北京大学数学分析I2015-2016期中试题

1A北京市2015年第一学期期中检测试卷高三数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合{}2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}|23x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x ≤<2. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 3. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在同一坐标系中画出函数log a y x =，xy a =，y x a =+的图象，可能正确的是 ( )5．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为 （ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．486．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则a b += ( )A B C ．D ．107．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5 D ．4[,5]58． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α， 则sin α的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 以点（2，1-）为圆心且与直线5x y +=相切的圆的方程是 ．10.周期为2的函数()f x 在[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

2015-2016学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）在复平面内复数z＝i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x3．（5分）若复数z＝a﹣1+5i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣14．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）5．（5分）+1＞0是a＜﹣1成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度7．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣19二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．10．（5分）命题“若x＜﹣1，则|x|＞1”的逆否命题为．11．（5分）设集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围是．12．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是．三.解答题（本大题共3小题，共40分，在答题卡上写出必要的解答过程）13．（13分）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．14．（13分）已知函数：f（x）＝﹣x3+3x﹣2，x∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．15．（14分）若数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N+），记f（n）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）．（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜测f（n）＝；（3）用数学归纳法证明第（2）问猜测出的结论．四.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16．（5分）观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…照此规律，第n个等式为．17．（5分）已知函数，那么＝．18．（5分）函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数 f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内的极小值点的个数为 个．19．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，问完成五项工作后获得的效益值总和最大是 ．五.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程 20．（8分）已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：不可能是等差数列． 21．（10分）已知函数（a ，b 为常数）且方程f （x ）﹣x +12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）设k ＞1，解关于x 的不等式；．22．（12分）已知函数，其中f （x ）＝（1+）e x ，其中a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数f （x ）的零点和极值点；（Ⅱ）当a ＞0时，求y ＝f （x ）在区间（﹣∞，0）上的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）在复平面内复数z＝i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝i（1﹣2i）＝2+i，∴复数z＝i（1﹣2i）对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．（5分）函数y＝x2cos x的导数为（）A．y′＝2x cos x﹣x2sin x B．y′＝2x cos x+x2sin xC．y′＝x2cos x﹣2x sin x D．y′＝x cos x﹣x2sin x【解答】解：y′＝（x2）′cos x+x2（cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x故选：A．3．（5分）若复数z＝a﹣1+5i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵z＝a﹣1+5i为纯虚数，∴a＝1，∴＝＝i．故选：A．4．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．5．（5分）+1＞0是a＜﹣1成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＞﹣1，得：＞0，解得：a＞0或a＜﹣1，故是a＜﹣1成立的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．7．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）＝3x2﹣3b＝0，得x2＝b，显然b＞0，∴x＝±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣19【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝0，x＝±1，故函数f（x）＝x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）＝﹣17，f（0）＝1，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面中所对应的点到原点的距离为．故答案为：．10．（5分）命题“若x＜﹣1，则|x|＞1”的逆否命题为若|x|≤1，则x≥﹣1．【解答】解：命题的条件为“x＜﹣1”，结论为“|x|＞1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．故逆否命题：若|x|≤1，则x≥﹣1．故答案为：若|x|≤1，则x≥﹣111．（5分）设集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N＝∅，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x＜a}，M∩N＝∅，∴a≤﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．12．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是[，+∞）．【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+m；∵f（x）在R上是单调函数；∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；∴△＝4﹣12m≤0；∴m≥，∴实数m的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．三.解答题（本大题共3小题，共40分，在答题卡上写出必要的解答过程）13．（13分）已知p：x2+mx+1＝0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．当q为真命题时，△＝42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，①若p真q假，∴，∴m≥3．②若p假q真，∴，∴1＜m≤2．综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．（13分）已知函数：f（x）＝﹣x3+3x﹣2，x∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（1）f（x）＝﹣x3+3x﹣2，f′（x）＝﹣3x2+3，故f（1）＝0，f′（1）＝0，故切线方程是：y＝0；（2）f′（x）＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），列表如下：∴f（x）的递减区间是：（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递增区间是（﹣1，1），f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）极大值＝f（1）＝0．15．（14分）若数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N+），记f（n）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）．（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜测f（n）＝f（n）＝，（n∈N*）；（3）用数学归纳法证明第（2）问猜测出的结论．【解答】解：（1）a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝．∴f（1）＝1﹣a1＝，f（2）＝（1﹣）（1﹣）＝，f（3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）猜想：f（n）＝，（n∈N*）（3）证明如下：①当n＝1时，结论显然成立，②假设n＝k时，结论成立，即f（k）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）＝，则当n＝k+1时，f（k+1）＝（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）（1﹣a k+1）＝f（k）（1﹣a k+1）＝•（1﹣）＝•（1+）（1﹣）＝••＝＝．∴当n＝k+1时，结论成立，由①②可知，猜想对任意的正整数都成立，故答案为：f（n）＝，（n∈N*）四.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16．（5分）观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2．【解答】解：观察下列等式1＝12+3+4＝93+4+5+6+7＝254+5+6+7+8+9+10＝49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）217．（5分）已知函数，那么＝．【解答】解：∵，∴f（）＝∴f（x）+f（）＝1∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，f（4）+f（）＝1，f（1）＝∴＝故答案为：18．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点的个数为1个．【解答】解：因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满足导函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的极小值点只有一个．故答案为：1．19．（5分）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，问完成五项工作后获得的效益值总和最大是75．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为12+25+14+10+15＝76，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，丙只能承担第三项工作，则丁不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第二项工作，则甲承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为：13+25+14+12+10＝74；乙若不承担第二项工作，则乙承担第一项工作，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为：24+12+14+15+10＝75．∴完成五项工作后获得的效益值总和最大是75．故答案为：75．五.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程20．（8分）已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列．【解答】证明（反证法）：假设成等差数列，则又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，∴a﹣b＝b﹣c≠0．由以上两式，可知．．两边都乘以ac，得a＝c．这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，所以数列不可能成等差数列21．（10分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．【解答】解：（1）将x1＝3，x2＝4分别代入方程，得，解得，所以f（x）＝．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k＝2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．22．（12分）已知函数，其中f（x）＝（1+）e x，其中a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的零点和极值点；（Ⅱ）当a＞0时，求y＝f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，在区间（﹣∞，﹣]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）a＝1时，f（x）＝（1+）e x，令f（x）＝0，∵e x＞0，∴1+＝0，解得x＝﹣1．f′（x）＝e x＝e x，令f′（x）＝0，即x2+x﹣1＝0，解得x ＝．可得：x＝为函数f（x）的极大值点，x＝为函数f（x）的极小值点．（II）a＞0时，f′（x）＝e x＝e x．令u（x）＝x2+ax﹣a＝0，△＝a2+4a＞0，解得：x＝，令x1＝，x2＝．则x1＜0，x2＞0．∴函数f（x）在（﹣∞，x1）内单调递增，在（x1，0）内单调递减．（III）a＞0时，x1＝＜﹣．∴由（II）可得：函数f（x）在（﹣∞，x1）内单调递增，在内单调递减．x→﹣∞时，f（x）→0+，＝﹣＜0．因此：x＝﹣时，函数f（x）取得极小值即最小值为＝﹣．。

北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ， 其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．8R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）.9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）FEDCBA已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z . 所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ， 所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+.因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C =+- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分） 解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为1(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分 (Ⅱ)由已知得231()e (1)2x a f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x x a f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-． 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ，以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同；（2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-.易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。

2015—2016学年海淀高三期中数学（理）试卷分析北京市海淀区高三年级第一学期数学期中考试结束，这是高三开学以来第一次全区的同一测验，也是考生自高三总复习以来的第一次大考，是对以往复习成果的一次很好的检验；同时，试卷的命制也体现出了高考改革的最新思路，对考生今后的备考有一定的参考价值。

所以，一次认真的试卷分析和考评是至关重要的。

一、试卷整体内容分析纵观整篇试卷，结构稳定、难度略有提升、考点全面、主次分明，既体现了对核心数学思想和知识方法的考查，也兼顾了很多细节的问题的考核；有基础的内容检测，也有数学能力和思维方法的检验。

1、知识点内容覆盖全面，分值分配合理本次考试中，以三个重点模块即"集合与函数"、"数列"及"三角与向量"为主，其具分值分布如下：本次考核中，正如王老师在鼎级班课程中提到的一样，函数部分分值较高，体现出了函数部分知识在高考中的重要地位，同时，三角部分问题也有很多和函数图象变化相关。

