上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)

大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。

A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。

A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。

A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。

答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。

答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。

答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。

答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。

答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。

解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。

上海财经大学《高等数学》习题一及解答在学习高等数学课程的过程中，不可避免地会遇到各种各样的习题。

习题的目的是帮助学生巩固所学的内容，提高解题能力和应用能力。

本文将介绍上海财经大学《高等数学》课程中的习题一及解答，旨在帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

一、习题一1. 计算下列极限：lim(x→∞) (2x^2 + 3x - 1) / (4x^2 - x + 1)lim(x→0) sin3x / sin2x2. 求函数f(x) = √(4x + 3) + √(x - 1) 的定义域和值域。

3. 设函数f(x) = √x，g(x) = x^2 + 1，求函数 h(x) = (f∘g)(x) 的表达式。

二、解答1. 对于第一题，我们可以将分子和分母都除以 x^2，得到：lim(x→∞) (2 + 3/x - 1/x^2) / (4 - 1/x + 1/x^2)当 x 趋向于正无穷时，分别以最高项的系数来比较三个项，得到极限为 2/4 = 1/2。

对于第二题，我们可以将 sin3x 和 sin2x 都展开为泰勒级数的形式，并截取最低阶的项，得到：lim(x→0) (3x - (1/6)x^3) / (2x - (1/6)x^3)当 x 趋向于 0 时，分别以最高项的系数来比较两个项，得到极限为3/2。

2. 对于函数f(x) = √(4x + 3) + √(x - 1)，要使得函数有定义，需要满足以下两个条件：4x + 3 ≥ 0（根式内部不可小于0）x - 1 ≥ 0（根式内部不可小于0）解得x ≥ -3/4 和x ≥ 1。

因此，定义域为x ≥ 1。

对于值域，我们可以利用函数的图像进行分析。

函数f(x) = √(4x + 3) + √(x - 1) 是两个平方根函数之和，其中第一个平方根函数的图像为右移3/4单位，上移3单位的开口向上的抛物线；第二个平方根函数的图像为右移1单位，上移1单位的开口向上的抛物线。

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

上海财经大学数学分析1 上海财经大学数学分析：探讨数学的普遍知识上海财经大学的数学分析课程以及研究视角旨在详细讨论和探讨基础数学理论与知识之间的关联性。

它旨在建立学习者对数学这门学科的基本了解，培养学生逻辑思维系统，学习他们如何仔细思考、解决问题，以及理解数学方法的应用。

上海财经大学的数学分析课程着重从推理的角度出发，旨在以系统的方法将数学的语言、技巧与概念等各个元素连接起来，以达到解决数学问题的目的。

因此，本课程的重点是在学习的过程中大量使用推理技巧，熟练掌握数学概念和表达方式，制定出实用而严谨的方法，从而获得更高水平的数学基础。

数学分析课程还需要学生使用数学方法，深入了解数学知识和规律。

通过引导学生把数学思维运用到问题解决中，从而使学生熟悉和掌握手册计算、数据分析、数学模型解析等数学解决方法。

学生在学习中灵活应用数学知识，系统认知各种数学技能，也能够在学习中发现更多有趣关于数学概念的发现，同时丰富自己的学习经验，这也是数学分析课程带给学习者的更多收获之一。

2 上海财经大学数学分析课程著重实践上海财经大学的数学分析课程，倡导实践思维，重视实际应用。

教师在教学中以增强学习者的实践技能为核心，以落实学习的质量和实践的有效技能为工作目标，以独立课后工作为场景，使学生在实践中学习、学以致用，逐步形成对数学问题的完整的解决能力。

此外，教师通过课堂教学、现场作业、小组研究等活动，在学生完成本阶段数学课程目标的基础上，让学生更深入地思考数学知识，熟悉数学概念，并尝试用数学工具观察和解释现象。

学生在作业中学会提出问题、应用解题技巧，练习验证数学理论，加强数学知识综合把握能力，形成数学思维惯性。

这种在课堂中进行教学，但又能实现多种学习方式的学习体系，既可以教众的学习者，又可以进一步提升个人的数学能力。

可以说，上海财经大学的数学分析课程通过引导学生理解和掌握基础数学理论和知识，培养学习者系统梳理数学知识，尝试灵活运用数学方法以及实践思维，实现更好的数学学习，是学习数学的最佳方式。

