第八章 第六节 双曲线

第八章 平面解析几何第六节 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ．答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( )A ．3B ．2C ．53D ．54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝ca ＝54． 答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为 ( )A ． 3B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1．答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3．故选A ．答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B ．答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C ．答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________． 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5．答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．答案：x 216－y 29＝19．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，由题意可知：⎩⎨⎧8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎨⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0，5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4，2a ＝8．答案：8B 组 能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4．答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5．答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的 ( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16， 所以△F 1MF 2的面积S ＝12 m ′n sin 60°＝43．答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a．因为M 的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a．答案：a。

第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编 双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编 双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。