从具体的知识点出发，试卷覆盖了不同模块几乎所有的知识内容，如函数模块，覆盖了集合、函数定义、基本初等函数、函数图象变化、函数与方程、函数与不等式、定积分、利用导数分析函数性态多个核心知识内容，是对考生这段时期复习全面的考核。

另外，一些细小的知识也结合主干知识进行了考核，如试卷第6题，结合"函数图象与不等式"考核了简易逻辑中的充分必要条件的知识。

2、难度分配趋近于高考，总体难度略有提升本次考试的难度分配合理，类似于近几年的高考难度分配。

中档题目比例有所提升，且灵活度更高，考查考生对于知识的掌握而非单纯对于固定题目的处理能力，这样在中难题目上提高了对考生的区分度。

这也是导致这次考试难度略有提升的原因，很多考生会有"看着熟悉做着难"的感叹。

这也是顺应新的高考变化的，以变化求难度。

难题部分依旧出现在8、14、20这三个各自类型题的压轴问题，都是对考生能力和思维的综合考核。

2015-2016学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣32．下列各对数中，相等的一对数是（）A．﹣23与﹣32B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|3．下列运算正确的是（）A．2x2﹣x2=2 B．2a2﹣a=a C．﹣a2﹣a2=﹣2a2D．2m2+3m3=5m54．多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是（）A．2 B．3 C．5 D．105．下列结论不正确的是（）A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=bC．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则6．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数是（）A．2 B．﹣4 C．±3 D．2或﹣47．下列方程中，解为x=4的方程是（）A． B．4x=1 C．x﹣1=4 D．8．己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞09．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣1310．某企业2014年的生产总值为a万元，预计2015年的生产总值比去年增长20%，那么该企业这两年的生产总值之和是（）A．20%a万元B．（20%+a）万元C．（1+20%）a万元D．[a+（1+20%）a]万元二、填空题（本大题共8道小题，每空2分，共20分）11．若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作元．12．比较大小：﹣﹣（填“＞”或“＜”）13．单项式﹣2xy3的系数是，次数是．14．用四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为．15．若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+n的值为．16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则+2cd= ．17．若方程kx|k+1|+2=0是关于x的一元一次方程，则k= ．18．有一组数，．请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第6个数是，第n个数是．三.计算题（本大题共4道小题，每小题16分，共16分）19．（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（3）（4）．四.化简求值题（本大题共2道小题，每小题4分，共8分）20．3x2+1﹣2x﹣5﹣3x﹣x2．21．先化简，再求值：（9ab2﹣3）+a2b+3﹣2（ab2+1），其中a=﹣2，b=3．五.解方程（本大题共2道小题，每小题8分，共8分）22．解方程：（1）2（x﹣3）﹣5（3﹣x）=21（2）﹣=4．六．解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）23．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，（1）用“＜”连接0，a，b，﹣1；（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．24．（1）已知代数式3x2﹣4x的值为6，求代数式6x2﹣8x﹣9的值；（2）已知，求代数式的值．25．已知﹣x1﹣m y2与是同类项，求（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n的值．七．附加题26．（2015秋•北京校级期中）填空题：（请将结果直接写在横线上）现定义运算“△”，对于两个有理数a，b，都有a△b=ab﹣（a+b），例如：（﹣2）△1=（﹣2）×1﹣（﹣2+1）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，则5△1= ；（m﹣2）△1= ；m△（n△1）= ．27．（2015秋•北京校级期中）探究题：下图是某月的月历．（1）如图1，带阴影的方框中的9个数之和是；（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，则这9个数之和是；（3）如果将带阴影的方框移至9个数之和为198的位置，求这9个数中最小的数．28．（2015秋•北京校级期中）阅读理解题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ★☆x ﹣6 2 …（1）可求得x= ，第2015个格子中的数为；（2）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2015？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（3）若取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★| +|9﹣☆|+|☆﹣★|得到．其结果为；若取前19格子中的任意两个数，记作s、t，且s≥t，求所有的|s﹣t|的和．2015-2016学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．【解答】解：﹣的相反数是．故选：A．【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列各对数中，相等的一对数是（）A．﹣23与﹣32B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【解答】解：A、﹣23=﹣8，﹣32=9，﹣8≠9，故错误；B、（﹣2）3=﹣8，﹣23=﹣8，﹣8=﹣8，故正确；C、（﹣3）2=9，﹣32=﹣9，9≠﹣9，故错误；D、﹣（﹣2）=2，﹣|﹣2|=﹣2，﹣2≠2，故错误；故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．3．下列运算正确的是（）A．2x2﹣x2=2 B．2a2﹣a=a C．﹣a2﹣a2=﹣2a2D．2m2+3m3=5m5【考点】合并同类项．【分析】依据合并同类项法则进行计算即可．【解答】解：A、2x2﹣x2=x2，故A错误；B、不是同类项，不能合并，故B错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．4．多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是（）A．2 B．3 C．5 D．10【考点】多项式．【分析】由于多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，由此可以确定多项式的次数．【解答】解：多项式x3y2﹣5x2y+6xy﹣3的次数是5，故选C【点评】此题考查的是多项式问题，关键是根据多项式有关定义的理解分析．5．下列结论不正确的是（）A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=bC．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则【考点】等式的性质．【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．【解答】解：A、a+c=b+c，两边同时减去c，则a=b，故选项正确；B、当c=0时，a=b不一定成立，故选项错误；C、=，两边同时乘以c，则a=b，故选项正确；D、若ax=b（a≠0），两边同时除以a得x=，故选项正确．故选B．【点评】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．6．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数是（）A．2 B．﹣4 C．±3 D．2或﹣4【考点】数轴．【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点有两个，分别位于与表示数﹣1的点的左右两边．【解答】解：在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数有两个：﹣1﹣3=﹣4；﹣1+3=2．故选：D．【点评】本题考查的是数轴，注意此类题应有两种情况，再根据“左减右加”的规律计算．7．下列方程中，解为x=4的方程是（）A． B．4x=1 C．x﹣1=4 D．【考点】方程的解．【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【解答】解：A、把x=4代入，左边=2，左边=右边，因而x=4是方程的解．B、把x=4代入，左边=16，左边≠右边；因而x=4不是方程的解；C、把x=4代入得到，左边=3，左边≠右边，因而x=4不是方程的解；D、把x=4，代入方程，左边=，左边≠右边，因而x=4不是方程的解；故选：A．【点评】本题考查了方程的解，把方程的解代入原方程进行检验是解题的关键．8．己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＞0【考点】有理数大小比较；数轴；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法．【分析】首先得到b＜a＜0，再结合有理数的运算法则进行判断．【解答】解：根据数轴，得b＜a＜0．A、正确；B、两个数相乘，同号得正，错误；C、较小的数减去较大的数，差是负数，错误；D、同号的两个数相加，取原来的符号，错误．故选A．【点评】根据数轴观察两个数的大小：右边的点表示的数，总比左边的大．本题用字母表示了数，表面上增加了难度，只要学生掌握了规律，很容易解答．9．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣13【考点】整式的加减．【专题】计算题．【分析】由题意可得被减式为3x﹣2，减式为x2﹣2x+1，根据差=被减式﹣减式可得出这个多项式．【解答】解：由题意得：这个多项式=3x﹣2﹣（x2﹣2x+1），=3x﹣2﹣x2+2x﹣1，=﹣x2+5x﹣3．故选C．【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心．10．某企业2014年的生产总值为a万元，预计2015年的生产总值比去年增长20%，那么该企业这两年的生产总值之和是（）A．20%a万元B．（20%+a）万元C．（1+20%）a万元D．[a+（1+20%）a]万元【考点】列代数式．【分析】根据题意可得，2015年的生产总值=（1+20%）×2014年的生产总值，在加14年即可求解．【解答】解：由题意得，2015年的生产总值=（1+20%）a，两年的生产总值之和是：a+（1+20%）故选D．【点评】本题考查了列代数式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．二、填空题（本大题共8道小题，每空2分，共20分）11．若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作﹣800 元．【考点】正数和负数．【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，盈利记为正，可得亏损的表示方法．【解答】解：若赢利2000元记作+2000元，则亏损800元记作﹣800元，故答案为：﹣800．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．12．比较大小：﹣＞﹣（填“＞”或“＜”）【考点】有理数大小比较．【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵＜，∴﹣＞﹣；故答案为：＞．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．13．单项式﹣2xy3的系数是﹣2 ，次数是 4 ．【考点】单项式．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：单项式﹣2xy3的系数为﹣2，次数为4次．故答案为：﹣2，4．【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．14．