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。

上海财经大学《时间序列分析》课程考试卷课程代码 课程序号20 —20 学年第一学期姓名 学号 班级一、填空题（每小题2分，共计20分）1. 设时间序列{}t X ，当__________________________序列{}t X 为严平稳。

2. AR(p)模型为_____________________________，其中自回归参数为______________。

3. ARMA(p,q)模型_________________________________，其中模型参数为____________________。

4. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为_________________________。

5. 一阶自回归模型AR(1)所对应的特征方程为_______________________。

6. 对于一阶自回归模型AR(1)，其特征根为_________，平稳域是_______________________。

7. 对于一阶自回归模型MA(1)，其自相关函数为______________________。

8. 对于二阶自回归模型AR(2):1122t t t t X X X φφε--=++,其模型所满足的Yule-Walker方程是___________________________。

9. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型：1111t t p tp t t q t q X X Xφφεθεθε----=++++++L L ，则预测方差为___________________。

10. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。

二、（20分）设{}t X 是二阶移动平均模型MA(2)，即满足t t t-2X εθε=+,其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2t 0,t E Var εεσ==……………………………………………………………装订线…………………………………………………2（1） 当1θ=0.8时，试求{}t X 的自协方差函数和自相关函数。

1． 计算下列对弧长的曲线积分 1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；[解] 连接(1,0)及(0,1)两点的直线段方程为1,01x y x =-≤≤,于是⎰+Lds y x )(2101[(1')]y x x dx ++=-⎰201(1)2dx =+-=⎰2)⎰Lxds ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； [解] 直线y x =与抛物线2y x =的交点为(0,0), (1,1). 设1L 为直线y x =从(1,1)到(0,0)一段, 2L 为抛物线2y x =从(0,0)到(1,1)一段, 于是12L L Lxds xds xds=+⎰⎰⎰112201114dx x dx=+++⎰⎰21=+51)212. 3)⎰+Ly x ds e22 ， 其中L 为圆周222 x y a +=， 直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；[解] L 由线段:0(0)a OA y x ≤≤=, 圆弧:AB cos ,sin (0)2t y a t x a t π=≤≤=和线段:OB y x = (02)x π≤≤组成.221ax y x a OAe dx e +==-⎰⎰;222240()()sin cos x y ABee a a d t tt π+=-+⎰⎰404a a ae dt ae ππ==⎰;2222211x y xOBeedx +=+⎰1a e =-,于是上海财经大学《高等数学》习题十及解答2242412a a a x y a Leds e a e a a e e ππ+⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭⎰. 4)⎰++L ds zy x 2221， 其中L 为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧； [解] 因ds ==t dt =,所以⎰++L ds zy x 22212202222cos sin 1t t t t dt e t e t e =++⎰202t e dt -=⎰2(1)2e -=-. 5)⎰Lds y2， 其中L 为摆线的一拱()()sin 1cos (02)x a t t y a t t π=-=-≤≤，；[解] 因为ds ===,所以22202(1)cos Ly ds a t π=-⎰⎰52230c (os 1)t dt π=-⎰325220sin 22t dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 3205si 216n u a udu t π=⎰3423233a =⋅⋅325615a =.6)⎰+Lds y z 222， 其中L 为2222 x y z a ++=与x y =相交的圆周；[解] 因为在曲线L 上的点满足2222y z a +=，而且2222x y z a ++=与x y =相交的圆周L 的周长为2a π,所以⎰+Lds y z 222Lads =⎰22a π=.2.计算下列对坐标的曲线积分:1)⎰+Lxdy ydx ， 其中L 是圆周cos sin x R t y R t ==，上对应t 从0到/2π的一段弧；[解] 20sin (sin )cos co [s ]Lt R t R ydx xd R t t d R y t π⋅-+⋅+=⎰⎰202cos 20td Rt π==⎰.2)⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()( ， 其中L 是圆周()2220x y a a +=> (按逆时针方向绕行)； [解] L 的参数方程为cos x t a =, sin y t a =, t 从0变到2π. 于是⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()(221[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]a t t a t a t t a t dt a π+⋅---⋅=⎰2221()2a dt a ππ=-=-⎰.3)⎰-+Lydz zdy dx x 2，其中L 是曲线cos sin x kt ya t y a t ==，，上对应的t 从0到π的一段弧； [解]222co []s (sin )cos (cos )x dx zd t t a t a y ydz k k a d t a t t πΓ⋅-+-=⋅⋅+-⎰⎰2203()k t a dt π=-⎰33213k a ππ=-. 