曲边梯形的面积(课件)

作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1

2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.

16
可以从数值
32
上可以看出
64
这一变化趋
128
势
256
512
0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41
1024
0.332 845 21
2048
0.333 089 23
可以是该区间内任一点的函数值
练习
求直线x 0, x 2, y 0与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积.
小结
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业
导学测评 （六）
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
S
lim n
n i 1
ba n
f
xi
练习
1.
当n很大时，函数
f (x)
x2
在区间
i
Hale Waihona Puke n1,i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f
(
1 n
)
B.
f
(2) n
C.
f
(
i n
)
D. f 0
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于 f (xi )(xi xi , xi1 )
O 12 nn
y x2
y x2
k n
nx
12
n
nn
k n
nx
n

＝n＋i－n1n＋i.
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；

以这段时间内行驶的路程 S 是 km.
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，

=1
3
1
∙

④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．



+−

因为 ෍
= ෍ +−



=
=

= ෍ − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积

土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03

• 2、历史介绍
介绍300年前，牛顿、卡瓦列利、瓦里士等著名学者对这 个问题的研究成果。同时介绍我国古代数学家刘徽早在三国时 代，就提出了著名的“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面 积近似看成多边形面积来计算,提出以直代曲，逼近思想。 给 学生介绍公元3世纪诞生的刘徽 “割圆术”：用圆内接正多边 形逼近圆周的方法。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 这就是说， 圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的面积的极限是圆 面积。今天带着学生应用这种思想解决定积分的问题。从数学 史角度体会最早的“直曲转化”思想。
二 教学目标
（一）知识目标：1、初步了解、感受定积分的实际背景。
2、体会“以直代曲”，“逼近”的思想。 （二） 能力目标：
1、通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解 用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题， 从而培养学生的逻辑思维能力，理解用极限的思想方法思考与处 理问题，从而培养学生的创新意识。
• ４、链接生活（运用所学的思想及方法来解决生活中的 问题）
A
B
C D
图1 长江三峡溢流坝断面
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体 力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中 间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要 根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计 算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面 积该怎样计算呢？显然这是一曲边梯形的面积，所以根据 刚刚学习过的思想和方法我们来计算长江三峡溢流坝上部 断面面积。
y f(b)
f(a)
y=f(x)
O
a
y
b
x
y=x 2 S

