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曲边梯形的面积公开课资料

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教案1.5.1曲边梯形的面积(教案)

教案1.5.1曲边梯形的面积(教案)

1.5.1曲边梯形的面积主备人：赵秀娟 审核人：王甜甜 时间：一、目标导学教学目标:⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以曲代直、逼近、求和；⑵进一步感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用； ⑶通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极限的数学思想方法运用。

教学重点：求曲边梯形的面积。

教学难点：深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。

教学过程： 二、自主探究1.求下图中阴影部分的面积：2.对于哪些图形的面积，大家会求呢？三、交流点拨（一）问题引入：对于0x =，1x =，0y =，2y x=围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？ （一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲） 今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。

（二）学生活动1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以⊿OAB 的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。

（在讨论的过程中渗透分割的思想）问题：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）方案一 方案二 方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）总结：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。

曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件

曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
故路程的近似值为 s 10 si 0 1 2 9 45. i1
【方法技巧】求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形
的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分 割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间 区间.
x
(2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.
2.求曲边梯形面积的思想及注意事项 (1)思想：利用无限逼近的思想方法，“以直代曲”将曲边梯 形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积， 然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精 确值. (2)注意事项： ①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接 近曲边梯形的面积，也可以不是等分.
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1.连续函数与曲边梯形的概念 (1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条 _连__续__不__断__的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数. (2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线_y_=_f_(_x_)_所 围成的图形(如图阴影所示).
割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故
应选A.
(2)选D.在［0，t］上等间隔插入n-1个分点，把区间［0，t］
等分成n个小区间，每个小区间的长度均为 t，故第i-1个区间
n
为[ t(i 2)，t](，i 故1) 选D.
n
n
(3)分割：
在区间［1，2］上等间隔地插入n-1个点，将区间［1，2］等
【即时练】
汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将
运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运

曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件

曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变
D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小
答案:D
)
【做一做 2-2】 求由抛物线 f(x)=x2,直线 x=1 以及 x 轴所围成
的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5 等分,如图所示,以抛物线
f(x)=x2 在小区间中点处的函数值为高,所有小矩形的面积之和
2n-1 2n
1 1
.
=6n n 2n
sn= ∑
(4)取极限
s= lim sn = lim 6n
n→∞
n→∞
1 1
n 2n
= 3.
所以这段时间内运动的路程 s=3.
解:(1)分割:在区间[0,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间分
2(n-1) 2n
,
, 记第i 个小区间为
n
n
2(t-1) 2t
ABCD的面积S.
因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形
ABCD的面积.
①
n-1
n+t 3 1
因为 ∑ n
·n
t=0
=
n-1
1
∑ (n + t)3
n4 t=0
1 n-1
= 4 ∑ (n3 + 3n2t + 3nt2 + t3)
n t=0
1 4
n(n-1)
1
1
2
= 4 n + 3n ·
求曲边梯形的面积相比,这里采用的“以不变代变”的思想方法更直
观、更容易理解.
求解步骤为:
(1)分割:n 等分区间[a,b].
(2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi].

优秀说课稿——曲边梯形的面积

优秀说课稿——曲边梯形的面积

（人教A版）高中数学课程标准实验教科书数学（选修2-2）第一章第五节《1.5.1 曲边梯形的面积》说课稿一、【教材地位、作用分析】：《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容。

教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛砖引玉的铺垫作用。

同时也为今后大学进一步学习微积分打下基础。

求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整个定积分学习的始终。

作为定积分的前奏曲，《曲边梯形的面积》是定积分概念的引例和重要铺垫材料，故本节课显得至关重要。

二、【教学重点、难点分析】：重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）。

难点：“以直代曲”、“无限逼近” 思想的形成过程及理解。

三、【教学目标分析】：1、知识与技能目标：（1）从问题情境中了解定积分概念的实际背景；（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。

2、过程与方法目标：（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”、及“无限逼近”的思想；（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。

3、情感、态度与价值观目标：（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）感受数学的简单、简洁之美。

四、【教学设计分析】：创设情境引入新课问题一：我们在小学、初中主要学习求规则的平面图形面积的问题。

但现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如海南省的国土面积？问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。

引导、引出曲边梯形的定义。

带着问题走进课堂，诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

曲边梯形的面积PPT优秀课件

曲边梯形的面积PPT优秀课件

1(1 1)(2 1) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角面 形积 的为1。
3
3
分割
以直代曲
作和
逼近
2020/2/29
11
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

曲边梯形的面积市公开课金奖市赛课一等奖课件

曲边梯形的面积市公开课金奖市赛课一等奖课件

续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成图
形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
第4页
思考： y
y = f(x)
A1
Oa
b
x
用一个矩形面积A1近似代替曲边梯形面积A，
得 A A1.
第5页
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形面积 近似代替曲边梯形面积A， 得 A A1+ A2
第6页
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形面积 近似代替曲边梯形面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
第7页
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形面积代替
小曲边梯形面积， 于是曲边梯形面积A近似为
A A1+ A2 + + An
数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次
为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记 λ为这些小区间长度最大者，当λ趋近于0时，
所有小区间长度都趋近于0，在每个小区间
内各取一点，
i [xi1, xi ]
a,b内可积分，则f(x) g(x)也在此区间内
可积分，且 b a
f(x)
g
(
x)
dx
b
f (x)dx
a
b