用四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为0.129 ．【考点】近似数和有效数字．【分析】把万分位上的数字7进行四舍五入即可．【解答】解：0.12874≈0.129四舍五入法求0.12874精确到千分位的近似数为0.129．故答案为：0.129．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．15．若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+n的值为 1 ．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，m﹣3=0，n+2=0，解得m=3，n=﹣2，所以，m+n=3+（﹣2）=1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则+2cd= 2 ．【考点】代数式求值；相反数；倒数．【专题】计算题．【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b与cd的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，则原式=2．故答案为：2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若方程kx|k+1|+2=0是关于x的一元一次方程，则k= ﹣2 ．【考点】一元一次方程的定义．【专题】计算题．【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于k的方程，继而可求出k的值．【解答】解：根据一元一次方程的特点可得：，解得：k=﹣2．故填：﹣2．【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．18．有一组数，．请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第6个数是，第n个数是（﹣1）n．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】分子是从1开始连续的自然数，分母可以分成两个连续奇数的乘积，奇数位置为负，偶数位置为正，由此得出第n个数是（﹣1）n，由此代入求得答案即可．【解答】解：第6个数是=，第n个数是（﹣1）n．故答案为：，（﹣1）n．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题．三.计算题（本大题共4道小题，每小题16分，共16分）19．（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（3）（4）．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）先去括号，再把正数与正数相加，负数与负数相加，然后进行加法运算；（2）先把除法运算化为乘法运算，再计算括号内的减法运算，然后约分即可；（3）利用乘法的分配律计算；（4）先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后进行加减运算．【解答】解：（1）原式=﹣20+3+5﹣7=﹣27+8=﹣19；（2）原式=﹣×（﹣）×=；（3）原式=﹣28+33﹣6=﹣1；（4）原式=﹣25×+×（﹣8）=﹣+﹣6=﹣．【点评】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．四.化简求值题（本大题共2道小题，每小题4分，共8分）20．3x2+1﹣2x﹣5﹣3x﹣x2．【考点】合并同类项．【分析】首先找出其中的同类项，然后合并同类项即可．【解答】解：原式=3x2﹣x2﹣2x﹣3x﹣5+1=2x2﹣5x﹣4．【点评】本题主要考查的是合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．21．先化简，再求值：（9ab2﹣3）+a2b+3﹣2（ab2+1），其中a=﹣2，b=3．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3ab2﹣1+a2b+3﹣2ab2﹣2=a2b+ab2+2，当a=﹣2，b=3时，原式=12﹣18+2=﹣4．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五.解方程（本大题共2道小题，每小题8分，共8分）22．解方程：（1）2（x﹣3）﹣5（3﹣x）=21（2）﹣=4．【考点】解一元一次方程．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：（1）去括号 2x﹣6﹣15+5x=21，移项得，2x+5x=21+6+15，合并同类项得，7x=42，系数化1得，x=6；（2）去分母得，2（2﹣x）﹣9（x﹣1）=24，去括号得，4﹣2x﹣9x+9=24，移项得，﹣2x﹣9x=24﹣4﹣9，合并同类项得，﹣11x=11，系数化1得，x=﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键．六．解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）23．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，（1）用“＜”连接0，a，b，﹣1；（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．【考点】数轴；绝对值；有理数大小比较；整式的加减．【专题】实数；整式．【分析】（1）根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，比较出0，a，b，﹣1的大小关系，并用“＜”连接0，a，b，﹣1即可．（2）首先根据图示，可得a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，所以|a|=﹣a，|a+b|=﹣（a+b），|b﹣a|=b﹣a；然后根据整数的加减的运算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）根据图示，可得a＜﹣1＜0＜b．（2）∵a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，∴|a|=﹣a，|a+b|=﹣（a+b），|b﹣a|=b﹣a，∴|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|=﹣a﹣（a+b）﹣2（b﹣a）=﹣a﹣a﹣b﹣2b+2a=﹣3b【点评】（1）此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（3）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（4）此题还考查了整式的加减运算，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．24．（1）已知代数式3x2﹣4x的值为6，求代数式6x2﹣8x﹣9的值；（2）已知，求代数式的值．【考点】代数式求值．【分析】（1）将原式化为关于3x2﹣4x的式子，进而求出答案；（2）首先得出=，进而代入原式求出答案．【解答】解：（1）∵3x2﹣4x=6，∴6x2﹣8x﹣9=2（3x2﹣4x）﹣9=2×6﹣9=3；（2）∵，∴=，∴=2×8+4×=16．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确利用整体思想代入原式求解是解题关键．25．已知﹣x1﹣m y2与是同类项，求（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n的值．【考点】整式的加减—化简求值；同类项．【分析】先根据同类项的意义求出m、n的值，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：∵由已知得：1﹣m=5，2=n，∴m=﹣4，n=2，∴（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（2n﹣m）2+m+n=（m﹣2n）2﹣5（m+n）﹣2（m﹣2n）2+m+n=﹣（m﹣2n）2﹣4（m+n）=﹣（﹣4﹣2×2）2﹣4（﹣4+2）=﹣56．【点评】本题考查了整式的加减和求值，同类项的应用，解此题的关键是能根据整式的加减法则进行化简，难度不是很大．七．附加题26．（2015秋•北京校级期中）填空题：（请将结果直接写在横线上）现定义运算“△”，对于两个有理数a，b，都有a△b=ab﹣（a+b），例如：（﹣2）△1=（﹣2）×1﹣（﹣2+1）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，则5△1= ﹣1 ；（m﹣2）△1= ﹣1 ；m△（n△1）=﹣2m+1 ．【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义．【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再依次计算即可．【解答】解：∵a△b=ab﹣（a+b），∴5△1=5﹣（5+1）=5﹣6=﹣1；（m﹣2）△1=（m﹣2）﹣（m﹣2+1）=﹣1；m△（n△1）=m△[n﹣（n+1）]=m△（﹣1）=﹣m﹣（m+1）=﹣2m﹣1．故答案为：﹣1，﹣1，﹣2m+1．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．27．（2015秋•北京校级期中）探究题：下图是某月的月历．（1）如图1，带阴影的方框中的9个数之和是99 ；（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，则这9个数之和是144 ；（3）如果将带阴影的方框移至9个数之和为198的位置，求这9个数中最小的数．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）将带阴影的方框中的9个数相加即可；（2）将图2中的9个数相加即可；（3）设中间的数为x，表示出其余的数，根据9个数之和为198列出方程，求解即可．【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19=99；（2）8+9+10+15+16+17+22+23+24=144；（3）设中心数为x，则9个数之和为（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，根据题意，得9x=198，解得x=22，故最小数为x﹣8=14．答：这9个数中最小的数为14．故答案为99；144．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．28．（2015秋•北京校级期中）阅读理解题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ★☆x ﹣6 2 …（1）可求得x= 9 ，第2015个格子中的数为﹣6 ；（2）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2015？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（3）若取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|☆﹣★|得到．其结果为30 ；若取前19格子中的任意两个数，记作s、t，且s≥t，求所有的|s﹣t|的和．【考点】规律型：数字的变化类；绝对值．【专题】阅读型．【分析】（1）根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得出每三个数字一个循环，依次读下去，得x=9，★=﹣6，☆=2，2015÷3=671余2，故2015个数为﹣6．（2）计算三个格子和为5，而2015能被5整除，因此，n个格子中所填整数之和可以为2015；（3）通过分类讨论求出所有a、b的可能情况，求出结果即可，当取前19个格子中数字，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次，通过分类讨论求出所有s、t的可能情况，求出结果即可．【解答】解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴表格中从左向右每三个数字一个循环，∴x=9，★=﹣6，☆=2，∵2015÷3=671…2，∴第2015格子中的数为：﹣6．故答案为：9，﹣6．（2）能．∵9+（﹣6）+2=5，2015÷5=403，∴n=403×3=1209，答：前n个格子中所填整数之能为2015，n等于1209．（3）∵取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|2﹣（﹣6）|=30．∵由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6=1212．答：|9﹣★|+|9﹣☆|+|☆﹣★|结果为30，所有的|s﹣t|的和为1212．【点评】题目考查了数字的变化规律，通过表格中数字的变化，体会数字变化为学生们带来的快乐．题目整体较难，特别是（3）中的总结性求和，更能体现学生的解决问题能力．。