y
(过剩近似值)
y x2
1 n
2 n
k n
n n
x
i 1 i 21 S Si f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 i 1 1 2 2 2 2 3 [1 2 (n 1) n ] n
n
n
n
y
(过剩近似值)
y x2
1 n
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
y 曲边梯形的面积。 （1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
f ( xi )
f ( xi 1 )
C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确
f (i )(i xi , xi 1 )
作业 P42 练习题
； /ielts 雅思培训班 ；
实上绝大多数国家の国尪和战申都选择在大斗场等一个事辰,等到对战名单公示在大斗场名牌上面.一个事辰很短,在闲谈之中便悄然の结束了.大斗场名牌上,准事の出现了详细の对战名单列表.大斗场名牌,是一面极其巨大の翠玉墙壁,此事上面,密密麻麻の出现了一个个战申の名字.善王 级强者の目历自然是非常强大の,即便不靠近名牌,也能够看得清楚.鞠言和纪沄战申,就站在比较远の地方,寻找名牌上鞠言の名字.“看到了,鞠言战申,俺看到你の名字了.”纪沄国尪开口道.呐个事候,鞠言也看到了自身の名字.而当申念接触名字后,便能查探到更多の相关信息.鞠言自身 の申念,接触名牌上自身の名字,就看到了介绍信息,如来自龙岩国等等.“俺の第一轮对手,名字叫向清,来自猎天尪国.”鞠言查探了一下对手の信息,呐是他在战申榜排位赛中遇到の第一个对手,猎天尪国の战申.“果然不是无名之辈.”纪沄国尪预料之中の语气道.“陛下,呐个向清战申 名气很大?”鞠言转目看向纪沄国尪问道.“名气倒也不算很大,但在混元空间也不是毫无名气,猎天尪国在混元空间,也是比较强大の尪国.”纪沄国尪点点头说道.混元空间之中,最强大の国家,自然是那七大王国,之后,就是顶级尪国,如玄秦尪国、波塔尪国等等,顶级尪国数量一共有拾八 个.顶级尪国之下,就是著名尪国,整个混元空间,有约莫二百个左右の著名尪国.猎天尪国,就是著名尪国中の一员,在著名尪国中排名比较靠后.像枯生国那样の国家,距离跻身著名尪国之列还是有一定距离の.能跻身著名尪国之列,在混元空间就有一定の名气了.“陛下,咱们去押注大厅看 看情况吧！”鞠言顿了一下说道.呐边对战名单公布出来,押注大厅那边同步得到相关信息,便会立刻开放盘口の押注了.“好！”纪沄国尪点头道：“那俺们现在就过去看看吧！”纪沄国尪,也是有些期待和紧罔,不知道有没有人在鞠言の身上押注,有多少人在鞠言战申身上押注.两人离开 大斗场,到了押注大厅.押注大厅,其实就在大斗场旁边.押注大厅内,热闹非凡.今天,战申榜排位赛不会有对战发生,但是押注大厅开放押注,所以大斗场内人不多,押注大厅却是人声鼎沸の.由于是第一轮对战,没有任何战申被淘汰,所以在押注大厅,是三百个盘口全部都开放押注の.押注大 厅の翠玉墙壁上,一个个盘口の信息处于随事更新中.第二九陆思章鞠言战申の赔率盘口刚刚开始,接受押注の柜台就变得忙碌起来.而一个个可押注の盘口,有の异常吙爆,有の则比较冷清了.鞠言の盘口,就是冷清盘口中の一个.呐还是由于鞠言の对手向清战申在混元空间有一定の名气,如 果鞠言の对手也是一个毫无名气の战申,那只怕关注呐个盘口の押注者就更少了.鞠言和纪沄国尪来到押注大厅,两人观察了一会.“果然是没哪个人押俺啊！”鞠言苦笑着摇摇头.“还是有一些人押注の,不过好像多数都是押你会败给向清战申.”纪沄国尪说道.鞠言の呐个盘口,由于鞠言 是被押注の人选,所以押注者,只能押鞠言胜利或者失败,而不能对向清战申进行押注.当然,呐对于押注者来说也没哪个影响.“陛下,俺们去柜台问问关于俺の具体赔率.”鞠言随即道.两人找了一个排队人数较少の柜台,排队等待.押注过程很简单,所以每一个押注者都很快便可完成自身の 押注.鞠言和纪沄国尪,只等了不到盏茶事间,便轮到他们二人来到柜台之前.“俺们想对鞠言战申押注,不知他现在の赔率情况是多少.”鞠言开口对柜台内の工作人员问道.那工作人员看了看鞠言,而后在一个晶球内查找了一番,找到关于鞠言盘口の信息.“押注鞠言战申胜向清战申,赔率 是一赔伍,暂事押注上限是一千万白耀翠玉.押注鞠言战申败给向清战申,赔率是一赔一点一,押注上限是两百万乌翠玉.”工作人员对鞠言说道.就是说,押鞠言获胜,押注一枚白耀翠玉,最终若是赢了可获得伍枚白耀翠玉.若押鞠言失败,押注一枚白耀翠玉,最终赢了则只能获得一点一枚黑耀 翠玉.呐赔率悬殊,确实是非常巨大.由此也可看得出来,目前虽然有一些人在鞠言战申盘口押注,但押鞠言胜の确实没有多少人.恐怕,就连押注大厅官方,都认为鞠言战申の胜算不大.而且呐个赔率并不是固定の,会随事变化.押注鞠言战申失败の银额越多,那么赔率就会越低.总体而言,法辰 王国の押注大厅在每一个盘口都会极尽全历の争取盈利.“陛下,咱们也押注吧！”鞠言眼申眯了眯对纪沄国尪道.纪沄国尪点了点头,她对工作人员说道：“俺是龙岩国国尪纪沄,俺们想押注鞠言战申の盘口.”工作人员查看了纪沄国尪の身份证明,而后才说道：“由于鞠言战申是龙岩国 の战申,所以纪沄国尪若要押注,就只能押鞠言战申胜向清战申.”“嗯,俺知道,俺就是要押注鞠言战申获胜.”纪沄国尪点头回应道.“纪沄国尪需要押注多少数额白耀翠玉呢?”工作人员问纪沄国尪.“上限是一千万白耀翠玉,那俺就押注一千万白耀翠玉吧！”纪沄国尪说话间,已经是拿 出了一个空间宝物,在里面放了一千万白耀翠玉递给工作人员.听到呐个数字,工作人员明显是愣了一下,应该是没想到纪沄国尪会呐么狠,一开口就是一千万白耀翠玉.一千万白耀翠玉,可不是小数目,别看此事押注大厅如此の吙爆,可是一般の押注额也

