第一章量子力学基础-2

格式：pdf
大小：289.56 KB
文档页数：30

下载文档原格式

《量子力学教程》第二版答案及补充练习

《量子力学教程》第二版答案及补充练习第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章量子力学基础知识

《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章量子力学基础知识（第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。

1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。

黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。

黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。

★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。

按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。

按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。

Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。

经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。

• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。

• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。

能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。

一二三习题答案

（A）1（B）2（C）4（D）5
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach

量子力学(周世勋)课后-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 λνc =，（2）||λνρρλd d v =，（3）有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知λh P =。

所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<），满足ek m p E 22=，因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1， eV c m e 621051.0⨯=。

湖南大学结构化学讲义第一章

35
结构化学
1993 年，M. F. Crommie 等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到Cu（111）表面上的48 个Fe 原子排列成了半径为7.13nm 的圆环形“量子栅栏（Quantum Corral）”。在量子栅栏内，受到 Fe 原子散射的电子波与入射的电子波发生干涉而形成同心圆
36
结驻构波化学，直观地显示了电子的波动性。
结构化学黑体辐射----经典的理论解
L. Rayleigh（瑞利）7 1911年Nobel物理奖
Rayleigh－Jeans方程
1900年6月，Rayleigh和Jeans从经典的电磁理论出发推导出黑体辐射的数学表达式：
dEV
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
)
d
8kT
1
4
d
近似地按简谐振动处理，可连续改变振动状态，发射
理或吸收电磁波。论平衡时，空腔内形成驻波，驻波的个数与频率的平方要成正比。点驻波的振幅和能量可以连续地变化，每个驻波具有相
5
(2)黑体辐射实
high
Frequency,
low
黑体辐射实验的结论是：随着温度升高，辐射总能量急剧增加，最大强度蓝移。
黑体在热辐射达到平衡时，
结辐构射化能学量Er 随频率ν的变化曲线
6
(3) 基于经典物理理论的解
不少物理学家，如Wien（1864～1928，德）、 Rayleigh（1842～1919，英）和Jeans（1877～ 1946，英）试图用经典热力学和统计力学理论来解释这种现象，从理论上推导出符合实验曲线的函数表达式，但都不能得到满意的结果。
25
结构化学
光是一种电磁波
1856年，Maxwell建立电磁场理论，预言了电磁波的存在。理论计算出电磁波以3×108m/s的速度在真空中传播，与光速度相同，所以人们认为光也是电磁波。 1888年，Hertz探测到电磁波。光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就完全确定了。

第1章量子力学基础知识

d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性，而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动的本质特性，为微观世界的普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单缝衍射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律的科学。电子和微观粒子不仅表现出粒性，而且表现出波性，它不服从经典力学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：如果令x=kThcλ ，则上述方程为这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x 以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章_量子力学的基础知识

m
0
c2
h
c2
（4）光子的动量为 pmh c/ch /
（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律
1
①
hν < W 0
②
hν > W 0
W0
1 m2 2
W0
① 当 h < W0 (ho) 时，光子
没有足够的能量使电子克服电子的束缚能而成为自由电子，则不发生光电效应；
② 当 h > W0 (ho) 时，
D
狭缝到底片的距离远大于狭
缝宽度, CP≈AP，
e
sin＝OC/AO =/D
x A OC
P y
在p点的动量在x轴的分量就是在该方向的不确定量
△px＝psin＝p/D=h/D 而坐标x的不确定量Δx即为单缝宽度D
△x＝D, 所以 △x△px＝h
Q A
C O
P
psin
电子单缝衍射实验示意图
考虑二级以上衍射， x px ≥h 1
金属中发射的电子具有一定的动能，发生光电
流，并随增加而增加。
1
光电子动能mv 2/2
光子能量: E=hν 光子动量: p=h/λ 光电效应方程: mv2/2 =hν-W
(λ为入射光的波长, W为金属的功函数, m和v为光电子的质量和速度)
斜率为h
光频率ν
1
只有把光看成是由光子组成的光束才能理解光电效应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象。光表现出波粒二象性，即在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的行为像波。粒子在空间定域，而波却不能定域。光子模型得到的光能是量子化的，波动模型却是连续的，而不是量子化的。
1
按经典物理学理论