10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义

北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=04．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣46．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为rad．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题考点：复合命题的真假；四种命题；命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据全称命题的否定是特称命题判断A是否正确；根据充分、必要条件的判定方法判断B是否正确；根据逆否命题的定义判断C是否正确；利用复合命题的真值表判定D是否正确．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴A正确；∵x=1⇒x2﹣3x+2=0，当x2﹣3x+2=0时，x=1不确定，根据充分必要条件的判定，B正确；根据逆否命题的定义，是逆命题的否命题，∴C正确；∵p∧q为假命题根据复合命题真值表，P，q至少一假，∴D错误；故选D点评：本题考查命题的真假判断及复合命题的真假判断，特别要注意全称命题与特称命题互为命题的否定命题．3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数y=x3+1的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解答：解：y′=3x2y′|x=1=3，切点为（﹣1，0）∴曲线y=x3+1在点（﹣1，0）切线方程为y﹣0=3[x﹣（﹣1）]，即3x﹣y+3=0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：向量在向量方向上的投影为cos＜，＞=，代入数值计算即可．解答：解：向量在向量方向上的投影为：cos＜，＞===﹣4故选：D点评：本题考查向量投影的求法，属基础题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解答：解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．点评：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过化简整理，可得g（x）=f（x﹣），由此结合函数图象平移的规律，即可得到本题的答案．解答：解：∵∴g（x）=sin2x==f（x﹣），∵函数y=f（x﹣）的图象是由函数y=f（x）的图象向右平移个单位而得∴为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象右平移个单位故选A点评：本题以三角函数的图象平移，考查了函数图象平移的公式和图象变换等知识，属于基础题．9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理求出BC的值．解答：解：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，即BC==10（﹣）km，故选：C．点评：本题考查三角形内角和定理，正弦定理的应用，求出AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，是解题的关键．10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：∵f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，∴f（x）=﹣1，因为g（x）=f（x）﹣mx﹣2m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+2m的图象有两个交点，函数图象如图，由图得，当0＜m≤时，两函数有两个交点故选：A．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是﹣．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：将已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．解答：解：把sinα+cosα=两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式．将已知的等式两边平方是本题的突破点．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为2rad．考点：弧长公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．解答：解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．故答案为：2．点评：本题主要考察了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由题意函数在时取得最大值，求出ω的范围，根据单调性，确定ω的值．解答：解：由题意又ω＞0，令k=0得．（由已知T＞2π．如k＞0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的单调性，考查逻辑思维能力，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=﹣4．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，可推得函数f（x）是以12为最小正周期的函数，即有f=f（﹣2），再由函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得f（x）图象关于原点对称，由f（2）=4即可得到答案．解答：解：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则函数f（x）是以12为最小正周期的函数，则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则将y=f（x﹣1）的图象左移1个单位，得到y=f（x）的图象，即有f（x）图象关于原点对称，由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．则f=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是（﹣1，]．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．解答：解：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=+k的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，解得，﹣1＜k；当k＞﹣时，解得k无解．综上，可得﹣1＜k．故答案为：（﹣1，﹣]点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，利用向量的运算法则，计算化简即可．（2）利用向量夹角公式计算．（3）利用（2）的结论和数量积运算性质即可得出．解答：解：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，得4﹣4﹣3=61将||=4，||=3，代入，整理得=﹣6（2）cosθ===﹣，又0≤θ≤π，所以θ=．（3）|+|===．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角的范围，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先由向量的运算结合三角函数公式化简为，（1）由公式易求得得周期和对称轴；（2）转化为函数y=的减区间；（3）由x的范围开始逐步求解范围，可得答案．解答：解：由题意可得：=…（4分）（1）由上可知：T==π…（5分）由2x=k解得：对称轴方程为…（7分）（2）f（x）增区间即为的减区间，由≤2x，解得f（x）的单调递增区间为…（10分）（3）∵∴∴∴值域为…（13分）点评：本题为三角函数和向量的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．（10分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？考点：函数最值的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元，可求全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可求出使全程运输成本最小，轮船的多大速度．解答：解：（Ⅰ）由题意得：，即：…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令y'=0，解得x=50，或x=﹣50（舍去）．…（8分）当0＜x＜50时，y'＜0当50＜x＜60时，y'＞0（均值不等式法同样给分）…（10分）因此，函数在x=50处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶．…（12分）点评：本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（I）由于命题“log2g（x）≥1”是假命题，可得log2g（x）＜1，即，利用对数函数和指数函数的单调性即可得出x的取值范围；（II）由于p∧q是真命题，可得p与q都是真命题．由于当x＞1时，g（x）＞0，又p是真命题，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0．由于q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，利用f（﹣1）＞0，可得m的取值范围．解答：解：（I）∵命题“log2g（x）≥1”是假命题，则log2g（x）＜1，即，∴0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2．∴x的取值范围是（1，2）；（II）∵p∧q是真命题，∴p与q都是真命题．当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，又p是真命题，则f（x）＜0．f（1）=﹣（1+2）（1﹣m）＜0，解得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）=2x﹣2＜0．∵q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，∴f（﹣1）=﹣（﹣1+2）（﹣1﹣m）＞0，即m＞﹣1．综上所述：﹣1＜m＜1．点评：本题综合考查了二次函数和对数函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．专题：计算题；综合题；压轴题；开放型；分类讨论．分析：（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，令导数等于零，解方程，跟据g′（x），g（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与的大小关系；（Ⅲ）证法一：假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，解此绝对值不等式，取时，得出矛盾；证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立，转化为求函数的值域，得出矛盾．解答：解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（x）=1．又＞Inx，而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。

北京师大附中2015-2016学年上学期高二年级期中考试数学试卷（文科）第I 卷（模块卷）说明：本试卷分第I 卷（100分）和第II 卷（50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 经过（-1，2）且与直线10x y +-=垂直的直线是（ ）A. 10x y -+=B. 30x y -+=C. 10x y ++=D. 30x y ++= 2. 已知两直线1:(1)3100l a x y ---=，2:(1)30l a x y +++=互相平行，则a =（ ） A. 12- B. 12 C. 1 D. -13. 关于直线,,m n l ，及平面,αβ，下列命题中正确的是（ ）A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB. 若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αC. 若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥D. 若m α⊥，m ∥β，则αβ⊥4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 23B. 13C. 2D. 15. 下列说法中正确的是（ ）A. 在正三棱锥中，斜高大于侧棱B. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥D. 有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6. 长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=AD=2，AA’=1，则它的外接球的体积是（ ）A. 92πB. 36πC. 9πD. 32π 7. 一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后经过圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A. -1B. 1C. 12D. 12- 8. 如图，在正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） A. BC ∥面PDF B. DF ⊥面PAEC. 面PDF ⊥面ABCD. 面PAE ⊥面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1．复数()i 2i -=A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算2.若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1 C．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否【答案】B考点：程序框图4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”是“αβ∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．若“mβ∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，mα⊂，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45+ C．225+ D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PD AB CD AB⊥⊥，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABCPD S∆=1222,2=⨯⨯=,12552PABS∆=⨯⨯=,AC BC=5=，1512PAC PBCS S∆∆==⨯⨯5=,三棱锥表面积表252S=+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6.设{}n a是等差数列. 下列结论中正确的是A．若12a a+>，则23a a+> B．若13a a+<，则12a a+<C．若120a a<<，则213a a a> D．若1a<，则()()2123a a a a-->【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分） 9.在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40 【解析】试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：二项式定理10.已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．【答案】33考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标3)，再把直线的极坐标方程()cos 3sin 6ρθθ=化为直角坐标方程360x y +-=，利用点到直线距离公式136113d +-==+.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 12.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理13.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x =；y =．【答案】11,26- 【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=u u u ru u r (0,3)AC =u u u r ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 考点：平面向量14.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 【答案】（1）2π，（2）21-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x mωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：212--. 试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤Q ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a =或1817.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】(1)证明见解析，（2）55-，（3）43a = 【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF ⊥平面EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥平面EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF 的法向量易得，只需求平面AEB 的法向量，设平面AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO BE ⊥，要想BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用向量、BE OC u u r u u r的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,03)A a ，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)E a B a AE a a -=-u u r ，(2,233,0)EB a a =--u u r，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =u u r，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =u u r ，2,-30,3n AE ax a x ⊥==u u r u u r，2,(2)(233)0,1n EB a x a y y ⊥-+-==-u u ru u r，则2n =u u r(3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值12121215cos ,55n n n n n n ⋅〈〉===-⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r ，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为55-. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,EB a =-u u r 233,0)a -，又(2,233,0)OC a =--u u r，22(2)(233)0BE OC a a ⋅=--+-=u u ru u r，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题13分）已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 19.（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠Q求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出0y =Q （0，±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y ab a b +=>>过点()01P ，且离心率为2，2211,1,b b==222c e a=22221112a b a a -==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n Q ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n ==-，(,0)1mM n∴-； 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C） (-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l 0的方程为y ﹣4=k （x ﹣4），即kx ﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C 到直线l 0的距离d==1，平方并整理可得3k 2﹣8k+3=0，解得k=， ∵sin ∠MPC===，∴cos ∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin 2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根 ．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p 进行求解即可．【解答】解：∵p ：存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意， ∴非p 形式的命题是：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p ：不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ；q ：0＜a ＜1．则p 是q 必要 （充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a 的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m 当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。

