推广到任意角三角函数。
P(x,y) 设角 终边上的任意一点P（x，y）， 点 P 到原点的距离为 r.
r O
y
x
y 比值 r 叫做角 的正弦.记作
记作tan??pxyyorx依照上述定义对于每一个确定的角??都分别有唯一确定的三角函数值与之对应这三个对应关系都是以角??为自变量的函数分别称作角??的正弦函数余弦函数和正切函数
微课： 任意角的三角函数的定义
微课： 任意角的三角函数的定义
任意角三角函数的定义
舟山航海学校 张君飞
初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)

人教版数学《任意角的三角函数》讲授(共23张PPT)教育课件

人教版数学《任意角的三角函数》讲授(共23张PPT)教育课件
sin 120 0 ? cos 150 0 ? tan 315 0 ?
一、任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中， 在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα， tanα的值分别P 如何表示？
O
y
a
b
M
OP r
x
a2 b2
sin MP b
之 前 有 个 网友 说自己 现在紧 张得不 得了， 获得了 一个大 公司的 面试机 会，很 不想失 去这个 机会， 一天只 吃一顿 饭在恶 补基础 知识。 不禁要 问，之 前做什 么去了 ？机会 当真就 那么少 ？在我 看来到 处都是 机会， 关键看 你是否 能抓住 。运气 并非偶 然，运 气都是 留给那 些时刻 准备着 的人的 。只有 不断的 积累知 识，不 断的进 步。当 机会真 的到来 的时候 ，一把 抓住。 相信学 习真的 可以改 变一个 人的运 气。 在 当 今 社 会， 大家都 生活得 匆匆忙 忙，比 房子、 比车子 、比票 子、比 小孩的 教育、 比工作 ，往往 被压得 喘不过 气来。 而另外 总有一 些人会 运用自 己的心 智去分 辨哪些 快乐或 者幸福 是必须 建立在 比较的 基础上 的，而 哪些快 乐和幸 福是无 需比较 同样可 以获得 的，然 后把时 间花在 寻找甚 至制造 那些无 需比较 就可以 获得的 幸福和 快乐， 然后无 怨无悔 地生活 ，尽情 欢乐。 一位清 洁阿姨 感觉到 快乐和 幸福， 因为她 刚刚通 过自己 的双手 还给路 人一条 清洁的 街道； 一位幼 儿园老 师感觉 到快乐 和幸福 ，因为 他刚给 一群孩 子讲清 楚了吃 饭前要 洗手的 道理； 一位外 科医生 感觉到 幸福和 快乐， 因为他 刚刚从 死神手 里抢回 了一条 人命； 一位母 亲感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他正坐 在孩子 的床边 ，孩子 睡梦中 的脸庞 是那么 的安静 美丽， 那么令 人爱怜 。。。 。。。

人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数课件(共21张PPT)

人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数课件(共21张PPT)

