第一节 向量及其线性运算

第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。

第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。

（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。

（3）向量的模：||AB 。

（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。

（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。

（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。

（7）自由向量：可自由平行移动。

（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。

（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。

（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。

2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。

（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。

3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。

|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。

4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。

（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。

462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算一、填空题1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、z.3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．4.点M 的向径与x 轴成45角，与y 轴成60角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，则点M的坐标为3)-．提示：设(,,)OM x y z =，cos 6x xr α===，x =1cos 26y y r β===，3y =；由222coscos cos 1αβγ++=，有1cos 2γ=-，3z =-.5.与向量(16,15,12)a =-平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M=7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭．8.向量AB在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==则a b ± =(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±． b a ⇔ ∥y x z x y za a ab b b ==．10．在xoy 面上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为3821,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭．提示：设点(,,0)D x y ，由222AD BD CD ==得26108142x y x y -=⎧⎨-+=⎩.二、单项选择题1.设向量,a b互相平行，但方向相反，当0a b >> 时，必有 A ．Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A ．A ．90,150,60αβγ===B ．45,135,60αβγ===C ．60αβγ===D ．60,120,150αβγ===三、计算题1.已知两点()1M 和()23,0,2M ．计算向量12M M的模、方向余弦和方向角．解：()1M ，()23,0,2M ，∴()121,M M =-，122M M = ．∴1212M M M M11,222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，方向余弦为12-，，12，方向角为0120，0135，060． 2.设()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=- ，求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=-，∴ 43(13,7,15)a m n p =+-= ， 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j ． 3.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求a ．解：设 (,,)a x x x = ，且0x >，由3a = ，有239x =，得x =∴a =．第二节 数量积 向量积一、填空题1．a ⇔ ⊥b 0b a ⋅= ；a b ⇔ ∥0a b ⨯=．2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==,若两向量夹角为θ，则 cos θa b a b a b ++3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()23a b -⋅= 18-,2a b ⨯= 10214i j k ++．4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = 4 ，n = 1 ．5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223同时垂直的单位向量为2,2)--． 提示：与,M M M M 1223 同时垂直的单位向量为M M M M M M M M ⨯±⨯12231223.6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λμ+与z 轴垂直，则λ与μ的关系2λμ=． 提示：()0a b k λμ+⋅=.7．,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥,a 与c 的夹角为π3，b 与c 的夹角为π6，且a =1,2,3bc == ，则a b c ++=提示：2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++ . 二、单项选择题1. 已知()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则ab =Pr j C ． A ．３ Ｂ．13-Ｃ．－１ Ｄ．１提示：515a a b b a⋅-===-Prj . 2.已知向量,a b的模分别为4,2a b ==，且a b ⋅= ，则a b ⨯= C ．A．2B．．．2 提示： cos(,)a b a b a b ⋅= ，cos(,)2a b = ， sin(,)a b a b a b ⨯==三、计算题1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=-,求()a b c ⨯⋅ ．解：23185113i j ka b i j k ⨯=-=--+-，所以()(8,5,1)(1,2,0)2a b c ⨯⋅=--⋅-= ．2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =上的投影．解：6Pr j 23b a b a b ⋅====． 3．已知3,26,72a b a b ==⨯=，求a b ⋅ ．解：∵sin 72a b a b θ⨯== ∴7212sin 32613θ==⨯，5cos 13θ==±，从而5cos 3263013a b a b θ⎛⎫⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭．4．化简：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯．解：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯a cbc a b c b b a c a =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯ a c b c a b b c a b c a =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯2()a b =⨯ ．第三节 曲面及其方程一、填空题1．xoy 面上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次 为36)(94222=+-z y x 和369)(4222=-+y z x .2．曲面2221x y z --=是由xoy 面上的曲线221x y -=绕x 轴旋转一周所得或由xoz 面上 曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周所得.3．2221484x y z ++=表示的曲面为 旋转椭球面 ． 4．2235x y z +=表示的曲面为 椭圆抛物面 ．