湖南理工学院数学分析期末考试试题

高等数学考试试题（含答案）一、填空题(每小题3分, 共30分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效.1. (),()y z zz xf f u x y x x y∂∂=+=∂∂设可导，则________________;2. 2(,,),(,)0x f x y z e yz z z x y x y z xyz ==+++=设其中是由确定的隐函数，则 '(0,1,1)________________x f -=;3. (,)xyz z z x y +==由方程在点（1,0,-1）处的 __________全微分dz=4. ln(A(1,0,1)__________u x =+函数在点处的梯度为;5. 曲线21,,__________1t t x y z t t t+===+在点处切线垂直于平面281610x y z -+-=; 6. 设函数()f x 为[0,1]上的正值连续函数，其中D {(,)|01,01}x y x y =≤≤≤≤则()()()()Daf x bf y dxdy f x f y ++⎰⎰ =__________; 7. 平面薄片D 由曲线2y x =及直线y x =所围成，其上任一点密度2(,)u x y x y =，此薄片的质量为____________;8.曲面z =和曲面22z x y =+所围立体的体积V =________; 9.计算曲线积分(1,2)43224(0,0)(4)(65)I x xy dx x y y dy =++-⎰，则I =______________;10. 设曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰__________.二、选择题 (每小题4分, 共40分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 1.函数z =在点(0,0)处( )(A) 不连续； (B)偏导数存在； (C) 沿任一方向的方向导数存在； (D) 可微. 2. 设f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( )(A) 2()vf u ； (B)2()v f u u ； (C) ()vf u ； (D) ()vf u u. 3. 设(,)z f x x y =+有二阶连续偏导数，令,u x v x y ==+，则22zx∂=∂( )(A) ''''uu vvf f +； (B) ''''''uu uv vv f f f ++； (C) ''''''2uu uv vv f f f ++； (D) '''''uu vu v f f f ++.4. 函数23(,)f x y x y =在点(2,1)处沿方向l i j =+的方向导数为( )(A)16;(C) 28; (D).5. 已知函数(,)f x y 在(0,0)U 内连续，且22200(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点;(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.6. 设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xf x y dy(B)(,)f x y dy(C)(,)yf x y dx(D)(,)f x y dx7. 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，则二重积分 2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰=（ ） (A)24π; (B) 22π； (C)ln 2π； （D ）ln 22π.8. 设曲线L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(R>1)，取顺时针方向，则曲线积分224L xdy ydxI x y -==+⎰（ ）(A)π; (B) π-; (C) 0; (D) 2π.9. 设曲面∑是锥面2223()z x y =+被平面0,3z z ==所截得的部分，则曲面积分22()I x y ds ∑=+=⎰⎰（ ）(A)92π-; (B) 92π ; (C) -9π; (D) 9π;.10.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-= 流向外侧的流量是( )(A) 108π; (B) 36π; (C) 216π; (D) 54π.三、 (15分) 在曲面2222(1)(1)z x y =-+-(0)z >上求点1111(,,)P x y z ，使点1P 到原点的距离最短，并求曲面上过1P 点的切平面方程。

---○---○------○---○---学院专业班级学号姓名…………评卷密封线………………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理………………评卷密封线…………中南大学期末考试试卷2019——2020学年一学期数学分析C（二）课程时间100分钟学时，学分，闭卷，总分100分，占总评成绩%年月日题号一二三四五六七八九十合计满分201510202015100得分评卷人复查人一、单项选择题(本题20分，每小题2分)1.在数学分析中，序列极限的Cauchy 准则是指：A.一个序列收敛当且仅当它的任意两项之间的差趋于零。

B.一个序列收敛当且仅当它的各项绝对值有界。

C.一个序列收敛当且仅当它满足Cauchy 不等式。

D.一个序列收敛当且仅当它的偶数项与奇数项分别收敛到同一极限。

2.下列哪个函数是Riemann 可积的？A.(f(x)=\sin(1/x))在(x =0)处定义。

B.(f(x)=x \cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。

C.(f(x)=|x|\cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。

D.所有选项都不是。

3.如果函数f 在点a 处连续，则以下说法正确的是：A.f 在点a 的任意邻域内都有界。

B.f 在点a 的任意小的邻域内都是单调的。

C.f 在点a 的任意小的邻域内都取到最大值和最小值。

D.f 在点a 的左侧和右侧导数都存在。

4.关于实数系中的完备性，以下说法正确的是：A.每个柯西序列都在实数系中收敛。

B.每个有界的实数序列都包含一个收敛子序列。

C.每个无理数都可以用有理数序列来逼近。

D.A 和B 都对。

得分评卷人5.若函数f在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可微，则：A.f一定在[a,b]上有界。

