江苏省苏州市第五中学高中数学必修五教学设计：等比数

课题：等比数列的前n 项和教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题；（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；（2）等比数列的前n 项和公式的应用；教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导；教学方法：问题探索法及启发式讲授法教 具：多媒体教学过程：一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：qa a n n =-1（2n ≥，)0≠q（2）等比数列通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n（3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算引出课题:等比数列的前n 项和。

三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++22111111--=+++++n n a a q a q a q a q回顾：等差数列的前n 项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++32123636412222S =+++++根据等差数列的定义1+-=n n a a d[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2）（1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2+=n n n a a S探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？=n S 123n a a a a ++++22111111--=+++++n n a a q a q a q a q221--=+++++n nn nn n n n a aa a S a q q q q学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

《等比数列》教学设计一、教材分析：1、内容简析：本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如汽车折旧，银行福利问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位2、教学目标确定：从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。

从而可以确定如下教学目标：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及其推导；能运用等比数列通项公式解决相关问题；掌握等比中项的定义并能进行相关运算3、教学重、难点:【重点】等比数列和等差中项的概念；【难点】等比数列“等比”特征的理解、把握和应用4教学手段：多媒体辅助教学5教学方法：启发式和讨论式相结合,类比教学二、教学过程设计1、温故知新（1）等差数列定义：)(1为常数ddaann=--（2）等差数列的通项公式那么，还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗？师生互动：多媒体展示问题，学生回答，教师补充（设计意图：复习就知识，为新知识的学习做准备）2、引入概念举出几个关于等比数列的实际例子，让学生归纳总结出其特点，从而引入等比数列的定义情境一：《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

现代语言“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。

”我们把“一尺之锤”看做单位“1”，那么可以得到：1，21 ， 41， 81… 情境二：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为：2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯情境三：某人年初投资10000，如果年收益率是005，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为：234510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05⨯⨯⨯⨯⨯师：类比等差数列的特点，以上三个数列有什么共同的特点？生：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数．（师板书）师：回答正确，好，上述三个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？生：叫“等比数列”师：可以，请完整地叙述一下定义：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）师生互动：学生完成引例，教师引导学生依照等差数列的定义，尝试总结出等比数列的定义（设计意图：为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯）师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？ 生：1()n n n a q a +=常数（=1,2,3，） 得出等比数列数学语言：)N*n 0q q (1∈；≠为常数，且q a a nn =+ 或)N*n 2n 0q q (1∈；≠为常数，且≥=-q a a n n 师生互动：教师引导，学生解答，深刻等比数列的概念、性质（设计意图：为了让学生深刻记忆等比数列的概念、性质，并应用于解题）3、 深化概念（1）讨论：说出情境一至三中数列的公比q 的值①1,21,41,81…； ②2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯③234510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05⨯⨯⨯⨯⨯（设计意图：为了加深学生对等比数列定义的理解，运用情景三的例子）（2）引入例题深化定义【例1】判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项1a 和公比q, 如果不是，说明理由。

课题：等比数列的前项和（第一课时）一、教材分析●教学内容《等比数列的前项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导． 学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析（一）教学环节(二) 教学过程板书设计六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前项公式过程中，大多数学生忽略了对=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。

第8课时：§2.3 等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【学法与教学用具】：1.学法：2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母g表示（（?工0）,即：d=q（gzO）a…-i2.等比数列的通项公式：a n = , a n = a m -q n~m{a m - 0）3.［a n］成等比数列o 也 =g （ " w N+, gHO）“ a…工0”是数列［a n］成等比数列的必要非充分条件a”4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.二、研探新知1.等比中项：如果在&与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，那么称这个数0为$与方的等比中项.即Q 土y［ab （②方同号）推导：若在仪与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，则—=^>G2= ab^> G = ±y/~ab / a G反之，若G? =ab,则9 = 2,即aGb成等比数列/. a,G,b成等比数列o G? =ab〈ab壬0)a G探究：已知数列｛a”｝是等比数列，(1) af = a3a7是否成立？af = 成立吗？为什么？(2) a； = a”-%](“〉1)是否成立？你据此能得到什么结论？a： = a n_k a n+k(n >k>0)是否成立？你又能得到什么结论？结论：若｛a”｝为等比数列，m + n = p + q (m,n,q,p & NJ ,贝0 a m - a n =a p-a q.由等比数列通项公式得：a m =a l q m^ a n = a x q n^ , a p=a x q p~x ,a^= a x-q q ｛, 故a,” • a n = Q冷2 且勺.仙=a^q p+q 2, '： m + n = p + q, :. a m• a” =a p-a q.2.等比数列的性质：(1)与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