2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）复数z=1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．（4分）下列导数运算错误的是（）A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1B．（cosx）′=﹣sinx C．（xlnx）′=1+lnx D．（2x）′=2x ln2 3．（4分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）=x（2﹣x）e﹣x，则下列关系一定成立的是（）A．f（2）＞0 B．f（0）＞f（1）C．f（2）＜f（1）D．f（2）＞f（3）5．（4分）已知两个命题：p：“若复数z1，z2满足z1﹣z2＞0，则z1＞z2．”；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”其真假情况是（）A．p真q假B．p假q假C．p假q真D．p真q真6．（4分）若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）A．＞v2B．＜v2C．=v2D．不能确定7．（4分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）①k的取值范围是（0，）．②＜k＜．③当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负．以上结论中所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③8．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f （x）的图象只可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 9．（4分）计算=．10．（4分）（x﹣3）dx=．11．（4分）已知f（x）=，则f′（x）=．12．（4分）方程（x﹣1）e x=1的解的个数为．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x=时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．14．（10分）如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC，AC=2DE．（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD；（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证，由已知AB⊥BC，只需证，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）证明：假设，又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，所以，又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与矛盾，所以假设错误，原结论正确．15．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围．16．（8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A={a1，a2，…a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．，．问题2：已知数集A={a1，a2，…a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．17．（10分）已知函数f（x）=（x＞0），对于正数x1，x2，…，x n（n∈N+），记S n=x1+x2+…+x n，如图，由点（0，0），（x i，0），（x i，f（x i）），（0，f（x i））构成的矩形的周长为C i（i=1，2，…，n），都满足C i=4S i（i=1，2，…，n）．（Ⅰ）求x1；（Ⅱ）猜想x n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）复数z=1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【解答】解：复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．故选：A．2．（4分）下列导数运算错误的是（）A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1B．（cosx）′=﹣sinx C．（xlnx）′=1+lnx D．（2x）′=2x ln2【解答】解：对于A：（x﹣2）′=﹣2x﹣3，故错误，对于B，（cosx）′=﹣sinx，故正确，对于C（xlnx）′=1+lnx，故正确，对于D，（2x）′=2x ln2，故正确，故选：A．3．（4分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，故f（x）的极大值点的个数为1个，故选：B．4．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）=x（2﹣x）e﹣x，则下列关系一定成立的是（）A．f（2）＞0 B．f（0）＞f（1）C．f（2）＜f（1）D．f（2）＞f（3）【解答】解：当f′（x）=x（2﹣x）e﹣x＞0，解得0＜x＜2，故f（x）单调递增，当f′（x）=x（2﹣x）e﹣x＜0，解得x＜或x＞2，故f（x）单调递减，∴f（2）＞f（3）故选：D．5．（4分）已知两个命题：p：“若复数z1，z2满足z1﹣z2＞0，则z1＞z2．”；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”其真假情况是（）A．p真q假B．p假q假C．p假q真D．p真q真【解答】解：p：取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用复数相等的定义可知：是真命题．其真假情况是p假q真．故选：C．6．（4分）若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）A．＞v2B．＜v2C．=v2D．不能确定【解答】解：平均速度为===2g，∵s（t）=，∴s′（t）=gt，t=2的瞬时速度为v2，∴v2=s′（2）=g×2=2g，∴=v2故选：C．7．（4分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）①k的取值范围是（0，）．②＜k＜．③当x∈（x 1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负．以上结论中所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③【解答】解：令f（x）=kx﹣lnx，则f′（x）=k﹣，由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，∴f（）=1﹣＜0，则0，故①正确；且有，∴，故②错误；当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．∴所有正确结论的序号是①③．故选：C．8．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f （x）的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；再由导函数的定义域为R，而排除选项C；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 9．（4分）计算=2﹣i．【解答】解：原式==﹣i+2，故答案为：2﹣i．10．（4分）（x﹣3）dx=﹣4．【解答】解：（x﹣3）dx=（x2﹣3x）=﹣4．故答案为：﹣4．11．（4分）已知f（x）=，则f′（x）=．【解答】解：f（x）==1+∴f′（x）=（1+）′=﹣故答案为：．12．（4分）方程（x﹣1）e x=1的解的个数为1．【解答】解：∵（x﹣1）e x=1，∴x﹣1=e﹣x，作函数y=x﹣1与y=e﹣x的图象如下，，∵函数的图象的交点有一个，∴方程（x﹣1）e x=1的解的个数为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为6；当x=3时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）6，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：f'（x）=3ax2+2bx+c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）由已知表格可得解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f'（x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣3）（x+1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由f'（x）＜0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为f（x）在（m，m+2）上单调递减，所以仅需m+2≤﹣1或者m≥3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以m的取值范为m≥3或m≤﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）14．（10分）如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC，AC=2DE．（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD；（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证AB⊥平面BCD，由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，所以DC∥AE，又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，所以假设错误，原结论正确．【解答】（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证AB⊥平面BCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，所以DC∥AE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以假设错误，原结论正确．故答案为AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DC∥AE；AC=2DE．15．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题12分）（Ⅰ）解：，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）因为f（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），令g'（x ）=0，解得x=e 2，则g'（x ），g （x ）的情况如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以g （x ）的最小值为g （e 2）=﹣e ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，依题意只需实数a 满足a ≤﹣e ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）故所求a 的取值范围是（﹣∞，﹣e ﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 解2：当a ≥0时，f'（x ）＞0恒成立，所以函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞） 又因为，所以不符题意，舍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 当a ＜0时，令f'（x ）=0，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化如下表所示：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 所以f （x ）的最大值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣分）所以，依题意只需即可，解得a≤﹣e﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A={a1，a2，…a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．，．问题2：已知数集A={a1，a2，…a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．【解答】解：对于集合中最大的数a4，因为a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4；所以a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1都属于该集合；又因为0≤a1＜1＜3＜a4，所以a4﹣a4＜a4﹣3＜a4﹣1＜a4；所以a1=a4﹣a4=0，a4﹣3=1，a4﹣1=3，故a1=0，a4=4．17．（10分）已知函数f（x）=（x＞0），对于正数x1，x2，…，x n（n∈N+），记S n=x1+x2+…+x n，如图，由点（0，0），（x i，0），（x i，f（x i）），（0，f（x i））构成的矩形的周长为C i（i=1，2，…，n），都满足C i=4S i（i=1，2，…，n）．（Ⅰ）求x1；（Ⅱ）猜想x n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．【解答】（Ⅰ）解：由题意知，（i=1，2，…，n），又因为C i=4S i（i=1，2，…，n），所以（i=1，2，…，n）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令i=1，得，又S1=x1，且x1＞0，故x1=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅱ）解：令i=2，得，又S 2=x1+x2，x1=1，且x2＞0，故；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）令i=3，得，又S 3=x1+x2+x3，x1=1，，且x3＞0，故；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由此猜想，（n∈N）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，x1=1，命题成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②假设n=k时命题成立，即（k∈N+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）则当n=k+1时，，又S k=S k+x k+1，，+1故，由，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即当n=k+1时命题成立．综上所述，对任意自然数n，都有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2015-2016学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各点中，在直线y＝﹣2x+3上的点是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）2．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，2 3．（3分）方程x2＝x的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x1＝1，x2＝0D．x1＝﹣1，x2＝0 4．（3分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大5．（3分）直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10B．2C．10或2D．无法确定6．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣3）2＝b的形式，则b等于（）A．4B．﹣4C．14D．﹣147．（3分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．8．（3分）甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差S2甲＝4，乙同学成绩的方差S2乙＝3.1，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是（）A．甲的成绩较稳定B．乙的成绩较稳定C．甲、乙成绩的稳定性相同D．甲、乙成绩的稳定性无法比较9．（3分）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣4B．x1＝1，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝4D．x1＝2，x2＝310．（3分）如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）函数的自变量x的取值范围是．12．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，则m的值是．13．（3分）写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，2），则这个一次函数可以是．14．（3分）对于反比例函数y＝﹣，当﹣3＜x＜2时且x≠0时，y的取值范围是．15．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为．（无需确定x的取值范围）16．（3分）为增强居民的节水意识，某市自年实施“阶梯水价”．按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y（元）与用水量x（立方米）的函数关系的图象如图所示．如果某个家庭2015年全年上缴水费1180元，那么该家庭年用水的总量是立方米．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R ＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则△RPQ的周长为．三、解答题（共46分）18．解下列一元二次方程：x2+4x﹣2＝0．19．已知x2﹣5x+3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴，记作点C，折痕与y轴交于点D．（1）求A、B两点坐标．（2）求线段CD所在直线的解析式．21．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图和扇形图如下所示：（视力分为4.0，4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2这几种情况，其中视力为4.9及以上为正常）解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽测了名学生；（2）根据条件补全频数分布直方图；（3）参加抽测的学生的视力的众数在范围内；中位数在范围内；（4）试估计该市学生视力正常的人数约为多少？22．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上；探索创新：（3）若△ABC中有两边的长分别为、（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上．