4)⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1( ，其中L 是从点(1,1,1)到点(234)，，的一段直线； [解] 直线L 的参数方程为：1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 从0变到1. 于是⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1(1[(1)1(12)2(1121)3]t t t t dt =+⋅++⋅++++-⋅⎰1(614)t dt =+⎰13=.5)⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22， 其中L 是抛物线2y x =上从点(11)-，到点(11)，的一段弧；[解]⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22112242(2)(2)2x x x x x x x dx -⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦⎰ 421531(242)x x x x dx -=--+⎰104211442()5x x dx =-+=-⎰.6) ⎰Lxyzdz ， 其中L :2221x y z ++=与y x =相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限.[解] 曲线L 可表示为：11cos ,cos ,sin 22t t z t x y ===(02t π≤≤), 于是 201122cos cos sin cos Lxyzdz t t t tdt π⋅⋅⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230(1cos co 2)s t td π=--⎰4201cos 8|t π=-0=. 3. 计算：(1)⎰++-Ldy y x dx x xy ,)()2(22其中L 分别是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线，即该区域在该方向的左边.解法一 先按曲线积分的计算公式直接计算. 记21:L y x =, x 从0变到1; 2:L x y =, y 从1变到0. 于是22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰ 122222(2)()(2)()L L xy x dx x y dy xy x dx x y dy =-+++-++⎰⎰1324342201[(2)()2][(2)2()]x x x x x dx y y y y y dy =-++⋅+-⋅++⎰⎰532542101(22)(242)x x x dx y y y dy =+++-++⎰⎰717615=-130=. 解法二 应用格林公式计算. 令22P xy x =-, 2Q x y =+,2P x y ∂=∂, 2Q x y∂=∂, 于是 22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ (12)Dx dxdy =-⎰⎰210(12)x xx dx dy =-⎰⎰21(12)()x x x dx =--⎰13122230(22)x x x x dx =--+⎰130=. (2)⎰-+-Ldy xy y dx xy x)2()(232，其中L 分别是四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解法一 L 由有向线段OA 、AB 、BC 和CO 组成.322228()(2)3OA x xy dx y xy dy x dx -+-==⎰⎰;2232028()(2)(4)83AB x xy dx y xy dy y y dy -+-=-=-⎰⎰; 0222238()(2)(8)163BC x xy dx y xy dy x x dx -+-=-=-⎰⎰;2023228()(2)3CO x xy dx y xy dy y dy -+-==-⎰⎰,于是⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(23288888163333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8=. 解法二 应用格林公式计算. 令232(,),(,)2P x y x Q x y xy y xy =-=-, 显然，22,3Q Py xy x y∂∂=-=-∂∂, 因此有⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ 2(23)Dy xy dxdy =-+⎰⎰222(23)dx y xy dy =-+⎰⎰2(84)x dx =-⎰8=.4. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222,其中L 为圆周()2212,x y L -+=的方向为逆时针方向. [解] 在L 所围的区域内的点(0,0)处, 函数(,)P x y 、(,)Q x y 均无意义. 现取r 为适当小的正数, 使圆周l (取逆时针向): cos x t r =, sin y t r =(t 从0变到2π)位于L 所围的区域内，则在由L 和l -所围成的复连通区域D 上，可应用格林公式，在D 上，22222()Q x y P x x y y∂-∂==∂+∂, 于是由格林公式得⎰+-L y x xdyydx )(2222202()D l ydx xdy Q P dxdy x y x y -⎛⎫-∂∂+=-= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰, 从而22222()2()Llydx xdyydx xdy x y x y --=++⎰⎰2202222sin co 2s r t r t dt r π--=⎰2012dt ππ=-=-⎰.5. 证明下列曲线积分在xOy 平面上与路径无关，并计算积分值.1)⎰-++)2,2()1,1(;)()(dy y x dx y x2)⎰-+-)4,3()2,1(2232;)36()6(dy xy y x dx y xy 3)⎰-++-)1,2()0,1(324.)4()32(dy xy x dx yxy[解] 1）1=∂∂=∂∂xQ y P ，积分与路径无关.⎰-++)2,2()1,1()()(dy y x dx y x =⎰212xdx =3.2)2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy =⎰⎰-+-31422)954()824(dy y y dx x =236. 3)342y x xQy P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy =⎰⎰-+1321)84(3dy y dx =5. 6. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22， 其中∑分别为如下： 1) 抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界； 2) 锥面()2223yx z +=被平面0z =和平面3z =所截得的部分．