B.f一定在[a,b]上单调。

C.f'一定在(a,b)上有界。

D.f一定在[a,b]上一致连续。

6.若级数Σan收敛，则其系数序列{an}满足：A.(\lim_{n\to\infty}a_n=0)B.(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|)收敛C.{an}是有界的D.A和B都对7.对于积分(\int_{a}^{b}f(x),dx)，以下说法正确的是：A.如果f在[a,b]上有界，则该积分一定存在。

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

数学分析期末考试试题一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dtt x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。

，参考答案一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)1()(n n n n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： yu ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又00lim 0=∆→∆xx ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）。

湖南理工学院高等代数试卷（2）高等代数试卷（2）一．填空题：（2×10=20）1．若向量组},,,{21r ααα 可由},,,{21s βββ 线性表示，且r>s,则},,,{21r ααα 线性。

2．数域P 上所有n 阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，则2121V V V V ⊕=+的充分必要条件是21V V ?= ； 4．数域P 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。

5．设V 是数域P 上的n 维线性空间，)(V L 是V 上一切线性变换所成的P 上的线性空间，则dim(L(V))= 。

6．设},,,{21n ααα 是线性空间V 的一组基，则由这个基到基},,,,{132ααααn 的过度矩阵是。

7．令P n [x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式组成的线性空间，)()(:x f x f '→σ，则σ关于基},,,,1{2n x x x 下的矩阵是。

8．设σ是n 维欧氏空间V 上的一个正交变换，且ισ=2 （单位变换），则σ是变换。

9．欧氏空间V 上的对称变换的特征根都是数。

10．设n εεε,,21 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。

二．判断题（每题1分，计10分）1．设212121,,V V V V V V V ⊕=+则的子空间是。

（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。

（）3．若n V =)dim(，V n ∈ααα,,,21 ，且V 中的任意一个向量都可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21 实数是V 的组基。

（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。

（）6．设σ是线性空间V 上的一个线性变换，则σ的核)(σKer 与σ的象)Im(σ都是σ的不变子空间。

（）7．如果W 是欧氏空间的一个子空间，那么对V 的内积来说，W 也作成欧氏空间。

2022年湖南理工学院南湖学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、无向图G=(V，E)，其中：V={a，b，c，d，e，f}，E={(a，b)，(a， e)，(a，c)，(b，e)，(c，f)，(f，d)，(e，d)}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（）。

A.a，b，e，c，d，fB.a，c，f,e，b，dC.a，e，b，c，f, dD.a，e，d，f，c，b2、设有一个10阶的对称矩阵A，采用压缩存储方式，以行序为主存储， a11为第一元素，其存储地址为1，每个元素占一个地址空间，则a85的地址为（）。

A.13B.33C.18D.403、线性表的顺序存储结构是一种（）。

A.随机存取的存储结构B.顺序存取的存储结构C.索引存取的存储结构D.Hash存取的存储结构4、用不带头结点的单链表存储队列，其队头指针指向队头结点，队尾指针指向队尾结点，则在进行出队操作时（）。

A.仅修改队头指针B.仅修改队尾指针C.队头、队尾指针都可能要修改D.队头、队尾指针都要修改5、下面关于串的叙述中，不正确的是（）。

A.串是字符的有限序列B.空串是由空格构成的串C.模式匹配是串的一种重要运算D.串既可以采用顺序存储，也可以采用链式存储6、已知关键字序列5，8，12，19，28，20，15，22是小根堆（最小堆），插入关键字3，调整后的小根堆是（）。

A．3，5，12，8，28，20，15，22，19B．3，5，12，19，20，15，22，8，28C．3，8，12，5，20，15，22，28，19D．3，12，5，8，28，20，15，22，197、若元素a，b，c，d，e，f依次进栈，允许进栈、退栈操作交替进行，但不允许连续三次进行退栈操作，则不可能得到的出栈序列是（）。

8、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（）个不同的码字。

A.107B.108C.214D.2159、有关二叉树下列说法正确的是（）。

一、单项选择题（共20分，5个小题，每小题4分）1.已知1=a，2=b ，且两个向量的夹角为4π，则=+b a （）。

A.1B.21+ C.2D.5答案：D 。

考点：向量的运算。

解答：()()b a b a b a+⋅+=+ba b b a a ⋅+⋅+⋅=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅++=∧b a b a b a,cos 2225222221=⋅⋅++=。

