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第八章 平面解析几何第六节 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ．答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( )A ．3B ．2C ．53D ．54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝ca ＝54． 答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为 ( )A ． 3B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1．答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3．故选A ．答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B ．答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C ．答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________． 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5．答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．答案：x 216－y 29＝19．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，由题意可知：⎩⎨⎧8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎨⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0，5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4，2a ＝8．答案：8B 组 能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4．答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5．答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的 ( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16， 所以△F 1MF 2的面积S ＝12 m ′n sin 60°＝43．答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a．因为M 的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a．答案：a。
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．注意：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2016·课标全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a.又x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x.答案：C4．(2017·广州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：本题主要考查圆锥曲线．因为双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为2x ＋3y ＝0，所以y ＝－23x .所以4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝49.所以a 2＝9.根据双曲线的性质有||PF 1|－|PF 2||＝|7－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝1或13.答案：D5．(2015·浙江卷)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23， 渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x.答案：23 y ＝±22x两条规律1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±abx.两种方法求双曲线标准方程的方法1．定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．2．待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点，则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn<0)．两点注意1．区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e ∈(0，1)．一、选择题1．“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m<8或m>10.故“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．(2015·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1解析：A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x.答案：A3．(2015·湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.答案：D4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1B.y 24－x 23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：由题意，c ＝32＋42＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：A5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2 解析：∵e ＝2，∴ca＝2.设焦点F 2(c ，0)到渐近线y ＝ba x 的距离为3，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|bc －a ×0|b 2＋a 2＝ 3.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ 3.由ca＝2，得c c 2－b2＝2，∴c 2c 2－3＝4，解得c ＝2.∴焦距2c ＝4. 答案：C6．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A二、填空题7．(2015·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y ＝0，则a ＝________．解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y＝0，即y ＝－3x ，因为a>0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：338．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3即x 23－y 212＝1，所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x9．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a.因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：7 三、解答题10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a|b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．(1)解：∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵MF1→＝(－3－23，－m)， MF2→＝(23－3，－m)． ∴MF1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF1→·MF 2→＝0. (3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m|＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
第一课时双曲线的定义、方程与性质一.课标要求，准确定位1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.二.考情汇总，名师解读1．考查双曲线定义的应用，求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率（或取值范围）及与双曲线的渐近线有关的问题．2．考查题型有选择题、填空题、解答题．如2023新课标1卷第16题，2021新高考2卷第13题，考查双曲线的性质.＝.②e=到两焦点距离的等比中项－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）y＝±x y＝±xe＝，且e∈（1，＋∞））与双曲线－＝）有共同渐近线的双曲线系方程为－＝＝＝，离心率越大，双曲线）双曲线的焦点到其渐近线的距离为，通径长为.2·＝考向一利用定义求轨迹方程）已知渐近线方程为±＝的双曲线，可设为－＝考向一双曲线的渐近线22x y（2023·四川绵阳南山中学模拟）29．已知双曲线2213y x -=的右焦点为F ，(4,35)M ，直线MF 为双曲线上一动点，且点P 在以MN 为直径的圆内，直线MP 点,M Q ，则PM PQ ⋅的最大值为（ ）或，的值或范围得结论．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路:【微点解读】如果试题的条件给出角分线、三角性的内心、点的对称、中垂线等几何特A．2.14C．1.73【江西省九江市2023届高三上学期第一次模拟】36．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为A．42cm3B．924（多选题）（教材改编题）38．已双曲线C ：()2202x y λλ-=<，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为定值参考答案：16．BP【分析】根据焦距和点(2,1)的方程.【详解】因为焦距为25，故半焦距为P在一条渐近线上，故因为(2,1)故答案为：33y x =±4在曲线C 中，易知：FA b =，则DB 又4FB b =，1422F B b a c =-=，即又222c a b =+，得43b a =，渐近线方程为故答案为：43y x=±428．12e <<【分析】在PF F △中，由正弦定理可得连接,,NQ NP PF ，因为Q 在以MN 为直径的圆上，所以MQ NQ ⊥，(cos πPQ PN MPN =-∠()cos πPM PQ PM PN MPN PM ⋅=⋅-∠=- 2PF PF FN PF FM FM FN =--⋅-⋅-⋅ ，【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质范围,利用双曲线定义可使数据简化.32．B【解析】连接ON ,可得点N 为1MF 的中点，相交于点P ，可得1PF PM =，可得2PF PF -为双曲线，可得其方程.【详解】，如图，因为点B 在以1AF 为直径的圆上，则1AB F B ⊥，又AB 为所以1AF AD =，则B 为连接OB ，在DF F △中，又因为36．D【分析】画出塔筒的轴截面；以垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系把点,A B的坐标代入双曲线方程即可求出答案【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设22x y【详解】1,,F A D 共线，1,,F B C 共线，1AF m =，则22AF m =-12ABC ∠=-，所以tan ABF ∠这里28a =，4a =，5c =，则b =故点P 的轨迹方程为221169x y -=(4)x >∵OQ∥PF，∠=∠，∴AOQ OFP又∵双曲线的渐近线关于∠=∠，∴FOP AOQ。