[解] 1） ∑由1∑和2∑组成，其中1∑为平面1=z 上被圆周221+=x y 所围的部分；2∑为抛物面22y x z +=(01)≤≤z . 在1∑上，=dS dxdy ; 在2∑上，==dS .⎰⎰∑+dS y x)(22=2222222211(()+≤+≤+++⎰⎰⎰⎰y x y x x y x y dxdy=⎰⎰⎰⎰++12201222041rdr r d rdr r r d ππθθ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+151535425π;2）由题设，∑的方程为=z ,因此=dS= 2=dxdy . 又由()2223yx z +=和3=z 消去z 得223+=xy , 故∑在xOy 面上的投影区域xy D 为223≤+x y , 于是⎰⎰∑+dS y x )(2222=()2+⋅⎰⎰xyD x ydxdy 230=2πθ⎰d dr (极坐标变换)9π=.7. 计算下列对面积的曲面积分：1) ⎰⎰∑++dS y x z )342(， 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分； 2)⎰⎰∑+--dS z x x xy )22(2， 其中Σ为平面132=++z y x 在第一卦限中的部分； [解] 1) 在∑上，2344z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域xy D 为x 轴、y 轴和直线123x y+=围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑++dS y x z )342(4442233xy D x y x y ⎡⎛⎫=--++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎰⎰433xyxyD Ddxdy dxdy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰1232⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2) 在∑上，123z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线231x y +=所围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑+--dS z x xxy )22(2222[22(123)]1(2)(3)xyD xy x x x y dxdy =--+--+-+-⎰⎰214(22133)Dzxy x x y dxdy =⋅-+--⎰⎰11(12)2302014(13223)x dx x x xy y dxdy -=⋅--+-⎰⎰()()12222011114(132)(12)1212396x x x x x x dx ⎡⎤=⋅---+---⎢⎥⎣⎦⎰14108=.8. 计算下列对坐标的曲面积分：1)ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑， 其中Σ为柱面122=+y x被平面z=0和z=3所截得在第一卦限中的部分的前侧；[解] 由于柱面122=+y x 在xOy 面上的投影为零，因此0zdxdy ∑=⎰⎰. 又{(,)|01,03}xy y z y z D ≤≤≤≤=, {(,)|01,03}zx x z x z D ≤≤≤≤=, 如图. 因∑取前侧，所以ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑xdydz ydzdx ∑∑=+⎰⎰⎰⎰2211yzzxD D y dydz x dzdx =-+-⎰⎰⎰⎰313120211dz y dy dz x dx =-+-⎰⎰⎰⎰21arcsin 123122y y y ⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦ 32π=. 2) ⎰⎰∑++yzdxdz yxdydz xzdxdy ，其中Σ为1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.[解] 在坐标面0x =、0y =和0z =上，积分值均为零，因此只需计算在':1x y z ∑++=(取上侧)上的积分值， 如图所示.'(1)xyD xzdxdy x x y dxdy ∑=--⎰⎰⎰⎰110(1)xxdx x y dy -=--⎰⎰124=. 由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得 '''124xydydz yzdzdx xzdxdy ∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 因此113248xzdydz yxdxdz yzdxdy ∑++=⋅=⎰⎰.9. 计算下列对坐标的曲面积分：1)⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222， 其中Σ为平面0,0,0===z y x ，a z a y a x ===,,所围成的空间 区域的整个边界曲面的外侧; 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222， 其中Σ为上半球体222a y x ≤+，0z ≤，2222z a x y ≤--的表面外侧.3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz , 其中Σ为介于0=z 与3=z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧． [解] 1) 令()2,,P x y z x =, ()2,,Q x y z y =, ()2,,R x y z z =, 应用高斯公式可得⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222P Q R dxdydz x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰6zdxdydz Ω=⎰⎰⎰(应用对称性)6aa adx dy zdz =⎰⎰⎰24632a a a a =⋅⋅⋅=. 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222()222z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰22202sin ad d r dr r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰(球面坐标)5521552a a ππ⋅⋅==. 