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一元回归模型

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第三章 一元线性回归模型

第三章 一元线性回归模型

第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。

为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。

y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。

定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。

在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。

给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。

一元线性回归模型

一元线性回归模型

1．高尔顿普遍回归定律。高尔顿的目 的在于发现为什么人口的身高分布有一种
稳定性。在现代，我们并不关心这种解释，
我们关心的是：在给定父辈身高的情形下，
找到儿辈平均身高的变化规律。
就是说，我们如果知道了父辈的身高，
就可预测儿辈的平均身高。假设我们得
到了一组父亲、儿子身高的数据，制成
如下的散点图。图中按统计分组的方法 将父亲身高分为若干组。
在经典物理学中，给定电阻Ω,电流I
和电压V 之间的关系即为函数关系，即
V I Ω
。这种典型的变量关系就是确
定性关系。
在经济系统中， 这种变量之间的函数关
系或确定性关系就很少见 。常见的是变量
之间是一种不确定的关系，既使变量X 是
变量Y 的原因， 给定变量X 的值也不能具
体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的
（4.2）
其中，1 和 2 为未知而固定的参数， 称为回归系数； 1 为截距系数， 2 为斜 率系数。式（4.2）为线性总体回归函数 。
三、线性的含义
1．对变量为线性 对线性的第一种解释是指Y 的条件期望是 Xi 的线性函数，例如式（4.2）就是线性回归
函数，该回归线是一条直线。
按这种解释 E (Y / X i ) 1 2 X
统计特征，通常称变量X 与Y 之间的这种
关系为统计关系。
例如，企业总产出Y 与企业的资本投入
K 、劳动力投入L 之间的关系就是统计关 系。虽然资本K 和劳动力L 是影响产出Y 的两大核心要素，但是给定K 、L 的值并 不能确定产出Y 的值。因为，总产出Y 除 了受资本投入K、劳动力投入L 的影响外
对于Y 的每一条件分布，我们能计算 出它的条件期望，记为E（Y/X=Xi），即 在X取特定Xi 值时Y 的期望值。例如， X=1000时，Y 的期望值为：

计量经济学第2章 一元线性回归模型

计量经济学第2章 一元线性回归模型

15
~ ~ • 因为 2是β2的线性无偏估计，因此根据线性性， 2 ~ 可以写成下列形式： 2 CiYi
• 其中αi是线性组合的系数，为确定性的数值。则有
E ( 2 ) E[ Ci ( 1 2 X i ui )]
E[ 1 Ci 2 Ci X i Ci ui ]
6
ˆ ˆ X )2 ] ˆ , ˆ ) [ (Yi Q( 1 2 i 1 2 ˆ ˆ X 2 Yi 1 2 i ˆ ˆ 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( Y X ) ] 1 2 i Q( 1 , 2 ) i ˆ ˆ X X 2 Yi 1 2 i i ˆ ˆ 2 2
16
~
i
i
• 因此 ~ 2 CiYi 1 Ci 2 Ci X i Ci ui 2 Ci ui
• 再计算方差Var( ) 2 ，得 ~ ~ ~ 2 ~ Var ( 2 ) E[ 2 E ( 2 )] E ( 2 2 ) 2
C E (ui )
2 i 2 i
i
~
i
i
i
i
E ( 2 Ci ui 2 ) 2 E ( Ci ui ) 2
i
2 u
C
i
2 i
i
~ ˆ)的大小，可以对上述表达式做一 • 为了比较Var( ) 和 Var( 2 2
些处理： ~ 2 2 2 2 Var ( 2 ) u C ( C b b ) i u i i i
8
• 2.几个常用的结果
• （1） • （2） • （3） • （4）

一元线性回归模型(计量经济学)

一元线性回归模型(计量经济学)