周世勋量子力学习题及解答

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

叶世勇第一章量子力学基础

Modern Quantum Chemistry
Open a Door to Molecular Science
Quantum Chemistry
• What is Quantum Chemistry? Quantum Chemistry applies quantum mechanics to solve problems in chemistry.
* * *
例2 Px 是厄米算符
若
d * d L ，因此 L i dx i dx
*
则有
* d 1 L 2 d 1 ( i dx ) 2 dx
利用分部积分法可得
* d * d * 1 ( ) 2 dx 1 2 2 ( ) 1 dx i i dx i dx d * 0 2 ( ) 1 dx i dx ˆ )*dx (L
The Power of Quantum Chemistry
To calculate and predict various molecular properties, such as geometry conformation, dipole
moments, barriers to internal rotation, NMR, frequencies and intensities in spectra.
定态波函数：粒子的能量具有确定值的状态波函数。
$1-2 量子力学基本假设2（关于力学量）
微观粒子的任意一个给定的力学量 L，总可以用相应的算符 L 来表示。算符 L 的本征值就是实验上观测到的力学量L的全部可能值。算符L的属于某一本征值Ln的本征函数Ψn所描述的状态，就是力学量L取确定值Ln的状态。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

ˆ ˆ ˆ [ D, x] = I
ˆ ˆ [ x, p x ] = i
可定义算符的n次方为：
ˆ ˆˆ ˆ A n = AA ⋅ ⋅ ⋅ A
可定义算符的多项式和算符的函数。例如：
ˆ An e =∑ n n!
ˆ A
∞
3、线性算符设 C1 , C2 为常数，若算符满足：
ˆ ˆ ˆ F (C1Ψ1 + C 2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C 2 FΨ2
四. 力学量测量值 1、关于力学量测量值的基本假定量子力学公设4： (1) 引入力学量 F 相应的线性厄米算符值只能是算符展开：
ˆ F ，力学量 F 的测量
ˆ F 的本征值之一；
ˆ (2) 体系的波函数 Ψ 可按 F 的正交归一的本征函数集{ϕn}
Ψ=
∑C ϕ
n n
n
C n = 〈ϕ n | Ψ 〉
m n
= ∑∑ C m C n 〈ϕ m | ϕ n 〉
* n m
= ∑∑ C m C nδ mn = ∑ | C n |
* n m
2
n
分子部分：
ˆ ˆ 〈 Ψ | FΨ〉 = 〈 ∑ C mϕ m | F ∑ C nϕ n 〉
m n
ˆ = ∑∑ C m C n 〈ϕ m | Fϕ n 〉
* n m
ψn =
正交归一性：
2 nπ sin x, a a
n = 1,2,
(m + n )π (m − n )π 2 a 1 x ]dx ( − )[cos x − cos ∫0 2 a a a 2 a 1 ( m − n )π = 0 − ∫ ( − )[ − cos x ]dx 0 a 2 a = δ mn
ˆ 0 f ( x) = 0
2、乘法与对易
ˆ ˆ ˆ ABψ ≡ A( Bψ )
算符的乘法服从结合律 : 算符的乘法一般不服从交换律 : 例如 :
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ A( BC ) = ( AB)C
ˆ ˆ ˆˆ AB ≠ BA