人教高中数学选修22 .1曲边梯形的面积教学课件

人教高中数学选修22 .1曲边梯形的面积教学课件
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
思维导航
-----割圆术
割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣.
以直代曲
无限逼近
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
的垂线, 这样[0,1]区间
分成n个小区间：0,1 n,1 n,n 2,nn1,1
记i个 第区 i n1 间 ,n i i 为 1 ,2, ,n y
长:度 xi i11
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
S n S 1 S 2 S i S n O 1 2 i 1 i 1 n 1 x
•
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。

2019年曲边梯形的面积课件_新人教A版选修2-2精品教育.ppt

2019年曲边梯形的面积课件_新人教A版选修2-2精品教育.ppt

Sn

n
ΔSi'
i1

n f i 1Δx i1 n
n

i

12

1
i1 n n

0

1


1
2


1






n

12

1
n n n
n n

1 n3
12
22
n 12
可以证明
12 22 n 12 n 1n2n 1.
1 2n

2.
事实上,我们可以 4取极限 当n趋向于无穷
认为汽车在每个 大,即Δt趋向于0时,
小时时间间隔
i
1, n
i n
上近似地
以任意时刻ξi
i
1, n
i n
处的速度
vξi 作匀速行驶,
并且我们有
Sn


1 1 3
1 1 n
i n

(i

1,2,

,n)
上时间速度变化很小,不妨
认为它近似地以时刻i

1处的速度v
i

1


i

12
n
n n
2作匀速行驶,即在局部范围内"以匀速代变速",于是
ΔSi

ΔSi'

v
i

12
Δt
n



i

1
2
n
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求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面 积。
方案1 方案2 方案3 方案4
五、探究(二)近似代替
方案1
Si
f (i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
方案2
Si
f
( i )x n
( i )2 n
1 n
方案3
Si
f
(i-1) n 2
f
(
i n
)
x
(
i-1)2 n
2
( i )2 n
n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
S
lim
n
Sn
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
五、探究(五)左右夹逼
n
易知，
i 1
1 n
f i 1 n
n i 1
1 n
f i
n i 1
1 n
f i n
所以，S
lim
n
S
n
lim
n
n i 1
1 n
f i
六、解惑
(3) 求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近
似值：
n
S f (i )x
i1
n
(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为 S lim f i x x 0 i 1
为了便于计算，一般用左（右）端点。
练习(教材42页)
求直线x=0,x=2,y=0与曲线 y x2所围成的曲边梯
形的面积。
(1)分割:将它等分成n个小区间:
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
[0, 1 ],[ 1 , 2 ],,[i 1 , i ],,[ n 1 , n ],
n nn
nn
nn
每个区间长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而 得到n个小曲边梯形，他们的面积 分别记作
S1, S2 ,, Si ,, Sn.
n
S Si
i 1
五、探究(二)近似代替
C.可以是该区间内任一点的函数值f (i )(i xi , xi1)
D.以上答案均不正确
六、升华
1、求曲边梯形面积的“四步曲”：
分割
近似代替
求和
2、最终形式是什么？
n
S lim f i x x 0 i 1
3、求曲边梯形面积中所用的思想方法： （1）以直代曲思想
（2）逼近思想
取极限
0,
2 n
,
2 n
,
4 n
,
2(i 1) n
,
2i n
,
,
2(n 1) n
,
2n n
,
每个小区间宽度：x 2
n
(2)近似代替: (3) 求和: S (4)取极限: S
nilSinmi1ifnf1((2n2nfii)()2nn2in2)
2 n
lim 8 (1 n 3
1)(1 n
1) 2n
y
f b
f a
y fx
oa
bx
图1.5 1
求如上图由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
六、解惑
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
(2)近似代替:任取in[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 高为f(i), 宽为x的小矩形面积f(i)x近似地去代替.
8 3
练习
当n很大时，函数 f (x) x2
在区间
i
n
1
,
i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f (1) n
C.
f (i ) n
B.f
(2) n
D. f 0
练习
在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于（C ） A.只能是左端点的函数值 f (xi ) B.只能是右端点的函数值 f (xi1)
一、温故
1、请同学们梳理一下,你已经会求哪些平面图形的面积？
2、这些平面图形的主要特征是什么？ ------平面图形可分为直边图形和曲边图形。
一、温故
3、你会求下面图形的面积吗？
二、存疑
4、下面这个图形的面积呢？
三、抽象
y
f b
f a
y fx
如何求它的面积呢？
o
a
bx
图1.5 1
如上图，阴影部分类似于一个梯形, 但有一边是曲线y=f(x) 的一段, 我们把由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线y=f(x)所围 成的图形称为曲边梯形.
x
方案4
Si
f
( 2i-1)x 2n
(2i 1)2x 2n
五、探究(三)求和
近 似 代 替
求 和
S
Sn
n
S i
i 1
n i 1
1f n
(i 1) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
S
Sn
n
S i
i 1
n i 1
1f n
(i ) n
1 3
1
1 n
1
1 2n
五、探究(四)取极限
S
lim Sn
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失
矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
四、具体
求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面 积。
将它分割成许多小曲边梯形
五、探究(一)分割
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：