大学工科数学分析期末考试_(试题)A

哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。

（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。

（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。

（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。

2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。

工科数学分析期末试卷1.(10分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0。

证明：存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $f''(\\xi)= -\\frac{4}{(b-a)^2}f(\\xi)$。

2.(15分) 求解微分方程初值问题：$$ \\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0 \\\\ y(0) = 2 \\\\ y'(0) = -2\\end{cases} $$3.(15分) 计算 $\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2}}{1+x^2} dx$。

4.(20分) 设 $\\{a_n\\}$，$\\{b_n\\}$ 均为正数数列，$\\lim_{n\\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，$\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{b_{n+1}}{b_n} = b$，证明：$$ \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{(a_1b_1)(a_2b_2)\\cdots(a_nb_n)}{(ab)^n} = 1 $$5.(20分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且f″(x)+k2f(x)=0，其中k>0。

证明：对任意$\\epsilon > 0$，存在 $0<\\delta \\leq \\frac{1}{2}(b-a)$，使得当$\\left|\\frac{h}{\\delta}\\right|<1$ 时，有$$ \\left|\\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} - k^2f(x)\\right| <\\epsilon $$6.(20分) 计算 $\\int_{0}^{1} \\frac{\\ln(1+x)}{x} dx$。

北京邮电大学2006——2007学年第二学期《工科数学分析》期末考试试题(A 卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若∑∞=-1)1(n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1-=x 处 (填发散，条件收敛，绝对收敛或收敛性不确定)。

解答：绝对收敛2.级数=+++∑∞=1)1()1(1n n n n n 。

解答：13.设4||,3||==→→b a ，且→→⊥b a ，则=-⨯+→→→→|)()(|b a b a 。

解答：244.设曲线32,,t z t y t x =-==在某点P 处的切线与平面42=++z y x 平行，则点P 的坐标为 。

解答：)1,1,1(-或)271,91,31(-5.设),(y x f z =是由方程1cos cos cos 222=++z y x 所确定的隐函数，则全微分=z d 。

解答：y zyx z x d 2sin 2sin d 2sin 2sin --6.交换二次积分的次序=+⎰⎰⎰⎰-122102202d ),(d d ),(d y y x y x f y x y x f y。

解答：⎰⎰-22012d ),(x xy y x f dx7. 设L 为沿上半圆周0,222≥=+y a y x ，从点)0,(a 到点)0,(a -的一段曲线，则=+++++⎰y x a x y x x x a y Ld )]ln(2[2d 22222 。

解答：22a π8. 设 x xxyy F yb ya d sin )(⎰++=，则=)('y F 。

解答：)(sin 11)(sin 11y a y y a y yb y y b y+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++ 9.向量场z y x 333++=在点)1,0,1(P 处的散度=div 。

解答：610. 设)(C 是122=+y x 在第一象限内的一段，则⎰+)(d )1(C S y = 。

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。

南京航空航天大学6.锥面z =被圆柱面222x y x +=截下的曲面的面积为 .二、选择题：（每题3分）1．设曲线:C x t =，22t y =，33t z =（01t ≤≤）上物质的线密度为(,,)x y z ρm =（ ）(A) 1⎰；(B) 1t ⎰；(C) ⎰；(D) 0⎰.2. C 为任意一条包含原点的正向光滑简单闭曲线，则224Cxdy ydxx y -=+⎰（ ）(A) 4π； (B) 0； (C) 2π； (D) π．3．若1()x t 和2()x t 是二阶齐次线性方程2122()()0d x dxa t a t x dt dt++=的两个特解,则1122()()()x t C x t C x t =+ (其中12,C C 为任意常数)( )(A)是该方程的通解； (B) 是该方程的特解；(C) 是该方程的解； (D) 不一定是该方程的解.4．下列结论中不正确的是（ ）(A) 三元方程ln 1xz xy z y e -+=在点(0,1,1)的一个邻域中可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =； (B) 设S 为球面2221x y z ++=的外侧 ,则0Szdx dy Λ=⎰⎰；(C) 设)(t X 和*()X t 是齐次线性方程组d ()d xx A t t=在(,)a b 内的二个基解矩阵，其中()()(),()(,)ij ij n n A t a t a t C a b ⨯=∈，则存在n 阶非奇异常数矩阵B ，使得*()X t ()(,)X t B t a b =∈；(D) 若(,)f x y 在区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足Lipschitz 条件，即对G 内任意两点1(,)x y ，2(,)x y ，有1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-（L 为常数），则(,)f x y 在G 内连续.三、计算题（第1题7分，其余每题9分）1．设(,)z z x y =是由方程z e x y z =++确定的隐函数, 求z x ∂∂，z y ∂∂，2zx y∂∂∂ .2．计算曲线积分(s i n2())(c o s )x x CI e y x y dx e y x dy =-++-⎰，其中C 为曲线y =上从(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.3．计算2d d d d d d SI y y z x z x z x y =Λ-Λ+Λ⎰⎰，其中S为曲面z =被平面1z =，2z =所截部分的外侧．四、求曲面20x z e y --=在点P （1，1，2）处的法线方程，并求函数223161218x y z u =+++在点P （1，1，2）处沿该法线与z 轴正向夹角为钝角的方向的方向导数.五、求线性微分方程组112212,23dx x x dtdx x xdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 满足初始条件1(0)0x =，2(0)1x =-的特解．六、设函数()f r 具有二阶连续导数，而z f =满足方程2222221,z z z z x y x y x x∂∂∂+-+=+∂∂∂ 求函数f 的表达式．七、若C 是平面cos cos cos 1x y z αβγ++=上的闭曲线，它所围成区域的面积为S ，证明：1cos cos cos 2Cdxdy dz S xyzαβγ=⎰, 其中C 的方向与平面法向量符合右手螺旋法则．。

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、 填空题1. 0"'()6f x ； 2．2()b a xf x dx π⎰； 3．22ln(1)x x +；4．1, -3, -24 , 20XXXX ； 5．0， 1 (,1)p <--∞-； 6．2211, .11(9)x x ++- 二、 单项选择题 1. D 2. A 3. B ，4. A三、 计算题1.解：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20ln 2cos ln 3limx x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+……… (7分)2解：(2211111211x x x x dx dx x x dx x x +-+-==-++-⎰⎰…………(2分)其中21x dx - 22222211111x x dx x x x dx dx x x =-=----- 于是21x dx -22111221x dx x =--22111ln(1)22x x x x C =-+-+ ………………………… (6分)可得22211111ln(1)22211x x x dx x x x x C x x +-=---+++-……… (7分)3解：2222cos cos 1()1()x xdx dx f x f x ππππ--=-++-⎰⎰……………………………………… (2分)2222cos ()cos 11()1()x f x xdx dx f x f x ππππ--==++⎰⎰…………………………… (4分)故2222cos 11cos 1()22x dx xdx f x ππππ--==+⎰⎰…………………………………… (7分)4解：令'y p =，则''dp dp dy dpy p dx dy dx dy===…………………………… (2分) 原方程变为：20dp ypp dy +=，可得1, ln ln C dp dy p p y y=-= 故'2112,yy C y C x C ==+………………………………………………… (5分) 代入条件'211(0)11,(0)22y C y C =⇒==⇒=， 故特解为21y x =+ …………………………………………… (7分)五、1解：2332),V x h h x =-⋅=，故21()(12)4V x x x =-………………… (3分)211'()(12)(12)(12)(16)44V x x x x x x =---=--，''()26V x x =-+………… (5分) 1111'0,,''()0,''()02626V x V V =⇒=><，故当16x =时，容积最大。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。