等比数列（一）教学目标：体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型, 理解等比数列的概念；体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念．重点难点：等比数列的概念及通项公式引入新课1．观察下列数列有何特点?（1）1，2，4，8，…（2）10，2110⨯，2)21(10⨯，3)21(10⨯，… （3）1，21，41，81，… （4）05110000．⨯，205110000．⨯，305110000．⨯，… 2．等比数列的定义：____________________ ________________________________ ． 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）⑵ 隐含：任一项00≠≠q a n 且⑶______________时，{a n }为常数列3．练习：（1）判断下列数列是否为等比数列：①1，1，1，1，1； ②0，1，2，4，8； ③1，21-，41，81-，161；（2）求出下列等比数列中的未知项：①2，a ，8； ②4-，b ，c ，21． （3）已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： ①、（ ），3，27； ②、3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），881． 3．等比数列的通项公式的推导与证明：4．练习：求下列等比数列的公比q 、第5项5a 及第n 项n a ：①2，6，18，54，…=q ______，=5a ______，=n a _________；②30．，090．-，0270．，00810．-，…=q ______，=5a ______，=n a _________； ③5，15+c ，125+c ，135+c ，…=q ______，=5a ______，=n a _________．例题剖析例1、（1）在等比数列{}n a 中，是否有112+-⋅=n n n a a a ？（2）如果数列{}n a 中，对于任意正整数)2(≥n n ，都有112+-⋅=n n n a a a ，那么{}n a 一定是等比数列吗？例2、在等比数列{}n a 中，（1）已知203=a ，1606=a ，求n a ； （2）51=a ，且n n a a 321-=+．．变式提升：1、试在243和3中间插入3个数, 使这5个数成等比数列．2、在数列{}n a 中，a 1=5, 且11+=+n n a a n n ． ⑴数列是不是等比数列； ⑵能否求出数列的通项公式？例3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，n a n b 2=，求证：数列{}n b 是等比数列．巩固练习1．下列哪些数列是等差数列，哪些数列是等比数列？（1）12lg 6lg 3lg ，，； （2）2122222-- ，，，； （3）a a a a a ，，，，．2．已知等比数列{}n a 的公比为52，第4项是25，求前3项． 课堂小结等比数列的概念、通项公式.课后训练一 基础题1．在等比数列{}n a 中，（1）若274=a ，公比3-=q ，求7a ； （2）已知81842= =a a ，，求1a 和q ；（3）已知6475= =a a ，，求9a ； （4）若1515=-a a ，624=-a a ，求3a ．2.如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列．1． ①为常数数列 ②为非零的常数数列 ③存在且唯一 ④不存在3．在等比数列{}n a 中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于_____. 4.各项均为正数等比数列｛a n ｝中，484,64a a ==，那么公比q 等于5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=．6.在83和272之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 7.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1+n n a a }，{na n 这四个数列中，是等比数列的有个。