总体回归函数说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的 规律。至于具体的函数形式，则由所考 察的总体的特征和经济理论来决定。
在例2.1中，将居民消费支出看成是其可 支配收入的线性函数时，该总体回归函
数为: E (Y |X i)01 X i
它是一个线性函数。其中，0，1是未知
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
§2.1 回归分析概述 §2.2 一元线性回归模型的基本假设 §2.3 一元线性回归模型的参数估计 §2.4 一元线性回归模型的统计检验 §2.5 一元线性回归模型的预测 §2.6 一元线性回归建模实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
1430 1650 1870 2112
1485 1716 1947 2200
2002
2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
一个抽样
由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的。即以X的给定值为条 件的Y的分布是已知的，如 P(Y=561 | X = 800) =1/4。 进而，给定某收入Xi，可得消费支出Y的条 件均值，如 E(Y | X = 800) =605。 这样，可依次求出所有不同可支配收入水平 下相应家庭消费支出的条件概率和条件均值 ，见表2.1.2.
相关分析主要研究随机变量间的相关形式 及相关程度。变量间的相关程度可通过计 算相关系数来考察。
具有相关关系的变量有时存在因果关系，
这时，我们可以通过回归分析来研究它们
之间的具体依存关系。
课堂思考题

数据分析知识：数据分析中的一元线性回归模型

数据分析知识：数据分析中的一元线性回归模型

数据分析知识：数据分析中的一元线性回归模型一元线性回归模型是一种建立变量之间关系的常见方法，其中一个变量（自变量）被用来预测另一个变量（因变量）。

这种模型可以提供有关两个变量关系的数量量化和可视化信息。

在数据分析中，一元线性回归模型被广泛应用于数据建模、预测、探索因果关系等领域。

一元线性回归模型的基本形式为y = a + bx，其中y是因变量，x 是自变量，a是截距，b是斜率。

这个方程表示了自变量对因变量的影响。

斜率b表示每增加一个单位自变量，因变量y会增加多少，截距a 则是因变量在自变量为零时的取值。

通过收集x和y之间的数据并运行线性回归模型，可以得到最佳拟合线的斜率和截距，从而得到x和y 之间的关系。

线性回归模型的优点在于它非常直观和易于理解，并且可以为数据提供定量的关系描述。

此外，线性回归模型还可以用于预测未来的数据趋势，以及评估不同变量对数据的影响。

例如，一元线性回归模型可以用于预测销售额随着广告投资增加的变化情况，或者研究气温和销售量之间的关系。

该模型基于许多假设，如自变量和因变量之间存在线性关系，数据无误差，误差服从正态分布等。

这些假设条件可能并不总是适用于与数据分析相关的所有情况，因此有时需要使用其他模型，如非线性回归或多元回归模型。

应用一元线性回归模型主要有以下几个步骤：（1）确定自变量和因变量。

根据研究或问题确定需要分析的两个变量。

（2）数据收集。

为了开展一元线性回归模型，必须收集有关自变量和因变量的数据。

实际应用中，数据可以从不同来源获得，如调查、实验或社交媒体。

（3）数据清理和准备。

在应用模型之前，必须对数据进行清理和准备以满足模型假设的条件。

如果数据存在缺失值或异常值，则需要进行处理。

此外，数据需要进一步进行标准化和缩放。

（4）应用模型。

使用适当的统计软件分析数据并应用线性回归模型。

每个软件都有所不同，但通常包括输入自变量和因变量、选择线性回归模型、运行分析和结果呈现等步骤。

计量经济学第二篇一元线性回归模型

计量经济学第二篇一元线性回归模型

第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。

其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。

上模型可以分为两部分。

（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。

图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。

以收入与支出的关系为例。

假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。

但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。

所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。

“线性”一词在这里有两重含义。

它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。

1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。

所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。

随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。

回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。

2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。

一元回归线性模型

一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。

一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。

目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。

对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。

梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。

一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。

5章-一元线性回归模型

t t t t t t t t
t
t
∑ ( x − x )( y − y ) = − x) ∑ (x − x)
t t 2 t
− y)
5.12 案例分析：用回归模型预测木材剩余物 案例分析： 通过这个案例一是掌握怎样利用实际数据建立、分析计量模型并预测 计量模型并预测， 通过这个案例一是掌握怎样利用实际数据建立、分析计量模型并预测， 二是怎样从 怎样从计量经济学专用软件 输出结果中找到这些有关的量。 中找到这些有关的量 二是怎样从计量经济学专用软件 EViews 输出结果中找到这些有关的量。 伊春林区位于黑龙江省东北部。 公顷， 伊春林区位于黑龙江省东北部。全区有森林面积 2 189 732 公顷，木材 蓄积量为 23 246.02 万 m3。 森林覆盖率为 62.5%， ， 是我国主要的木材工业基 地之一。1999 年伊春林区木材采伐量为 532 万 m3。按此速度 44 年之后， 地之一。 年之后， 1999 年的蓄积量将被采伐一空。所以目前亟待调整木材采伐规划与方式， 年的蓄积量将被采伐一空。所以目前亟待调整木材采伐规划与方式， 保护森林生态环境。为缓解森林资源危机 并解决部分职工就业问题， 源危机， 保护森林生态环境。为缓解森林资源危机，并解决部分职工就业问题，除 了做好木材的深加工外，还要充分利用木材剩余物（主要是指伐下的树冠） 了做好木材的深加工外，还要充分利用木材剩余物（主要是指伐下的树冠） 生产林业产品，如纸浆、纸袋、纸板等。 生产林业产品，如纸浆、纸袋、纸板等。因此预测林区的年木材剩余物是 安排木材剩余物加工生产的一个关键环节。下面， 安排木材剩余物加工生产的一个关键环节。下面，利用简单线性回归模型 预测林区每年的木材剩余物。 预测林区每年的木材剩余物。显然引起木材剩余物变化的关键因素是年木 材采伐量。 材采伐量。