设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0 M 0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP∽ OM0P0
Px, y P03,4
于是，sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxO M O0M 3; 1 OP O 0P5
2
2cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
3tan( 11 )
tan(
2 )
tan
3
6
6
63
归纳总结
1. 内容总结： （1）任意角三角函数的概念以及它推广的定义。 练习:确定下列三角函数值的符号：
思考5:在弧度制中，这三个三角函数的 结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 例4:求下列三角函数值： 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 函数的符号规律。 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 函数的符号规律。 练习:确定下列三角函数值的符号： 那么① 叫做 的正弦，即 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即
ta nx yc sio ns3 4
定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的
任意一点，点 P与原点的距离r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
r
② x 叫做
的余弦，即 cos rx
r
r
y
③
叫做 的正弦，即 tan y x 0
x
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而
y
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2020年10月2日
19
思考1:对于确定的角 ,这三个比值的大小和P点在 角 的终边上的位置是否有关? 利用三角形相似的知识,可以得出对于确定的角 ,这三个比
值的大小和P点在角 的终边上的位置无关,只与角 的大
距 离 为 r， 则 r x2 y2 x2 y2 0
定义：( 1 ) 比 值 y 叫 做 的 正 弦 ， 记 作 s in， 即 s in y
r
r
( 2 ) 比 值 x 叫 做 的 余 弦 ， 记 作 c o s， 即 c o s x
r
r
( 3 ) 比 值 y 叫 做 的 正 切 ， 记 作 ta n， 即 ta n y
新课的教学，应走出“概念一带 Ⅱ、概念而建构过，演习铺天盖地”的误区，
走向“重视过程、重视探究、重 视交流” 的新天地。
师生互动，理解知识
作为本节课的重点，根据学生认 知规律，结合新课教学的特点， 设计从直观理解、程序理解、示 例理解、实质理解、归纳理解等 五个方面展开，以分散难点，突 破重点。
2020年10月2日
二. 教法分析
（一）学情分析 （二）教学方法 （三）具体措施
二. 教法分析
（一）学情分析
从知识、能力和情感态度三个方面分 析学生的基础、优势和不足，它是制 定教学目标的重要依据。
初中学生已经学习了基本的锐角三角函数知识 和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识 和求法。同时，学生已经具备一定的自学能力， 多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。 但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发 展不够均衡，尚有待加强。
复习不是简单重复，引进不是生硬塞 入。利用认知迁移规律，通过学生熟悉 的、简单的问题引出课题，在学生已有 的认知结构基础上进行新概念的建构。
Ⅱ、概念建构
引导自学，感知认识
师生互动，理解知识
如此设计有利于培养学生良好的学习习 惯，提高其独立分析和解决问题的能力， 变“学会”为“会学”。充分保障学生 的主体地位。
一. 教材分析
（二）课时安排
任意角的三角函数打算安排二课时。本节 作为第一课时，重在使学生掌握任意角的正弦、 余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有 关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切 函数值表示出来。教学中注重概念的引入，定 义的理解。在这个过程中培养学生分析解决问 题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。
情“感这使目里标学没：生有培学用养会合“…作使…交学流”生等、掌通独握常立…思字考…眼等”，、良好的个性品质； 保障了学以生及的打主破体成规地、位敢，于反创映新了的教科学精神。
教法学与重点学：法任的意结角合的，正弦尽、量余体弦现、新正教切材的定义。 教新学理难点念：。用单位圆中的有向线段表示三角函数值。
（二）教学程序
Ⅰ、新课引入
复习引入 通过最为熟悉的直角三角形。从它的表示方
法、图形特征，突出对其问题的理解。为任意 角三角函数新概念的提出奠定基础。
通过复习，培育和预热“任意角三角函数”
概念的“最近发展区”，激发和点燃学生学习 的兴趣和热情。 明确本节课的重点。
2020年10月2日
14
（二）教学程序
18
（2）任意角的三角函数的定义
y p(x, y) p(x, y) y
y
x
x
x
O
O
O
p(x, y)
y
x O p(x, y)
如 图 ： 设 是 任 意 角 ， 的 终 边 上 任 意 一 点 P 的 坐 标 是 (x,y)， 当 角 在 第 一 、 第 二 、 第 三 、 第 四 象 限 的 情 形 ， 它 与 原 点 的
三. 教学目标
基于对教材、教学大纲和学生学情 的分析，制定相应的教学目标。同 时，在新课程理念的指导下，关注 知识目标：任意角的正弦、学余生弦的、合正作切交的流定能义力；的培养，关注 学生探究问题的习惯和意识的培养。 用单位圆中的有向线段表示三角函数值。
能力目标：培养分析、抽象、概括等思维能力；
加强数形结合数学思想的培养。
四. 教学过程
（一）教学流程图 （二）教学程序
（一）教学流程图
复习 引入
概念 建构
直观 理解
适 用 范 围
小结
演
几
练
何
拓
表
作业 示
类似“卡通形象” 的教学流程图以 “模块”为基本单 元，从复习引入到 概念建构，从技能 演练到小结作业。 层层展开，逐层突 破。
（二）教学程序
Ⅰ、新课引入 Ⅱ、概念建构 Ⅲ、技能演练 Ⅳ、小结与作业
二. 教法分析
（二）教学方法
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上， 在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应， 使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指 出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、 情、意、行的” 和谐统一。结合本节课的具体内 容，确立讨论法和启发引导法为主要教学方法。
任意角的三角函数(一)
（说课）
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
说明和反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
“任意角的三角函数”是本章教学内容的基 本概念，它又是学好本章教学内容的关键。它 是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数 有一定的了解的基础上，进行的推广。它又是 下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准 备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助 学生更加深入理解函数这一基本概念。
二. 教法分析
（三）具体措施 备课不只是对知识和教学内容的准 备，也包括对学生、学情的分析和 掌握。二者的和谐统一是提高教学
根据以上的分效析果，的本基节本课要宜求采。用讨讲论解法和启发引 讨论相结合，交流导练法习就互是穿基插于的对活学动生课认形知基础和认 式，以学生为主体知，规教律师的创考设虑和。谐、愉悦 的环境及辅以适当的引导。同时，利用多 媒体形象动态的演示功能提高教学的直观 性和趣味性，以提高课堂效益。
Ⅰ、新课引入
(1)sin
对边 y 斜边 r
（ 让
cos
邻边 BC 斜边 AB
学 生
tan
对边 AC y 邻边 BC x
回 答 ）
前面我们学了角的概念推广后，
下面我们要把“定义媒介”从直角三 角形改为平面直角坐标系。
2020年10月2日
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Ⅰ新课引入
通过对原有知识的回忆，建立了学生对本堂课学 习的感性认识。并由此引出课题。