注释：了解向量的各种运算和性质，掌握两向量的点积和叉积运算。

此题利用了2a a a=⋅。

2.函数xy z =在点()0,0处满足（）。

A.连续但偏导数不存在B.连续且偏导数存在C.偏导数存在但不连续D.可微答案：B 。

考点：多元函数在一点连续、可导、可微的定义。

解答：令()xyy x f z ==,（1）连续()()0,00lim,lim 0000f xy y x f y x y x ===→→→→则()xy y x f z ==,在()0,0处连续。

（2）可导()()()000lim 0,00,lim0,000=∆-=∆-∆=→∆→∆x x f x f f x x x 类似()00,0=y f ，则()xy y x f z ==,在()0,0处可导。

（3）可微()()y x f y x f z ∆∆=-∆∆=∆0,0,()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆22220,00,0y x o y x o y f x f y x 因为()()2202200limlimy x xy y x yx y x y x +=∆+∆∆∆→→→∆→∆，当()y x ,沿kx y =趋向()0,0时，该极限不存在，则()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆≠∆∆22y x o y x ，即()()0,0,f y x f z -∆∆=∆()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆≠220,00,0y x o y f x f y x ，故()xy y x f z ==,在()0,0处不可微，偏导数不连续（偏导连续则可微的逆否命题）。

高等数学一、试解下列各题：1．[6分]求函数22y x u -=在点（1，1）沿与x 轴正向成角 60=a 方向的方向导数。

2．[6分]计算ds y x L ⎰-)(2，其中L 是圆周122=+y x 。

3．[6分]将函数)10ln()(x x f +=展开成x 的幂级数并指出收敛域。

4．[6分]求微分方程1)1(=''-y x 的通解。

5．[6分]求微分方程xe x y y y 22=+'-''的一个特解。

二、[12分]求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆的长半轴与短半轴之长。

三、[10分]函数),(y x z z =由方程0,,=）（x z z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。

四、[10分]由曲面z y x -=+222与22y x z +=所围成立体为Ω，其密度为1，求Ω关于z 轴的转动惯量。

五、[10分]计算∑+⎰⎰∑,22dxdy y x e z 是由锥面22y x z +=，平面1=z 和2=z 所围成的圆台的侧面的下侧。

六、[12分]计算曲线积分dy e x dx y e y L x )()(22-+-⎰，式中L 是由点)0,0(0沿曲线23x y =至点)1,1(A 的一段。

七、[8分]设 ,,,,21n a a a ，是正项单调递增数列，问级数++++n a a a a a a 21211111何时收敛，何时发散？证明你的结论。

八、[8分]设平面π在平面022:1=-+-z y x π和平面062:2=-+-z y x π之间，它把平面1π与2π之间的距离分为3:1，求平面π的方程。

参考答案：一、1．31-=∂∂l u 2．π-3．n nn n x n x 10)1(10ln )10ln(11⋅-+=+∑∞=- 1010≤<-x 4．21)1ln()1(c x c x x y ++--= 5．xe x y 4*121= 二、长半轴：61311+=a ， 短半轴61311-=b 三、])()([)(12223123222dy xzF F y x dx yzF F x yz F z xyF xy z dz -+--= 四、π154=z I 五、)(22e e -π 六、51- 七、当1lim ≤∞→n n a 时原级数发散，否则原级数收敛。

高等代数试卷（2）1． 填空题：（2×10=20）1．若向量组可由线性表示，且r>s,则线性。

2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。

5．设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。

6．设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是。

7．令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，，则关于基下的矩阵是。

8．设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且（单位变换），则是变换。

9．欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。

10．设是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。

二．判断题（每题1分，计10分）1．设。

（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。

（）3．若，，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。

（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。

（）6．设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。

（）7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。

（）8．设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。

（）9．两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。

（）10．实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。

（）三、证明题（10×3=30）1．在一个欧氏空间里，对任意向量有不等式；且仅当线性相关时等式成立。

2．设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使得。

3．设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.四、计算题（15×2=30）1．设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。