高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（1）一、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(0)q ≠．解读：1．“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；2．公比q 等于从第二项起，每一项与它前一项的比，即1()n na q n a *+=∈N 或1(2)nn a q n n a *-=∈N ，且≥，分子分母的顺序不能颠倒； 3．由等比数列的定义可得，等比数列的每一项都不能为0，公比也不能为0，即等比数列排斥0；4．如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列；5．根据等比数列的定义，我们可以判定一个数列是否是等比数列，即只需看1n n a a +或1nn aa -是否为一个与n 无关的常数．在用1nn a a -判定时，条件是2n ≥，不要误认为无法判断21a a ，其实当2n =时，211n n a aa a -=，所以这种判定方法也是严谨的． 二、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a G b ，，成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．解读：1．a G b ，，满足，即2G ab =，解得G =等比中项；2．由等比中项的定义可知一个等比数列{}n a 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前后两项的等比中项，因此，利用等比中项的定义也能证明一个数列{}n a 是否为等比数列，即证明211(2)nn n a a a n n *-+=∈N ，且·≥． 三、等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=（其中，1a 与q 均不为０）． 解读：1．已知等比数列的首项和公比，可以求得数列中任意一项；2．通项公式反映了1n a q a n ，，，之间的关系；3．在已知等比数列中任意一项及公比的前提下，使用n m n m a a q -=也可求得等比数列中任意一项．四、等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=a 可以整理为1n n a a q q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0q >，且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，而1xa y q q =·是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数1xa y q q=·的图象上一群孤立的点．同样也可以把等比数列的通项公式视为定义域为*N 或它的真子集上的一个类指数函数．五、考查方式1．考查定义：利用等比数列或等比中项的定义证明一个数列是等比数列． 2．考查性质：利用等比数列的性质求解或简化计算过程． 3．计算问题：（1）求1n n a q a n S ，，，，中的量，可根据通项公式及前n 项和公式列方程（组）求解，求解原则为“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题；（3）递推数列求通项公式问题转化为等比数列求通项公式问题；（4）应用问题．例 在等比数列{}n a 中，0n a >，且413a =，7243a =，则3132310log log log a a a +++L 的值为_________．解析：设等比数列的公比为q ．途径一：依题意得316113243a q a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．解得1121879a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．∴313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L ···．途径二：∵413a =，7243a =，∴33749aq a ==，∴ 9q =，下同途径一．途径三：∵数列{}n a 是等比数列，∴110293856471243813a a a a a a a a a a =====⨯=·····，∴31323103110329356log log log log ()log ()log ()a a a a a a a a a +++=+++L L ·· 3333log 81log 81log 81log 815420=+++=⨯=．途径四：设3log n n b a =，则数列{}n b 是等差数列，其中431log 13b ==-，73log 2435b ==，1210475()5420b b b b b +++=+=⨯=L ∴． 故3132310log log log 20a a a +++=L ．评注：途径一是常规解法，利用了等比数列的通项公式；途径二直接利用了性质；途径三综合利用了性质；途径四利用了与等差数列有关的性质．由此可以看出，在解决等比数列问题时，抓住性质可以快速、巧妙的进行求解．高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（2）一、等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的前n 项和公式为111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，解读：1．当1q ≠时，求和公式有两种形式，要注意它们的适用情况；2．等比数列的前n 项和公式可视为分段函数，在解答相关含参数数列求和时，1q =的情形往往被忽略，这一点请同学们谨记；3．我们不但要记住前n 项和公式，还要弄清前n 项和公式的推导过程． 二、等比数列的前n 项和的性质设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和．1．当1q ≠时，111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----，可以看作n n S kq k =-（k 是不为0的常数），特点为n q 的系数和常数项互为相反数，根据这一点我们可以利用待定系数法求等比数列的前n 项和；2．k S ，2k k S S -，32k k S S -，…（0k S ≠）成等比数列，公比为kq ；3．当1q ≠时，11n n mm S q S q-=-（注：0mq -≠）． 三、等比数列前n 项和公式的推导课本中用两种方法推导了等比数列的前n 项和公式，我们要掌握如何巧妙地运用等比数列的定义或性质推出其前n 项和公式．下面我们用另外两种方法来推导等比数列的前n 项和公式．1．等比定理法若1q =，则1n S na =；若1q ≠，由等比数列的定义知3241231n n a a a a q a a a a -=====L (2)n ≥，所以2341231n n a a a a q a a a a -++++=++++L L ，即1n n n S a q S a -=-，解得11n n a a qS q-=-(2)n ≥．当1n =时，11S a =也适合此式．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，．2．恒等变形法121121()n n n S a a a a q a a a -=+++=++++L L 1()n n a q S a =+-．当1q ≠时，11n n a a qS q-=-；当1q =时，1n S na =．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，四、考查方式1．考查性质等比数列的前n 项和的三个性质都是考查的热点． 2．计算问题（1）等比数列有1a ，q ，n a ，n ，n S 五个基本量，根据通项公式与前n 项和公式可列两个方程，因此，这五个量可“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题．例 记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，则公比q =________．解法一：设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则有414818(1)11(1)17.1a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得2q =±．解法二：∵数列{}n a 是等比数列，∴可设nn S kq k =-，依题意，得4488117S kq k S kq k ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，，解得2Q =±．解法三：∵数列{}n a 是等比数列，∴数列4S ，84S S -，…是等比数列，公比为4171161q -==， ∴2q =±．解法四：∵数列{}n a 是等比数列，∴88441171S qS q-==-，解得2q=±．评注：解法一是基本解法，解法二是依据性质1来解答的，解法三是依据性质2来解答的，解法四是依据性质3来解答的，显然运用性质的解法都比基本解法计算简单．。

