第二讲 抽样分布与参数估计

抽样分布与参数估计首先，我们来了解什么是抽样分布。

在统计学中，抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。

假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体。

抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。

通过分析抽样分布，可以得到有关总体参数的有用信息。

例如，我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。

在实际情况下，我们无法调查每个人的收入情况，因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本，并计算他们的平均年收入。

如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入，然后绘制这些平均值的分布图，我们就可以得到平均年收入的抽样分布。

这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。

接下来，我们将讨论参数估计。

参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。

总体参数是用于描述总体特征的数值，如总体平均值、总体标准差等。

通过从总体中抽取样本，并计算样本统计量，我们可以利用样本统计量来估计总体参数。

常用的参数估计方法有点估计和区间估计。

点估计是指用单个数值来估计总体参数，例如用样本均值来估计总体均值。

点估计给出了一个单一的值，但不能提供关于估计的精度的信息。

因此，我们常常使用区间估计。

区间估计是指给出一个区间，这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。

区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。

区间估计依赖于抽样分布的性质。

中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。

这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。

构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。

标准误差是样本均值的标准差，它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。

根据正态分布的性质，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。

通过计算标准误差并结合正态分布的性质，我们可以得到样本均值的置信区间。

抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。

（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。

1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。

2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。

因为许多问题都使用正态曲线的方法。

这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。

中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。

（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。

统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。

所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。

从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。

3．标准误。

样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。

根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。

概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。

它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。

这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。

它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。

二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。

该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。

贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。

（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。

这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。

估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。

统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。

壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。

⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。

抽样分布与参数估计概述引言在统计学中，我们经常需要推断整个总体的性质，并据此进行决策或推断。

然而，由于种种原因，我们往往无法直接观察到整个总体的数据。

这时，我们通过对样本的观察和分析来进行总体的推断，这就涉及到了抽样分布和参数估计。

抽样分布抽样分布是指由相同样本大小的一系列独立随机样本所得到的统计量的分布。

在统计学中，我们通常将样本平均值、样本比例或者其他统计量作为总体参数的估计量。

而抽样分布那么将这些统计量的取值范围进行了描述。

中心极限定理中心极限定理是抽样分布的重要定理之一。

它指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。

换言之，即使总体分布未知或不是正态分布，样本均值的抽样分布将会趋近于正态分布。

中心极限定理的意义在于，它允许我们利用正态分布的性质来对总体参数进行估计和推断。

通过对样本数据进行观察和分析，我们可以得到样本的均值和标准差，进而利用正态分布的性质来进行置信区间的构造、假设检验等。

参数估计参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。

常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。

点估计点估计是通过单个统计量来估计总体参数的方法。

例如，我们可以用样本均值作为总体均值的估计值，用样本比例作为总体比例的估计值。

点估计能够给出一个具体的数值作为总体参数的估计，但是无法给出估计值的准确性。

区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的范围。

而这个区间通常使用置信区间来表示。

置信区间是指总体参数估计值在一定置信水平下的上下限范围。

常用的置信水平有95%和99%等。

置信区间的构造通常基于抽样分布的性质。

利用样本数据和抽样分布的知识，我们可以计算出参数估计值的抽样分布，并根据置信水平选择适当的临界值，从而得到置信区间。

总结抽样分布和参数估计是统计学中重要的概念和方法。

通过对样本数据的观察和分析，我们可以利用抽样分布和参数估计方法来推断总体的性质，并进行统计推断和决策。

中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布，从而允许我们利用正态分布的性质对总体参数进行估计和推断。