5．z =表示的曲面为 圆锥面的上半部分 ．6.22y x =表示的曲面为 母线平行于z 轴的抛物柱面 ．二、计算题1．一动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点为),,(z y x P ，则由题意知：22||||PB PA =,从而222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x即 0631044=-++z y x ∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x ． 2.将xoz 坐标面上的曲线z x a =+分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解：在xoz 面上的a x z +=绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面为：a x z y +=+±22即222)(z y a x +=+，同理，绕z 轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：a y x z ++±=22， 即222)(y x a z +=-．3.说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221499x y z ++= ⑵22214yx z -+= 解：(1) xoy 面上的曲线19422=+y x (或xoz 面上的曲线19422=+z x )绕x 轴旋转一周所得；(2) xoy 面上的曲线1422=-y x (或yoz 面上的曲线1422=-y z )绕y 轴旋转一周所得． 4.画出由曲面4z =22z x y =+及221x y +=所围立体(含z 轴部分).解：4z =)4,0,0(的下半圆锥面，22z x y =+表示旋转抛物面，221x y +=表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示．第四节 空间曲线及其方程一、填空题1.母线平行于y 轴且经过曲线2222222160x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程为223216x z +=. 2.球面z =z =xoy 面上的投影方程为221x y z ⎧+=⎨=⎩. z 22z x y =+ 221x y +=4z =图8-1x yO3.旋转抛物面()2204z x y z =+≤≤在xoy 面上的投影为224x y z ⎧+≤⎨=⎩，在yo z 面上的投 影为240y z x ⎧≤≤⎨=⎩.4.圆锥面z =22z x =所围立体在xoy 面上的投影为2220x y xz ⎧+≤⎨=⎩，在xoz面上的投影为0x z y ⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩ 二、单项选择题1.曲线2221:1645230x y z x z Γ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩关于xoy 面的投影柱面的方程是 A . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=C .22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩D .224412700y z z x ⎧+--=⎨=⎩2.曲线22203y z x z ⎧+-=⎨=⎩在面xoy 上的投影曲线的方程是 B .A .220y x z ⎧=⎨=⎩B .2290y x z ⎧=-⎨=⎩C .2293y x z ⎧=-⎨=⎩D .223y xz ⎧=⎨=⎩三、将曲线方程22222443812y z x zy z x z ⎧++=⎨+-=⎩化成母线分别平行于x 轴及z 轴的柱面的交线方程. 解：将22222443812y z x z y z x z ⎧++=⎨+-=⎩分别消去,x z ，得 224y z z += ① 240y x += ②再将①②联立得交线方程：222440y z zy x ⎧+=⎨+=⎩．第五节 平面及其方程一、填空题1.设一平面经过点()000,,x y z,且垂直于向量(),,A B C ，则该平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=. 2.平面260x y z -+-=与平面250x y z ++-=的夹角为π3.3.平行于xoz 面且经过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.4.经过x 轴和点()3,1,2--的平面方程为20y z +=. 提示：过x 轴的平面方程设为0By CZ +=.5.点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离为 1 .提示：d =.二、求平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程.解：设所求平面方程为0By Cz D ++=， 又平面过()4,0,2-()5,1,7两点2070C D B C D -+=⎧∴⎨++=⎩, 29D CB C=⎧∴⎨=-⎩， ∴所求平面方程为：920y z --=． 三、一平面过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-,试求该平面方程.解：设平面的法向量为n ，则n a b =⨯ ，2113110i j kn i j k ∴==+--，从而(1,1,3)n =-． 又 平面过点(1,0,1)-，∴所求平面方程为(1)3(1)0x y z -+-+=，即340x y z +--=.四、求平面2250x y z -++=与各坐标面夹角的余弦.解：平面2250x y z -++=的法向量(2,2,1)n =-，设平面与,,yoz xoz xoy 面的夹角分别为,,αβγ， 又yoz 面的法向量(1,0,0)i =2c o s .3n i n i α⋅∴== 同理．21cos ,cos .33βγ== 第六节 空间直线及其方程一、填空题1．设直线经过点()000,,x y z ，且平行于向量(),,m n p ,则该直线的对称式方程为00o x x y y z z m n p ---==,参数方程为000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩. 2．直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为302213x y z --+==-. 3．过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为024231x y z ---==-. 4．直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角为 0 .5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为. 提示：过(3,1,2)A -与10:240x y z L x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面为1y z +=，该平面与直线L 的交点131,,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则A 到直线L 的距离即为AB .6．过直线1:L 4020x z y +-=⎧⎨-=⎩且平行于直线221:211x y zL +-==的平面方程为 320x y z -++=.提示：过1L 的平面束:(4)(2)0x z y λ∏+-+-=， 2∥L ∏20n s ∴⋅= ,2(1,,1),(2,1,1)n s λ==210λ∴++=,得3λ=-．∴平面为43(2)0x z y +---=，即320x y z -++=..7．直线326040x y z x y z D -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则D = 3 .二、单项选择题1．两直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C . A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π22．直线111x x y y z z m n p---==与平面0Ax By Cz D +++=的夹角θ满足 C . A ．sin θ=B ．cos θ=C ．sin θ=D ．cos θ=3．过点()2,0,3-且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程是 A .A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L C .A ．平行于∏B ．在∏上C ．垂直于∏D ．与∏斜交提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.三、计算题1．求过点()4,1,3-且与直线230:510x y L y z --=⎧⎨-+=⎩平行的直线方程．解：设直线L 的方向向量12025051i j ks i j k =-=++-，∴所求直线的方向向量(2,1,5)s '=，从而直线方程为：413215x y z -+-==． 2．求直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程．解：过已知直线的平面束方程为：329(24)0x y z x y z λ---+-+=，即(32)(14)(2)90x y z λλλ+-++--=．