第9 课时：§等比数列〔3〕【三维目标】：一、知识与技术1掌握“错位相减〞的方法推导等比数列前n项和公式；掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实质问题；二、过程与方法经过公式的推导过程，提升学生的建模意识及研究问题、剖析与解决问题的能力，领会公式研究过程中从特别到一般的思想方法，浸透方程思想、分类议论思想及转变思想，优化思想质量．从“错位相减法〞这类算法中，领会“除去差别〞，培育化简的能力经历等比数列前n项和的推导与灵巧应用，总结数列的乞降方法，并能在详细的问题情境中发现等比关系成立数学模型、解决乞降问题。

三、感情、态度与价值观经过经历对公式的研究，激发学生的求知欲，鼓舞学生勇敢试试、勇于研究、敢于创新，磨炼思想质量，从中获取成功的体验，感觉思想的奇怪美、构造的对称美、形式的简短美、数学的谨慎美．【教课要点与难点】：要点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．打破难点手段：“抓两点，破难点〞,即一抓学生感情和思想的喜悦点，激发他们的兴趣，鼓舞学生大胆猜想、踊跃研究，实时地给予鼓舞，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特色下手，教师在学生主体下赐予适合的提示和指导.【学法与教课器具】：学法：由等比数列的构造特色推导出前n项和公式，进而利用公式解决实质问题教课方法：采纳启迪和研究-建构教课相联合的教课模式.教课器具：多媒体、实物投影仪.【讲课种类】：新讲课【课时安排】：1课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题第一回想一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比往常用字母q表示〔q0〕，即：an q〔q0〕a n12.等比数列的通项公式:a n a1q n1(a1q0)，a n a m q m1(a1q0)3．{a}成等比数列a n1=q〔nN,q≠0〕“a n≠0〞是数列{a }成等比数列的必需非充足条件n ann 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：假定a,G,b成等比数列，那么G2ab,G叫做a与b的等差中项.6．性质：假定mn pq(m,n,q,p N)，那么a m a n a p a q 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性二、研探新知1．等比数列前 n 项和公式的推导： 方法一：错位相减法一般地，设等比数列a 1,a 2,a 3, ,a n , 的前n 项和是S n a 1 a 2 a 3a n ，S n a 1a 2a 3a nS n a 1a 1qa 1q 2 a 1q n2a 1q n1,由a 1q n1得qS n a 1qa 1q 2a 1q 3a 1q n1 ∴(1q)S n a 1a 1qna na 1q n当q1时，S na 1(1q n )a 1 a n q当q1时，S nna 11 或S n1 qq这类乞降方法称为“错位相减法〞，“错位相减法〞是研究数列乞降的一个重要方法注意：〔1〕a 1,q,n,S n 和a 1,a n ,q,S n 各三个可求第四个；2〕注意乞降公式中是q n ，通项公式中是q n1不要混杂；3〕应用乞降公式时q1，必需时应议论q1的状况．方法二：运用等比定理a 2 a 3 a n q有等比数列的定义， a 2 a na 1 1a 2 a 3 a n S n a 1 q依据等比的性质，有a 2a n1S na na 1即Sna 1 q(1 q)S n a 1a n q 〔结论同上〕S na n环绕根本观点，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 方法三：运用方程思想 (提取公比q )S n a 1 a 2 a 3 a n ＝a 1 q(a 1 a 2 a 3 a n1)＝a 1 qS n1＝a 1 q(S n a n )(1 q)S n a 1 a n q 〔结论同上〕“方程〞在代数课程里据有重要的地位，方程思想是应用十分宽泛的一种数学思想，利用方程思想，在量和未知量之间搭起桥梁，使问题获取解决 一般地，设等比数列a 1,a 2 a 3, a n它的前n 项和是方法四：由等次幂差公式直接推得〔详略〕三、怀疑争辩，排难解惑，展开思想例1求等比数列 1，2，4，从第5项到第10 项的和.