一元线性回归模型

一．一元线性回归模型1. 一元线性回归模型的基本假设有哪些？违背假设是否能估计？为什么？ 答:①E(i V |i X )=0 随机项i V 的数学期望为0 ②Var(i V |i X )=E{[i V —E(i V )]2}=E (2i V )=2u σ③COV(i V ，j V )=E{[i V —E(i V )][j V —E(j V )]}=0 i V ，j V 相互独立不相关 ④COV(i V ，i X )=0 解释变量i X 与误差项i V 同期独立无关 ⑤i V ～N(0，2u σ) i X ，i V 服从正态分布的随机变量 违背的话可以估计 但是要对原数据适当的处理 2. 方差分析表与参数估计表的结构变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESS RSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS =1—RSSTSS=2212211[()()]()()ni i i n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑TSS=21()nii yy =-∑ ESS=21ˆ()ni yy =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ Eviews 输出结果 参数估计值 估计值标准差 F 检验 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C （0β） （S(0ˆβ)） 0β<对0β显著 X 1β>非线性不通过R-squared Adjusted R-squaredProb(F-statistic) >方程本身不是线性的 结论：该案例结果不理想 无论从个别还是总体上原因：(1) 0β，1β个别检验不通过 (2)F 检验远远超过期望的值(>5%or>10%) (3) 2R =拟合度特别差<50%(注：2R >80%or>70%认为拟合度好)3. 回归方程的标准记法ˆi y=0β+1βi x Se=(S(0ˆβ)) (S(1ˆβ)) 22211ˆ()ˆ22nni i i i uey yn n σ==-==--∑∑2221121ˆ()2()ni u i nii e s n x x σβ===--∑∑222211ˆ()[]()Xn ii x s nx x βσ==+-∑ 111ˆˆ()t s ββ= *代表显著性大小 **代表1%下显著 *代表5%下显著 无*代表5%下不显著 4. t 检验与F 检验的步骤(1) t 检验：01:0H β=11:0H β≠Next 111ˆˆ()t s ββ=～t(n-2) Next 查t 分布表临界值2(2)t n α- α取1%或5% Next 当|t|≥2(2)t n α-拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关显著当|t|<2(2)t n α-不拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关不显著(2) F 检验：01:0H β=11:0H β≠ Next 12ESSF RSS n =-(上：回归 下：残差)=？(假设=100)Next 查F α(1，n-2) Next 当100≥F α(1，n-2)拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关显著当100<F α(1，n-2)不拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关不显著(注：统计软件用P 值进行检验P>α等价F<F α(1，n-2)此时不拒绝0H 当P<αF>F α(1，n-2)此时拒绝0H ) 二．多元线性回归模型1. 基本假设：(1) 随机误差项i V 的条件期望值为0 即E(i V |1i X …ki X )=0 (2) 随机误差项i V 的条件方差相同Var(i V |1i X …ki X )=2u σ (3) i V 之间无序列相关COV(i V ，j V )=0 (4) i V ～N(0，2u σ)(5)各种解释变量之间不存在显著的线性相关关系 2.