要使其与平面41x y z -+=垂直，则满足4(32)1420,λλλ++++-= 11.13λ=-1731371170.x y z ∴+--= ∴投影直线方程为 41.1731371170x y z x y z -+=⎧⎨+--=⎩ 3．求过直线20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩且切于球面2224x y z ++=的平面方程．解：设所求平面方程为：4236(2)0x y z x y λ++-++=即(42)(2)360x y z λλ++++-= 由题意知：(0,0,0)到平面的距离为22=即2440λλ++=2λ∴=-∴所求平面方程为：2z =．第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a =()2,5,1-，b =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系2λμ=，λa +μb 与z 轴垂直． 2．若已知向量a =()3,4,0,b =()1,2,2,则a ,b夹角平分线上的单位向量为．提示： a ，b 夹角平分线上的单位向量为a b a b a ba b+±+.3．若两个非零向量a ,b的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ， 设a ,b夹角为ϕ，则cos ϕ=122112cos cos cos cos cos cos ααββγγ++．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 81390x y z -++-=．提示：L ：122232x y z -+-==-，化为一般方程12232232x y y z -+⎧=⎪⎪-⎨+-⎪=⎪-⎩， 即32102320x y y z ++=⎧⎨+-=⎩，过L 的平面束为：321(232)0x y y z λ++++-= ① (3,22,3)n λλ=+ ，(3,2,1)s =-，由0n s ⋅= 得13λ=-，代入①，可得平面方程.5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ=1arccos 6． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为 提示：过()A 3,-4,4与L ：452221x y z ---==-垂直的平面为：2(3)2(4)(4)0x y z --++-=，与L 的交点为(8,1,4)B ，A 到L 的距离即为AB . 7．曲线22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为2222210x y xy z ⎧++=⎨=⎩．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 0x y z -+=．二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点()3,2,2P -在平面32210x y z -+-=上的投影点是 B ． A ．()3,1,2- B ．301720,,777⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3--提示：过()3,2,2P -与平面 垂直的直线为322312x y z -+-==-，其与平面∏的交点即为投影点. 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 A ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 C ．A ．629 B ．2429 CD提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4．xoz 平面上曲线e xz =绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 A ．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．求与坐标原点O 及点()2,3,4A 距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）解：设所求曲面上的点为(,,)x y z ，则由题意知：2222221(2)(3)(4)4x y z x y z ++=-+-+-， ∴ 曲面方程为：222333468290x y z x y z +++++-=，表示一球面．2．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）解：把z x =-代入22216x y z ++=，得22216x y +=，令x t =，4sin y t =，则z t =-，∴空间曲线方程的参数方程为：4sin x ty t z t⎧=⎪=⎨⎪=-⎩．3．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）解：把247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩化为对称式方程：7002322x y z ---==-，设球心坐标为 73,2,22O t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OA OB =，从而 ()()()222227932233423222t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32t =， ∴(1,3,3)O -，1OA =，所以球面方程为222(1)(3)(3)1x y z ++-+-=．4．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：(23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=，(12,1,13)n λλλ=+-+ ，又∵直线11123x y z==平行于平面， ∴1112(1)(13)023λλλ++-++=， ∴1115λ=-， ∴所求平面方程为：726180x y z -+=．5．点()2,1,1P --关于平面∏的对称点为1P ()-2,3,11，求∏的方程．（本题7分）解：设1PP 的中点为0P ，则0(0,1,5)P ，1(4,4,12)PP =- ，∵1//PP n ，取(1,1,3)n =-，由题意知所求∏的方程为：(0)(1)3(5)0x y z --+-+-=，即3160x y z -++-=．6．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）解：设所求平面方程为：1(1)0x y z x y z λ+--+-++=，即(1)(1)(1)10x y z λλλλ++-+-+-=，1(1,1,1)n λλλ=+--， 又∵2(1,1,1)n = ，22n n ⊥， ∴1110λλλ++-+-= ∴1λ=-，∴ 10y z --=， ∴ 投影直线L 0的方程为：10y z x y z -=⎧⎨++=⎩．7．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成π4角的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：5(4)0x y z x z λ+++-+=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，1(1,5,1)n λλ=+- ，又∵2(1,4,8)n =--，1212πcos 4n n n n ⋅==，=即，解得34λ=-， 又平面40x z -+=与平面48120x y z --+=的夹角余弦cos ==θ π.4∴=θ ∴所求平面方程为：207120x y z ++-=及40x z -+=.8．求过点()P 2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分） 解：由题意知，过点P ()2,1,3且垂直与l 的平面方程为：3(2)2(1)(3)0x y z -+---=即3250x y z +--=，令3121x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，代入上述平面方程，解得37t =．所以平面与l 的交点为02133,,777P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于所求直线的方向向量0//s P P ，所以取(2,1,4)s =- ， 所以直线方程为213214x y z ---==-． 9．直线过点()3,5,9A --且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）解：设所求直线为l ，则l 与1l ，2l 分别相交，1l ：5332y z x -+==，2l ：71045y z x +-==， 所以取11(0,5,3)P l -∈，1(1,3,2)s = ，1(3,0,6)AP = ；22(0,7,10)Pl -∈，2(1,4,5)s =， 2(3,12,19)AP =- ，令111(18,0,9)n s A P =⨯=-，222(136,4,24)n s AP =⨯=--，过l 与1l 的平面方程为：2(3)(9)0x z +-+=，即230x z --=；过l 与2l 的平面方程为：34(3)(5)6(9)0x y z +---+=，即346530x y z --+=；所以直线l 的方程为：230346530x z x y z --=⎧⎨--+=⎩．。