3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz (111)dxdydz Ω=++⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰233381ππ=⋅⋅=⋅.10.求散度及旋度1) ()()()k xy z j xz y i yz x A +++++=222； 2) ()()k xz j xy i e A xy 2cos cos ++=； 3) k xz j xy i y A ++=2．[解] 1）令2P x yz =+, 2Q y xz =+, 2R z xy =+，因此 div 222P Q R A x y z x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. rot 222ij kij k A x y z x y z P QR x yzy xzz xy∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂+++0=. 2）div A =2sin()2sin()xyye x xy xz xz --，rot A =k xe xy y j xz z i xy)sin ()))sin((0()00(22--+--+-=k xe xy y j xz z xy)sin ()sin(22+-.3）div A =x x ++0=x 2，rot A =k y y j z i )2()0()00(-+-+-=k y j z--.11. 利用Gauss 公式计算下列曲面积分: (1)222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,x a =,y a =,z a =所围的立体的表面的外侧. (2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.(3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz ,其中∑是单位球面2221x y z ++=的外侧. (4)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是锥面222x y z +=与平面z h =所围成的空间区域(0)z h ≤≤的表 面, 方向取外侧.[解] (1) (2)同第9大题中的1）2）两小题，故解答略去. 3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Ω++dv )000(=0.4) ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=⎰⎰⎰Ω++dv z y x )222(=π24h . 12. 利用Gauss 公式计算椭球面2222221x y z a b c++=所围区域的体积. [解] 由Gauss 公式可得V =⎰⎰⎰Ω++dv )111(31=⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31， 又 ⎰⎰∑zdxdy =⎰⎰∑'--dxdy b y a x c 222212=dr r r abc d ⎰⎰⋅-1022012πθ=πabc 34. 由对称性可知⎰⎰∑xdydz =⎰⎰∑ydzdx =⎰⎰∑zdxdy =πabc 34. 于是V =⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31=πabc 34. 13. 设某种流体的速度为v xi y j zk =++, 求单位时间内流体流过曲面22:y x z ∑=+2(0)y h ≤≤的流量, 其中∑取左侧.[解] 所求的流量为 xdydz ydzdx zdxdy ∑Φ=++⎰⎰ =⎰⎰⎰Ω++dv )111(22203y h x z dydxdz +≤=⎰⎰⎰ =203h ydy π⎰=432h π.14. 应用Stokes 公式计算下列积分: (1) ⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2( 其中∑为平面1x y z ++=与各坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. (2) ⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(. 其中L 为以(,0,0)A a ,(0,,0)B a ,(0,0,)C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向.(3) ⎰Γ++zdz dy dx y x 32, 其中L 为圆: 2220x y a z ⎧+=⎨=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向. (4) ⎰Γ-+xydz zxdy yzdx 3 其中L 是曲线224310x y y y z ⎧+=⎨-+=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向.[解] (1) ⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰∑-++++dxdy dxdz dydz )21()11()11(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑-+zy x dxdy dxdz dydz 22=2315. 证明沿曲线AB 的曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关, 只与起点A 和终点B 有关. 并求原函数. [证明] 令223P x y z =-+, 34Q x y =-+, 2R xz =. 因为 1-=∂∂=∂∂x Q y P ，0=∂∂=∂∂y R z Q ，z zP x R 2=∂∂=∂∂， 所以曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关.原函数为：),,(z y x u =c y xz xy x +++-42316.计算222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰. 其中L 为由点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的螺线cos x a ϕ=,sin y a ϕ=,2h z ϕπ=(02ϕπ≤≤). [解] 令2P x yz =-, 2Q y xz =-, 2R z xy =-. 因为z x Q y P -=∂∂=∂∂，x y R z Q -=∂∂=∂∂，y zP x R -=∂∂=∂∂，所以曲线积分222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰与积分路径无关. 一次，积分路径取点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的直线段，于是可得222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰=⎰-hdz z 02)0(=331h .。