解：由a 11,a 22 得q 2S 4 1 (1 2 4)1(1210)1023，从第5项到第，1215，S 101 210项的和为S 10-S 4=1018例2 一条信息，假定一人得悉后用一小时将信息传给两个人， 这两个人又用一小时各传给未知此信息的此外两人，这样持续下去，一时节间可传遍多少人？解：依据题意可知，获知此信息的人数成首项a 11,q2的等比数列，那么：一天内获知此信息的人数为：S 41 224 22411 2例3〔教材P 51例1〕求等比数列{a n }中，〔1〕；a 14，q1 ，求S 10；〔2〕；a 11，2 a k243，q3，求S k ．a 1(110 )4[1(1)10]1023a 1 a n q1 2433q2364．解：〔1〕S 101 q1128 ；〔2〕S kq1 3112例4在a,b 之间插入1010个数的和个数，使它们同这个数成等比数列，求这例5〔教材P 51例2〕求等比数列{a n }中，S 37 63，求a n ；，S 622解：假定q1，那么S 62S 3，与S 37 ，S 6 63 矛盾，∴q 1，进而S 3a 1(1 q 3)7①，2 21 q2S 6 a 1(1 q 6)63②．②：①得：1q 3 9，∴q2，由此可得a 1 1 ，∴a n 1 2n12n2．1 q 22 2例6〔教材P 51例3〕求数列1 1 11, ,n1的前n 项和．,2 ,38 2 n ,24解：S n (11)(21)(31) (n1n )(123 n)(1111n )248224 8211n(n 1)2(1 2n )n(n 1)11．21 122n2说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采纳分组乞降．例7等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项为哪一项54，假定该数列的前n 项之和为S n ，且S a80,S 2n 6560，求：〔1〕通项公式a n ；〔2〕前100项之和S 100例8设数列{a n },a 15 ，假定以a,a ,,a n 为系数的二次方程：an1 x 2ax1 0(nN 且612nn2〕都有根、且知足331，〔1〕求证：{a n 1}为等比数列；〔2〕求a n；〔3〕求{a n} 2的前n项和S n。

等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n n a a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、研探新知1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gb a G =，即b G a ,,成等比数列∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ） 探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．由等比数列通项公式得：11n 11 --==n m m q a a q a a ，111q 1 ,p q p a a qa a q --==⋅， 故221m n m n a a a q +-⋅=且221p q p q a a a q +-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．2．等比数列的性质：（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。