矩阵表达式12ˆˆˆ.ˆn y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 11112211...1.....1...k k n kn x x x x x x x ⎫⎛⎪⎪ =⎪ ⎪ ⎝⎭0ˆˆ.ˆk βββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1ˆ()()x x x y β-''= 参见P51 例3-1 3随机误差项u 的方差2u σ的最小二乘估计量221ˆ1nii X en k σ==--∑=21ˆ()1niii y yn k =---∑随机误差项i U 同方差且无序列相关 则方差协方差矩阵Var-COV(u)=E(uu ')=)(112.,...n n u E u u u u ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=2u σI4.方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESSRSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS TSS=21()n i i y y =-∑ ESS=21ˆ()n i y y =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ 221111(1)11RSSn n k R R TSS n k n ---=-=----- 222211ˆ()ˆ11nniiii i u ey ySe n k n k σ==-===----∑∑5. P69 8(1) 0β1β3β的个别检验不通过，2β的个别检验通过 (2)F 检验通过 对结果不满意三．违背古典假定的计量经济模型 2. 自相关D-W 检验 (1)d< L d ,u 存在一阶正自相关(2)d>4-L d ,u 存在一阶负自相关 (3)u d <d<4-u d ,不存在自相关(4)L d <d<u d ，或4-u d <d<4-L d 时,u 是否存在自相关,不能确定 4.异方差的white 检验(以二元线性模型为例) 二元线性回归模型：01122i i i i y x x u βββ=+++ ① 异方差与解释变量12,x x 的一般线性关系为：2i σ=0α+11i x α+22i x α+231i x α+242i x α+512i i x x α+i V ②<1>运用OLS 估计的式① <2>计算残差序列i并求2i<3>做2i对1i x ，2i x ，21i x ，22i x ，12i i x x 的辅助回归，即222011223142312ˆˆˆˆˆˆˆi i i i i i i e x x x x x x αααααα=+++++ ③其中2ˆi e 为2i e 的估计<4>计算估计量2nR ，n 为样本容量2R 为辅助回归的可决定系数<5>在不存在异方差的原假设下2nR 服从自由度为5的2χ分布，给定显著性水平α查2χ分布表得临界值2αχ(5) 如果2nR >2αχ(5)则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差 5.杜宾二步法：第一步求出自相关系数的估计值ˆ第二步利用ˆ进行广义差分变换 对差分模型利用OLS 求的参数0β和1β的估计值0ˆβ和1ˆβ 6.方差扩大因子检验多元回归模型中多重共线性：1x =f(x2,x3….xk) x2=f(x1,x3…xk) …xj=(x1,x2...1j x -…xk) xk=f(x1,x2….1k x -)对每个回归方程求其决定系数分别为12R ，22R (2)j R (2)k R ，在决定系数中寻求最大而接近者，比如2x R 最大，则可判定解释变量Xj 与其他解释变量的一个或多个相关程度高，因此就使回归方程式y=f(x1,x2….xk)表现高度多重共线性，计量经济学中检验多重共线性时，往往称(1-2j R )为自变量Xj 的容忍度，其倒数为方差扩大因子，记为211j jVIF R =- 当模型中全部k 个自变量所对应的方差扩大因子平均数远远大于1时就表明存在严重的多重共线性。

一元线性回归模型(计量经济学)