23．已知关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根．（2）若方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．24．已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连结QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB＝2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB＝2，设BP＝x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x 的函数关系式．25．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2﹣|x|＝0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2＝|x|，再通过研究函数y ＝kx+2的图象与函数y＝|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a﹣＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．26．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P'的坐标为．（2）若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标．（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为．（4）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且点A是点B的“﹣属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．2015-2016学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各点中，在直线y＝﹣2x+3上的点是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：A、当x＝﹣2时，y＝7，故不在所给直线上，不符合题意；B、当x＝2时，y＝﹣1，在所给直线上，符合题意；C、当x＝﹣1时，y＝5，故不在所给直线上，不符合题意；D、当x＝1时，y＝1，故不在所给直线上，不符合题意；故选：B．2．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，2【解答】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选：D．3．（3分）方程x2＝x的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x1＝1，x2＝0D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：方程移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝0．故选：C．4．（3分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（）A．它的图象在第二、四象限B．点（﹣2，1）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵k＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；B、把点（﹣2，1）代入反比例函数y＝得1＝﹣1不成立，故选项错误；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项正确．D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项错误．故选：C．5．（3分）直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10B．2C．10或2D．无法确定【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝10；当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝2．故选：C．6．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣3）2＝b的形式，则b等于（）A．4B．﹣4C．14D．﹣14【解答】解：方程x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，则b＝14，故选：C．7．（3分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，∴b2﹣4ac＝22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：B．8．（3分）甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差S2甲＝4，乙同学成绩的方差S2乙＝3.1，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是（）A．甲的成绩较稳定B．乙的成绩较稳定C．甲、乙成绩的稳定性相同D．甲、乙成绩的稳定性无法比较【解答】解：∵S2甲＞4S2乙，∴乙的成绩较稳定．故选：B．9．（3分）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣4B．x1＝1，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝4D．x1＝2，x2＝3【解答】解：依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝﹣4．则c＝1×（﹣4）＝﹣4，则原方程为x2﹣3x﹣4＝0，整理，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4．故选：C．10．（3分）如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）函数的自变量x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．12．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，则m的值是2．【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，∴x＝2满足该方程，∴22+2m﹣8＝0，解得，m＝2．故答案为2．13．（3分）写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，2），则这个一次函数可以是y＝﹣x+2．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，∵函数图象经过第一、二、四象限和点（0，2），∴k＜0，b＝2，∴当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x+2．故答案为y＝﹣x+2．14．（3分）对于反比例函数y＝﹣，当﹣3＜x＜2时且x≠0时，y的取值范围是y＜﹣3或y＞2．【解答】解：如图所示：当﹣3＜x＜0时，函数图象在点（﹣3，2）的上方，即y＞2；当0＜x＜2时，函数图象在点（2，﹣3）的下方，即y＜﹣3．所以y的取值范围是y＜﹣3或y＞2．故答案为y＜﹣3或y＞2．15．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝．（无需确定x的取值范围）【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，∴k＝0.25×400＝100，∴y＝．故答案为：y＝．16．（3分）为增强居民的节水意识，某市自年实施“阶梯水价”．按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y（元）与用水量x（立方米）的函数关系的图象如图所示．如果某个家庭2015年全年上缴水费1180元，那么该家庭年用水的总量是220立方米．【解答】解：当x≥180时，设y＝kx+b，将点（180，900），（260，1460）代入，可得：，解得，所以y＝7x﹣360，令7x﹣360＝1180，解得x＝220，答：该家庭2015年用水的总量是220立方米．故答案为220．17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R ＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则△RPQ的周长为27+13．【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．在△ABC和△GFC中，，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF＝∠BAC＝30°，∴HGQ＝60°．∵∠HAC＝∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAH＝180°．又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH＝180°，∴∠RHA＝∠BAC＝30°，∴∠QHG＝60°，∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，∴△QHG是等边三角形，∵AC＝AB•cos30°＝2．在Rt△HMA中，HM＝AH•sin60°＝3，AM＝AH•cos60°＝．在Rt△AMR中，MR＝AD＝AB＝4∴QR＝2+3+4＝7+2，∴PQ＝2QR＝14+4，PR＝QR＝6+7，∴△RPQ的周长＝QR+PQ+PR＝27+13．故答案为：27+13．三、解答题（共46分）18．解下列一元二次方程：x2+4x﹣2＝0．【解答】解：移项得x2+4x＝2，配方得，x2+4x+4＝2+4，（x+2）2＝6则x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；19．已知x2﹣5x+3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣4﹣（2x2﹣4x﹣x+2）＝x2﹣4﹣2x2+5x﹣2＝﹣x2+5x﹣6＝﹣（x2﹣5x）﹣6，∵x2﹣5x+3＝0，∴x2﹣5x＝﹣3，则原式＝3﹣6＝﹣3．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴，记作点C，折痕与y轴交于点D．（1）求A、B两点坐标．（2）求线段CD所在直线的解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）；当y＝0时，有﹣x+3＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）．（2）由折叠性质可知，△ABD≌△ACD，∴AC＝AB，BD＝CD．在Rt△AOB中，，∴AC＝5，∴OC＝AC﹣OA＝5﹣4＝1，∴点C的坐标为（﹣1，0）．设OD＝m，则CD＝BD＝3﹣m，在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即12+m2＝（3﹣m）2，解得：，∴，∴点D的坐标为（0，）．设线段CD所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（﹣1，0）、D（0，）代入y＝kx+b，，解得：，∴线段CD所在直线的解析式为．21．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图和扇形图如下所示：（视力分为4.0，4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2这几种情况，其中视力为4.9及以上为正常）解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽测了150名学生；（2）根据条件补全频数分布直方图；（3）参加抽测的学生的视力的众数在 4.25～4.55范围内；中位数在 4.25～4.55范围内；（4）试估计该市学生视力正常的人数约为多少？【解答】解：（1）由图形统计图可知视力不正常的学生人数为30+40+50＝120人，由扇形统计图可知视力不正常所占的比例为80%，所以本次抽样调查共抽测了120÷80%＝150名，故答案为：150；（2）因为在4.85～5.15的人数为150﹣30﹣40﹣50﹣10＝20人，补全频数分布直方图如图所示：（3）由补全的直方图可知人数出现最多的有50人，在4.25～4.55范围内；抽查的人数为150人，则第75和76个数和的平均数为中位数，所以在4.25～4.55范围内，故答案为：4.25～4.55；4.25～4.55；（4）因为150人中视力正常所占的百分比为20%，所以某市30000名学生的视力正常的人数为30000×20%＝6000人．22．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上a2；探索创新：（3）若△ABC中有两边的长分别为、（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上4a或2a．【解答】解：（1）△ABC的面积为3×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×2×3＝，故答案为：；（2）如图2，△ABC的面积，4a×2a﹣×a×a﹣×a×4a﹣×2a×3a＝a2，故答案为：；（3）如图3，图中三角形为符合题意的三角形，第三边的长是4a和＝2a，故答案为：4a或2a．23．已知关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根．（2）若方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【解答】解：（1）∵△＝（m﹣1）2﹣4（m+1）×（﹣2）＝m2﹣2m+1+8m+8＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，∴不论m为任何实数，此方程总有实数根．（2）∵（m+1）x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0，∴[（m+1）x+2]（m﹣1）＝0，∴m＝1或﹣，∵﹣是整数，m是正整数，∴m＝1．24．已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连结QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB＝2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB＝2，设BP＝x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x 的函数关系式．【解答】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝60°．∵∠ABC＝90°，∴EF＝2；（2）EF＝BF．理由如下：∵∠BAP＝∠BAE﹣∠EAP＝60°﹣∠EAP，∠EAQ＝∠QAP﹣∠EAP＝60°﹣∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ，AP＝AQ，∴△ABP≌△AEQ．∴∠AEQ＝∠ABP＝90°．∴∠BEF＝180°﹣∠AEQ﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°．又∵∠EBF＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝BF；（3）在图2中，过点F作FD⊥BE于点D．∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．由（2）得∠EBF＝30°，在Rt△BDF中，．∴BF＝＝2．∴EF＝2．∵△ABP≌△AEQ，∴QE＝BP＝x．∴QF＝QE+EF＝x+2．∴以QF为边的等边三角形的面积y＝．25．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2﹣|x|＝0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2＝|x|，再通过研究函数y ＝kx+2的图象与函数y＝|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为1．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a﹣＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．【解答】解：（1）当k＝1时，如图1，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，如图2，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，如图3，使得原等式成立的x的个数为1．故答案为：（1）1；（2）2；（3）1．解决问题：将不等式转化为，研究函数y＝x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，如图4，∵函数的图象经过点A（1，4），B（2，2），函数y＝x2的图象经过点C（1，1），D（2，4），若函数y＝x2+a（a＞0）经过点A（1，4），则a＝3，结合图象可知，当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．也就是当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．26．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P'的坐标为（﹣2，﹣4）．（2）若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标．（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为±1．（4）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且点A是点B的“﹣属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．【解答】解：（1）P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”是（﹣1+，﹣2×1﹣2），即（﹣2，﹣4），故答案是：（﹣2，﹣4）；（2）由题可得：，∴ka+b＝3k＝3．∴k＝1．∴a+b＝3．∴b＝3﹣a．当a＝1时，b＝2，此时点P的坐标为（1，2）．说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．（3）∵点P在x轴的正半轴上，∴b＝0，a＞0．∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．∴PP′⊥OP．∵△OPP′为等腰直角三角形，∴OP＝PP′．∴a＝±ka．∵a＞0，∴k＝±1．故答案为：±1．（4）设B（a，b），∵B的“﹣属派生点”是A，∴A（a﹣，﹣a+b）∵点A还在反比例函数y＝﹣的图象上，∴（a﹣）（﹣a+b）＝﹣4．∴（b﹣a）2＝12．∵b﹣a＞0，∴b﹣a＝2．∴b＝a+2．∴点B在直线y＝x+2（记作直线MN）上，如图，∵Q（0，4），要BQ最短，则BQ⊥MN于B，过Q作的垂线QB，垂足为B，即：线段BQ最短，∵直线MN的解析式为y＝x+2，∴M（0，2），N（﹣2，0），∴ON＝2，OM＝2，根据勾股定理得，MN＝4，∵Q（0，4），∴OQ＝4，∴MQ＝OQ﹣OM＝2，∵∠OMN＝∠BMQ，∠MON＝∠MBQ＝90°，∴△MON∽△MBQ，∴，∴，∴BM＝3，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠MON＝∠MCB＝90°，∵∠OMN＝∠CMB，∴△MON∽△MCB，∴，∴，∴BC＝，MC＝，∴OC＝OM+CM＝，∴B（，）．。