ˆ xf ( x) = d xf ( x) = f ( x) + xf ' ( x) Dˆ dx
| C n | 2 为对力学量F测量时， ϕn 对应的本征值 λn 出现的相
对几率。
说明: (ⅰ)展开是唯一的。 (ⅱ)若 Ψ 是的本征态，则 F 有确定值（本征值）。 (ⅲ)若 Ψ 不是的本征态，则F没有确定值（固定值），但测量值出现的几率是确定的。 (ⅴ) Ψ 是量子力学体系的完全描述：（可以知道对体系的某一力学量测量时，对应的本征值出现的几率，所以波函数从统计的意义上提供了对体系的完全描述）。
∂ ∂ ⎤ ) − (−i ) x⎥ Ψ ∂x ∂x ⎦
∂ ∂ = x(−i )Ψ − x(−i )Ψ − Ψ (−i ) ∂x ∂x
=i Ψ
得：
ˆ [x, p x ] = i
----- 量子力学基本对易式
ˆ ˆ [ x, p x ] =| 〈 Ψ | i Ψ 〉 |= | i 〈 Ψ | Ψ〉 |=
于是：
Δx ⋅ Δpx ≥
在任何态下成立
2
时间-能量测不准关系：
Δt ⋅ ΔE ≥
2
证明：
[ ]
ˆ, E Ψ = ⎡t (i ∂ ) − i ∂ t ⎤ Ψ t ˆ ⎢ ∂t ⎥ ∂t ⎣ ⎦
ˆ [tˆ, E ] = −i
所以：
∂Ψ ∂Ψ = ti −i Ψ −i t ∂t ∂t = −i Ψ
Δt ⋅ ΔE ≥
例如，e2x 是微商算符的本征函数：
ˆ e 2 x = d e 2 x = 2e 2 x D dx
定态薛定谔方程：
ˆ Hψ = Eψ
它是哈密顿算符的本征方程，波函数 ψ 是哈密顿算符的本征函数，能量 E 是哈密顿算符的本征值。定理：线性算符的简并本征函数的线性组合仍是该算符属于同一本征值的本征函数。例如：
ˆ Fϕ n = λ n ϕ n
= ∑∑ C m C n λn 〈ϕ m | ϕ n 〉
* n m
= ∑∑ C m C n λnδ mn = ∑ λn | C n |
* n m
n
2
3.涨落（标准差）力学量F的涨落定义为：
ˆ ΔF = ( F − F ) 2 = F 2 − F 2
如果体系 Ψ 处于力学量 F 的本征态：
ˆ x→x=x⎫ ⎪ˆ ˆ y → y = y ⎬r = r ˆ z→z=z ⎪ ⎭
动量算符：
ˆ p x → p x = −i
∂ ⎫ ∂x ⎪ ⎪ ∂ ⎪ˆ ˆ y = −i py → p ⎬ p = −i ∇ ∂y ⎪ ∂ ⎪ ˆ p z → p z = −i ⎪ ∂z ⎭
∇=i ∂ ∂ ∂ +k +j ∂z ∂y ∂x
ˆˆ xDf ( x) = xf ' ( x)
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Dx = I + xD ≠ xD
若对任意Ψ，都有：
ˆˆ ˆˆ ABψ = BAψ
则称
ˆ A
和
ˆ B 对易
:
引入记号 :
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ AB − BA ≡ [ A, B]
ˆ ˆ [ A, B] = 0
则算符的对易式可记为：易证 :
2.力学量的平均值（期待值）
ˆ Fϕ n = λ n ϕ n
Ψ = ∑ C nϕ n
n
则力学量的平均值（期待值）：
〈F〉 ≡ F =
λn | C n | 2 ∑
n
| Cn |2 ∑
n
或等价地：
ˆ 〈 Ψ | F | Ψ〉 〈F〉 = 〈 Ψ | Ψ〉
证明：
分母部分：
〈 Ψ | Ψ 〉 = 〈 ∑ Cmϕ m ∑ Cnϕ n 〉
ˆ p = 〈 Ψn | pΨn 〉 2 2 nπ d nπ sin ) sin x) * (−i xdx 0 a a dx a a a 2 nπ nπ nπ = (−i ) ∫ (sin x)dx x)( )(cos 0 a a a a nπ 1 a 2 2 nπ = (−i )( ) ∫ sin xdx 0 a a 2 a =0 =∫ (
*
*
其中积分遍及整个空间，函数 ψ, ϕ 是任意的品优函数。动量算符是厄米算符：