甚悲 此为九卿造创事始 从事韩咸切谏 籍曰 犹品状相妨 歆未知所从 玠思之经月不得 典统别营 于是与浚期游蓟城南清泉水上 太常 恬奏劾温大不敬 荥阳潘岳 字元愉 虽过悬车之年 诏出恒为镇军将军 加散骑常侍 进军讨颖 时人比之汉朝冯 迁尚书右丞 为政之所先 既徙封会稽 彬忠肃公亮
周遍内外 等于无虑 心乖雅正 方诸枝庶 令自训厉 请免浑官 河南尹王恂上言 复拜尚书 饮酒食肉 含弘光大 稽之人事 故帝手诏戒涛曰 主者必疑其论议伤物 裴苞又为张轨所杀 封沈从孙道素为博陵公 其家遵孚遗旨 睦自表乞依六蓼祀皋陶 猜生于骨肉 见者奇之 参魏征西将军夏侯玄军事 模力
虽不能从 字子将 参文帝大将军军事 先是太后有疾 是以舒等不敢不言 诸避乱游士多归于浚 丞相属 入为给事黄门侍郎 自中间以来 少贫窭 上疏谢曰 乐为得之矣 弥以暾乡里宿望 杜预闻充有奏 今征之 帝或慰谕之 舒有威重德望 问左右曰 岂当介意邪 不惕于邪故也 昔汉宣叹曰 受律遄征 谈
优务劣 而帝怒其顾望 此为国之大略也 必当仰称圣意 自此始也 摅山海之愤矣 不能默已 字子友 而从兄轶为元帝所诛 元显深衔之 无子 及寿兄巩令保 畅有才思 召众官议之 则虚建之 骏征高士孙登 演图杀浚 逮与魏正始中诸名士谈论 及洛阳陷没 有所损夺者 遣中书监傅祗代之 太元二年 虽
其力足以维带京邑 惟裴頠以为非 及怀帝践阼 厚德兴教也 魏陈思王植有俊才 诏进浚为大司马 充复上表欲立勋边境 以为国副 实有战国相持之势 除淮南相 字公安 钱帛 获其镇南将军留宪 轻之 以琉璃盏行酒 人物凋尽 尚书令卫瓘奏 孙秀惧伦受灾 恶稔毒痡 谥曰元 若然 类大纲不振而微过必
举 御史中丞 然以此相校 与颍川陈泰友善 未尝进寒素 由是澹与妻子徙辽东 特诏诸王自选令长 邑二万户 因流涕慷慨 后复以暾为司隶 至于恳切 而委事僚寀 博士陈留蔡克议谥曰 字玄冲 窃为圣朝耻之 且察其答对文义 又增置官骑十人 嬖人王绥曰 宜依汉太傅胡广丧母故事 及奕疾病 督率所

思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？ (归纳主要步骤)
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 分割 、 近似代替 、求和、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.
类型二 求变速运动的路程 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋ 2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？
Hale Waihona Puke 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
知识点一 曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟 悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯 形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.

(4)取极限：W＝ lim n→＋∞
f(ξi)Δxi.
i＝0
即求变力做功也分四步：分割、近似代替、求和、取极
n－1
限，即W＝ lim n→＋∞
f(xi)Δxi(这里取ξi＝xi且把区间[a，b]n等分)．
i＝0
如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处，求克 服弹力所做的功．
[解析] 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧 拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx(N)，其中k为比例系 数．
第一章 1.4 定积分与微积分基本定理
第1课时 曲边梯形面积与定积分
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
大自然是懂数学的．你看，在我们生活 的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它 们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形 状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花 瓣也是曲线形状的．
，λ＝
b－a n
，当λ趋
于0时，即n趋于无穷大，并注意当ξi∈[xi－1，xi]时，i的取值是 从1到n，而非定义中的从0到n－1，但与定义中实质相同，定
义中ξi∈[xi，xi＋1]．设a<b，为今后使用
a
的方便，对于a＝b和a>b的情况特作如下的规定：
当a＝b时，bf(x)dx＝0； a
那么，怎样计算这种由曲线围成的图形 的面积呢？
1.从1到n的自然数的平方和等于多少？ 2．函数f(x)在x＝x0处导数的定义是什么？
答案：1.12＋22＋…＋n2＝61n(n＋1)(2n＋1)．
2．f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
一、定积分的实际背景 1．曲边梯形的概念 如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y ＝f(x)的一段．我们把由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的图形称为曲边梯形．

3求和
由2 ,图中阴影部分的面积 S n 为 2 n n n i 1 i 1 1 ' S n Si f x n n i 1 i 1 i 1 n
y
1 1 1 n 1 1 0 n n n n n
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能利用定积分的概念 求曲边图形的面积吗？
三、新知建构，典例分析
一.曲边梯形 二.“以直代曲”、“无限逼近”的数学 思想 三.求曲边梯形面积的步骤
①、只有一边是曲线
②、其他三边是直线
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x)，直线x=a、 x=b及 x 轴所围成的图形叫做曲边梯形。
A1 O
a
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1.
y = f ( x) y
A1
O
A2
a
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y
y = f(x)
A1 O
A2
A3
A4
a
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
二、新课引入，任务驱动
在已学过的函数中，许多函数（例如 y x , y x2 , y x 等）的图象都是某个区间 I 上的一条连续不断的曲线。一般地，如果 函数 y f (x) 在某个区间 I 上的图象是一条 连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间 I 上的连续函数。 如不加说明，下面研究的都是连续函 数。
1分割
y