2015-2016学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞2．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）A．或B．或C．D．3．在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）A． B． C．8 D．124．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）A．81 B．120 C．168 D．1925．不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．6．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B． C．D．7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．9．数列{a n}是首项为a1=11，公差为d=﹣2的等差数列，那么使前n项和S n最大的n值为（）A．4 B．5 C．6 D．710．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5=．12．已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．13．若x∈（1，+∞），则y=x+的最小值是．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=．15．在△ABC中，若=，则△ABC的形状为．16．已知数列{a n}的前n项的和为S n，a1=﹣1，a2=2，满足S n+1=3S n﹣2S n﹣1﹣a n﹣1+2（n≥2），则a2016=．三．解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＞0．18．在△ABC中，∠B=，AB=4，点D在BC上，且CD=3，cos∠ADC=．（I）求sin∠BAD；（Ⅱ）求BD，AC的长．19．在等差数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2．（I）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和T n．四．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）20．已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1，且a1=1，则a n=．21．在△ABC中，A=30°，AB=，BC=1，则△ABC的面积等于．22．甲船在岛B的正南处，AB=5km，甲船以每小时2km的速度速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是小时．23．正数m，n满足的最小值为．24．已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1），给出下列命题：①当k=时，数列{a n}为递减数列②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号．五．解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．已知函数f（x）=（x＞0）．（I）当a＞0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．26．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足cos2A+2sin2（π+B）+2cos2（+C）﹣1=2sinBsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=4，c=5，求sinB．27．已知函数f（x）=x2tan2α+xcos（α+），其中tanα=，α∈（0，）（I）求f（x）的解析式；=f（a n），n∈N*．求证：1＜++…+＜（Ⅱ）若数列{a n}满足a1=，a n+1（n∈N*，n≥2）2015-2016学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故A错误；a2＞ab，故B错误；＜1，故C正确；ab＞0，，即，故D错误；故选：C2．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）A．或B．或C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，化为：sinC=，∵c＜a，∴C为锐角，∴C=．故选：D．3．在△ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=（）A． B． C．8 D．12【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵b=3，c=1，cosA=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=8，解得：a=2．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）A．81 B．120 C．168 D．192【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{a n}的前4项和．【解答】解：因为==q3=27，解得q=3又a1===3，则等比数列{a n}的前4项和S4==120故选B5．不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选A．6．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选B8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a ，将c 、b 与a 的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac ，由c=2a ，则b=a ，=，故选B ．9．数列{a n }是首项为a 1=11，公差为d=﹣2的等差数列，那么使前n 项和S n 最大的n 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列{a n }的首项a 1=11，公差d=﹣2写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求．【解答】解：在等差数列{a n }中，由首项a 1=11，公差d=﹣2，得 a n =a 1+（n ﹣1）d=11﹣2（n ﹣1）=13﹣2n ．由a n =13﹣2n ≥0，得n ≤．∴等差数列{a n }中，a 6＞0，a 7＜0， ∴当n=6时，前n 项和S n 取得最大值． 故选：C ．10．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了n （n ∈N *）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论． 【解答】解：设该设备第n 年的营运费为a n ，万元，则数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n =2n ，则该设备使用了n 年的营运费用总和为T n =n 2+n ，设第n 年的盈利总额为S n ，则S n =11n ﹣（n 2+n ）﹣9=﹣n 2+10n ﹣9，∴年平均盈利额=10﹣（n +）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4， 故选：D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =，则S 5=．【考点】数列的求和．【分析】S 5=a 1+a 2+…+a 5=，然后利用裂项求和法进行运算．【解答】解：S 5=a 1+a 2+…+a 5====．故答案为．12．已知△ABC 中，AB=，BC=1，tanC=，则AC 等于 2 ． 【考点】三角形的形状判断．【分析】画出图形，利用已知条件直接求出AC 的距离即可．【解答】解：由题意AB=，BC=1，tanC=，可知C=60°，B=90°，三角形ABC 是直角三角形，所以AC==2．故答案为：2．13．若x ∈（1，+∞），则y=x +的最小值是 2+1 ．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出． 【解答】解：∵x ∈（1，+∞）， ∴x ﹣1＞0，∴y=x +=x ﹣1++1≥2+1=2+1，当且仅当x=1+时取等号，∴y=x +的最小值是2+1．故答案为：．14．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= 10 ． 【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a 5a 6=9，从而log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3[（a 1a 10）×（a 2a 9）×（a 3a 8）×（a 4a 7）×（a 5a 6）]，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18， ∴a 5a 6+a 4a 7=2a 5a 6=18，∴a 5a 6=9， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10 =log 3（a 1×a 2×a 3×…×a 10）=log 3[（a 1a 10）×（a 2a 9）×（a 3a 8）×（a 4a 7）×（a 5a 6）]==5log 39 =10．故答案为：10．15．在△ABC 中，若=，则△ABC 的形状为 等腰三角形或直角三角形 ．【考点】正弦定理；弦切互化．【分析】左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A 和B 的关系，得到答案．【解答】解：原式可化为=⇒=sin2A=sin2B∴2A=2B 或2A=π﹣2B ⇒A=B 或A +B=．故答案为等腰三角形或直角三角形 16．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，a 1=﹣1，a 2=2，满足S n +1=3S n ﹣2S n ﹣1﹣a n ﹣1+2（n ≥2），则a 2016= 20162﹣2 ． 