⎡ * +∞ +∞ d * ⎤ ⎢ψ ϕ |−∞ − ∫−∞ ϕ ( dx ψ )dx ⎥ ⎣ ⎦ +∞ +∞ d d * +∞ * * = i ∫−∞ ϕ ( ψ ) dx = ∫−∞ ϕ (−i ψ ) dx = ∫ ϕ ( p xψ ) dx ˆ −∞ dx dx d ∫−∞ψ (−i dx )ϕdx = −i
2
2. 共同本征函数系
ˆ 定理: 如果力学量算符 F 和的本征函数完备系。
[证明]：(ⅰ) 非简并情况，
ˆ G 对易，则它们可以有共同
ˆ Fψ n = λnψ n
ˆˆ ˆ ˆ GFψ n = Gλnψ n = λn Gψ n
a
ˆ p 2 = 〈 Ψn p 2 Ψn 〉 d2 2 = 〈 Ψn | (−i ) Ψn 〉 2 dx 2 nπ 2 a nπ nπ 2 x)(− sin x)dx = (− )( ) ∫0 (sin a a a a 2 2 2 nπ = 2 a
涨落：
Δp =
nπ p −p = a
2 2
五. 两个力学量的同时测量 1、不确定关系
ˆ ˆ Fψ 1 = λψ 1 , Fψ 2 = λψ 2
则：
ˆ ˆ ˆ F (C1Ψ1 + C 2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C 2 FΨ2 = λ (C1Ψ1 + C 2 Ψ2 )
5、厄米(Hermite)算符一个算符如果满足如下关系，则称为厄米算符：
ˆ ˆ ∫ψ Fϕdτ = ∫ ϕ ( Fψ ) dτ
定理：对于任意力学量 F 和 G ，在任意态下
1 ˆ ˆ ΔFΔG ≥ [F , G] 2
这是任意两个力学量在任意态下的涨落所必须满足的关系，它给出了在任意一个态下对体系的两个力学量测量的精确度的下限。
ˆ ˆ * 特例：当 F = x ,
⎣
ˆ ˆ G = px
时，有
ˆ [x, p x ]Ψ = ⎡ x(−i ⎢
*
归一性：正交性：
〈ψ |ψ 〉 = 1
〈ψ | ϕ 〉 = 0
厄米算符的定义：
ˆ ˆ ˆ 〈ψ | Fϕ 〉 = 〈 Fψ | ϕ 〉 = 〈ϕ | Fψ 〉*
二、厄米算符的本征函数、本征值的性质 1、定理（1）：厄米算符的本征值是实数。证：
ˆ Fψ = λψ
ˆ 〈ψ | Fψ 〉 = λ 〈ψ |ψ 〉
ˆ V (r )
ˆ r
ˆ p2
ˆ ˆ ˆ H = T +V
p2 ˆ= ˆ T 2m
狄拉克符号：
ψ (r ) ≡|ψ 〉
(ket)
ψ ( r )* ≡ 〈ψ |
(bra)
ψ * ( r )ϕ ( r )dτ ≡ 〈ψ | ϕ 〉 ∫
ˆ ˆ ˆ ψ (r ) Fϕ (r )dτ ≡ 〈ψ | Fϕ 〉 ≡ 〈ψ | F | ϕ 〉 ∫
2、其他力学量对于有经典对应的力学量：
ˆ ˆ F (r , p) → F = F (r ,−i ∇)
经典力学动能势能
量子力学
p2 T= 2m
ˆ T =−
2
2m
∇2
V (r )
L=r∧ p
ˆ V (r )
角动量
ˆ L = r ∧ (−i ∇)
对于量子力学中无经典对应的力学量，需要定义新算符（例如自旋算符）。
ˆ FΨ = λΨ

第一章量子力学基础-2

合集下载

《量子力学教程》第二版答案及补充练习

第一章量子力学基础知识

一二三习题答案

量子力学(周世勋)课后-第一二章

湖南大学结构化学讲义第一章

第1章量子力学基础知识

周世勋量子力学习题及解答

第一章_量子力学的基础知识

周世勋量子力学习题及解答

叶世勇第一章量子力学基础

文档推荐

最新文档

第一章 量子力学基础-2

合集下载

《量子力学教程》第二版答案及补充练习

第一章 量子力学基础知识

一二三习题答案

量子力学(周世勋)课后-第一二章

湖南大学结构化学讲义第一章

第1章 量子力学基础知识

周世勋量子力学习题及解答

第一章_量子力学的基础知识

周世勋量子力学习题及解答

叶世勇 第一章 量子力学基础

文档推荐

最新文档

第一章量子力学基础-2

第一章量子力学基础知识

第1章量子力学基础知识

叶世勇第一章量子力学基础