回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
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第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型 The Classical Single Equation Econometric Model: Simple Linear Regression Model
1
本章内容
• • • • • • 回归分析概述 一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测 实例及时间序列问题
注意：“linear in the parameters”的含义是什 么？
33
2、关于解释变量的假设
*确定性假设。X values are fixed in repeated sampling. More technically, X is assumed to be nonstochastic. 注意：“in repeated sampling”的含义是什么？ *观测值变化假设。X values in a given sample must not all be the same.
了其他影响 Yi 的随机因素的集合，可看成是 i 的估计量ˆ i 。
• 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，
因此也称为样本回归模型（sample regression model）。
27
• 回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF， 估计总体回归函数PRF。 ˆ ˆ ˆ Y Y e X e Y E(Y | X ) X
– – – – 相关系数(correlation coefficient) 正相关(positive correlation) 负相关(negative correlation) 不相关(non-correlation)
• 回归分析仅对存在因果关系而言。
6
• 注意：
–不存在线性相关并不意味着不相关。
共计
2420
21450 21285
15510
13
• 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X， 不同家庭的消费支出不完全相同； • 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条 件的Y的条件分布（Conditional distribution） 是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 • 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的 条件均值（conditional mean）或条件期望 （conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。 • 该例中：E(Y | X=800)=605
时间序列数据作 样本时间适用
34
• 无完全共线性假设。There is no perfect multicollinearity among the explanatory variables. 适用于多元线性回归模型。 • 样本方差假设。随着样本容量的无限增 加，解释变量X的样本方差趋于一有限常 数。
为线性函数。其中，0，1是未知参数，称为 回归系数（regression coefficients）。
18
三、随机扰动项 Stochastic Disturbance
19
• 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该 社区家庭平均的消费支出水平。 • 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。
2
§2.1 回归分析概述 (Regression Analysis)
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
3
一、变量间的关系及回归分析 的基本概念
4
1、变量间的关系
• 确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象 非随机变量间的关系。
圆面积
, 半径 半径2 f
i i i 0 1 i i
i
i
i
0
1
i
i
28
29
2011.9.27
30
§2.2 一元线性回归模型的基本假设 (Assumptions of Simple Linear Regression Model)
一、关于模型设定的假设 二、关于解释变量的假设 三、关于随机项的假设
31
说明
• 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型 提出若干基本假设。 • 实际上这些假设与所采用的估计方法紧密相关。 • 下面的假设主要是针对采用普通最小二乘法 （Ordinary Least Squares, OLS）估计而提出的。 所以，在有些教科书中称为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。 • 在不同的教科书上关于基本假设的陈述略有不同， 下面进行了重新归纳。
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• 随机误差项主要包括下列因素：
–在解释变量中被忽略的因素的影响；
• 影响不显著的因素 • 未知的影响因素 • 无法获得数据的因素
–变量观测值的观测误差的影响； –模型关系的设定误差的影响； –其它随机因素的影响。
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四、样本回归函数 Sample Regression Function, SRF
– 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；
– 利用回归方程进行分析、评价及预测。
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• 1
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二、总体回归函数 Population Regression Function, PRF
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1、条件均值（conditional mean）
• 例2.1.1：一个假想的社区有99户家庭组成，欲 研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可 支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收 入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水 平。 • 为达到此目的，将该99户家庭划分为组内收入 差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费 支出。
能 回答：
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• 该样本的散点图（scatter diagram)：
• 画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体， 可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归 线（sample regression lines）。 • 样本回归线的函数形式为：
ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i
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表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元） 800 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 561 594 627 638 1100 638 748 814 847 935 968 1400 869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210 1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485 2000 1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606 1650 1716 2300 2600 2900 1969 1991 2046 2068 2101 2189 2233 2244 2299 2310 3200 2090 2134 2178 2266 2354 2486 2552 2585 2640 3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871 1408 1650 1452 1738 1551 1749 1595 1804 1650 1848 1672 1881 1683 1925 1716 1969 1749 2013 1771 2035 1804 2101 1870 2112 1947 2200 2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025
– 该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称 为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部 分； – 其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。
• 称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表 明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外， 还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了 随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体 回归模型(PRM)。
–存在相关关系并不一定存在因果关系。 – 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量 都被看作是随机的。 – 回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分 应变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前 者是随机变量，后者不一定是。
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2、回归分析的基本概念
• 回归分析(regression analysis)是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算 方法和理论。 • 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。 • 两类变量；
称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。
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• 注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似 替代
则
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2、样本回归模型
i 0 1 X i ei
式中，ei 称为（样本）残差（或剩余）项（ residual） ，代表
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• 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平 均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一 根正斜率的直线上。
3500 每 月 消 费 支 出 Y （元） 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
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1、样本回归函数
• 问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ • 在例2.1.1的总体中有如下一个样本，能否从该 样本估计总体回归函数？
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 X Y 800 594 1100 638 1400 1122 1700 1155 2000 1408 2300 1595 2600 1969 2900 2078 3200 2585 3500 2530