【考点】数列递推式．【分析】由S n +1=3S n ﹣2S n ﹣1﹣a n ﹣1+2（n ≥2），得S n +1﹣S n =2（S n ﹣S n ﹣1）﹣a n ﹣1+2（n ≥2），即a n +1=2a n ﹣a n ﹣1+2（n ≥2），则（a n +1﹣a n ）﹣（a n ﹣a n ﹣1）=2（n ≥2），说明数列{a n +1﹣a n }是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出数列{a n }的通项公式得答案．【解答】解：由S n +1=3S n ﹣2S n ﹣1﹣a n ﹣1+2（n ≥2），得 S n +1﹣S n =2（S n ﹣S n ﹣1）﹣a n ﹣1+2（n ≥2）， ∴a n +1=2a n ﹣a n ﹣1+2（n ≥2），则（a n +1﹣a n ）﹣（a n ﹣a n ﹣1）=2（n ≥2），∴数列{a n +1﹣a n }是以a 2﹣a 1=2﹣（﹣1）=3为首项，以2为公差的等差数列， 则a n +1﹣a n =3+2（n ﹣1）=2n +1， ∴a 2﹣a 1=2×1+1， a 3﹣a 2=2×2+1，a4﹣a3=2×3+1，…=2（n﹣1）+1，a n﹣a n﹣1累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+（n﹣1）=，则，∴．故答案为：20162﹣2．三．解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＞0对应方程的实数根为a和1﹣a；①当1﹣a=a，即a=时，不等式化为＞0，∴x≠，∴不等式的解集为{x|x≠}；②当1﹣a＞a，即a＜时，解得x＞1﹣a或x＜a，∴不等式的解集为{x|x＞1﹣a或x＜a}；③当1﹣a＜a，即a＞时，解得x＞a或x＜1﹣a，∴不等式的解集为{x|x＞a或x＜1﹣a}．综上，当a=时，不等式的解集为{x|x≠}；当a＜时，不等式的解集为{x|x＞1﹣a或x＜a}；当a＞时，不等式的解集为{x|x＞a或x＜1﹣a}．18．在△ABC中，∠B=，AB=4，点D在BC上，且CD=3，cos∠ADC=．（I）求sin∠BAD；（Ⅱ）求BD，AC的长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由∠ADC+∠ADB=π和诱导公式求出cos∠ADB，由平方关系求出sin∠ADB，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sin∠BAD；（Ⅱ）在△ABD中由正弦定理求出BD、AD，在△ADC中由余弦定理求出AC的值．【解答】解：（Ⅰ）∵∠ADC+∠ADB=π，且cos∠ADC=，∴cos∠ADB=﹣，∴sin∠ADB==，由∠B+∠ADB+∠BAD=π得，sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB）=sin∠Bcos∠ADB+cos∠Bsin∠ADB==；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，∴BD===4，由正弦定理得，∴AD==，在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC=20+9﹣=17，∴AC=．19．在等差数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2．（I）求a n与b n；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）根据b2=q，列方程组计算q与S2，从而得出{a n}的公差，从而得出{a n}，{b n}的通项公式；（II）使用错位相减法求出T n．【解答】解：（I）∵{b n}为等比数列，公比为q，b1=1，∴b2=q，∴，解得q=3，S2=1．∵a1=，∴a2=．∴{a n}的公差为．∴a n==，b n=3n﹣1．（II）c n==n•3n﹣2．∴T n=1×3﹣1+2×30+3×31+4×32+…+n×3n﹣2，①∴3T n=1×30+2×31+3×32+4×33+…+（n﹣1）×3n﹣2+n×3n﹣1，②①﹣②得：﹣2T n=3﹣1+30+31+32+…+3n﹣2﹣n×3n﹣1=﹣n×3n﹣1=（）3n﹣1﹣．∴T n=+．四．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）=2a n+1，且a1=1，则a n=2n﹣1．20．已知数列{a n}满足a n+1【考点】数列递推式．+1=2（a n+1），从而得到{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，【分析】由已知条件得a n+1由此能求出a n．=2a n+1，且a1=1，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∴，又a1+1=2，∴{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．21．在△ABC中，A=30°，AB=，BC=1，则△ABC的面积等于或．【考点】正弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或b=2，=bcsinA=或．则S△ABC故答案为：或．22．甲船在岛B的正南处，AB=5km，甲船以每小时2km的速度速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是小时．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=5﹣2x，BD=3x，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（5﹣2x）2+9x2+2×（5﹣2x）×3x×=7x2﹣5x+25当x=小时时甲、乙两船相距最近，故答案为：．23．正数m，n满足的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】由正数m，n满足2m+n=1，知=（）（2m+n）=4++≥4+2，由此能求出的最小值．【解答】解：∵正数m，n满足2m+n=1，∴=（）（2m+n）=2+++2≥4+2=8．当且仅当，即m=，n=时，取最小值8．故答案为：8．24．已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1），给出下列命题：①当k=时，数列{a n}为递减数列②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号③④．【考点】数列的函数特性．【分析】由于==，再根据k的条件讨论即可得出．【解答】解：①当k=时，，∴==，当n=1时，a1=a2，因此数列{a n}不是递减数列，故①不正确；②当＜k＜1时，==，由于k＜＜1+＜2k，因此数列{a n}一定有最大项．③当0＜k＜时，==≤1，∴a n＜a n．+1因此数列{a n}为递减数列，正确．④当为正整数时，===1，因此数列{a n}必有两项相等的最大项，故正确．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．五．解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．已知函数f（x）=（x＞0）．（I）当a＞0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）==x++2，（x＞0），∵a＞0，x＞0，∴f（x）≥2+2=2+2，当且仅当x=时“=”成立，（Ⅱ）f（x）=x++2，（x≥1），f′（x）=，a≤1时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=a+3＞0，解得：﹣3＜a≤1，a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：1≤x＜，∴f（x）在[1，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）≥f（）=2+2＞0成立，综上a＞﹣3．26．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足cos2A+2sin2（π+B）+2cos2（+C）﹣1=2sinBsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=4，c=5，求sinB．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由条件可得sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC，再由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理求得，从而求得A的值．（Ⅱ）由a2=b2+c2﹣2bccosA=21，求得，再由正弦定理，求得sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC，由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴，由正弦定理，求得，解得．27．已知函数f（x）=x2tan2α+xcos（α+），其中tanα=，α∈（0，）（I）求f（x）的解析式；=f（a n），n∈N*．求证：1＜++…+＜（Ⅱ）若数列{a n}满足a1=，a n+1（n∈N*，n≥2）【考点】数列与不等式的综合；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由tanα=求得tan2α及sinα、cosα的值，代入原函数可得函数解析式；=f（a n）求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结（Ⅱ）由a n+1合已知放缩得答案．【解答】（Ⅰ）解：∵tanα=，α∈（0，），∴tan2α=，由，解得（0）．∴cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=，∴f（x）=x2tan2α+xcos（α+）=；=f（a n），得，（Ⅱ）证明：由a n+1＞a n≥a1，∴，则a n+1=a n（a n+1），则，∵a n+1∴．又∵a1=，∴++…+===．∴1＜++…+＜．。