2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。

3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。

5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。

3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。

5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。

2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。

4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。

长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分16分，每小题4分）1．已知11xf x x =-()()，为使f x ()在0x =点连续，则应补充定义0f =() ．2．已知225lim 232n a n bn n →∞++=-，则a = ，b = ．3．设f x ()的一个原函数是cos x ，则f x '=() ．4．已知220d sin d d x t t x =⎰ ．二、选择题：（本题总分16分，每小题4分） 1．设f x ()在0x x =处可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()2．下列函数在1, e []上满足拉格朗日定理条件的是( )A ．ln ln xB ．1ln x C ．ln xD ．ln 2x -() 3．根据估值定理，积分201d 103cos x x+⎰π的值在区间( )内A ．7, 13[]B ．0, 2[]πC ．11, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 4．函数3226187f x x x x =--+()的极大值是( )A ．10B ．11C ．17D ．9三、计算题：（本题总分64分，每小题8分） 1．求极限120lim 1xx x →+().2．若隐函数y y x =()由方程22ln arctanyx y x+=()确定，求y x '(). 3．设曲线C 的参数方程是()2e ee e t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，求曲线C 上对应于ln2t =的点的切线方程.4．求x . 5．求0x ⎰.6．求330+e e d lim2xx t x t tx-→∞⎰. 7．求2 cos d x x x ⎰.8．已知曲线22y x x =-与2g x ax =()围成的图形面积等于323，求常数a . 四、证明题：（本题总分4分，每小题4分）设f x ()在a b [,]上连续，在a b (,)可导，且0f x '≤()，记d xaf t tF x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分20分，每小题4分）1．极限201sinlimsin x x x x→的值为( ) A ．1 B ．∞ C ．不存在 D ．02．若函数e , 0sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩()在0x =处可导，则a ，b 的值为( )A ．21a b ==,B ．12a b ==,C ．21a b =-=,D ．21a b ==-,3．设函数221xf x x =+()，则f x ()在( ) A ．-∞+∞(,)上单调增加 B ．-∞+∞(,)上单调减少 C ．11-(,)上单调增加，其余区间单调减少 D ．11-(,)上单调减少，其余区间单调增加4．设f x ()连续，则22d d d x tf x t t x -=⎰() ( ) A ．212f x () B ．2xf x () C ．22xf x ()D ．22xf x -() 5．设线性无关的函数123, y y y ,都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x '''++=()()()的解，12C C ,是任意常数，则该非齐次方程的通解可以是( )A ．11223C y C y y ++B ．1122123C y C y C C y +-+() C ．11221231C y C y C C y +---()D ．11221231C y C y C C y ++--()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．已知函数211f x x =+()，则0f '''=() ． 2．微分方程230y y y '''++=的通解为 ． 3．20ln cos limx xx →= ．4．22sin d 1cos x x x x-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ππ ．5．21ln d 1xx x +∞=+⎰()． 三、解答题：（本题总分60分，每小题10分）1．求函数ln 1sin f x x a x bx x =+++()()，3g x kx =()，若f x ()与g x ()在0x →时是等价无穷小，求a ，b ，k .2．设2arctan 2e 5tx t y ty =⎧⎨-+=⎩确定了函数y y x =()，求y x '(). 3．计算1x ⎰，其中1ln 1d x t f x t t +=⎰()(). 4．证明：21arctan ln 12x x x ≥+().5．过曲线0y x =≥()上点A 做切线，使该切线与曲线及x 轴围成的平面图形D 的面积等于34. (1) 求A 点的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 6．设0e d xx f x x t f t t =--⎰()()()，其中f x ()是连续函数，求f x ().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．设函数 22f x x x =-<<(),，则1f x -()的值域为( )A ．[0,2)B ．[0,3)C ．[0,2]D ．[0,3] 2．当0x →时，要1cos x -与等价，则a 应等于( )A ．14B ．4C ．12D ．23．设f x ()在0x 点可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()4．设f x ()在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且00f x M f '≤=(),() ，则必有( ) A ．f x M ≥() B ．f x M >() C ．f x M ≤()D ．f x M <()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分）1．设x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(),()()，则1d d t y x == ．2．设y f x y =+()，其中f 具有一阶导数，且其一阶导数不等于1，则d d yx= ． 3．设ln y f x =()且f x ''()存在，则22d d yx= ．4．当0a >时，反常积分0e d ax x +∞-=⎰ ．5．微分方程2yy x'=的通解为 ． 三、计算题：（本题总分30分，每小题6分）1．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求函数2ln x y x=的单调区间.3．求不定积分1d 1x x x -⎰().4．求定积分0a x x ⎰，其中0a >. 5．求一阶线性微分方程d 1cos d y y x x x +=满足条件21x y π==的特解. 四、解答题：（本题总分20分，每小题10分）1．已知一平面图形由曲线0, 1, x x y ===x 轴围成，求(1) 此平面图形的面积；(2) 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积. 2．求微分方程e x y y ''+=的通解. 五、应用题：（本题9分）已知制作一个背包的成本为40元，如果一个背包的售出价为x 元，售出的背包数由8040an b x x =-+--()给出，其中a , b 为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？六、证明题：（本题5分）设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0f x '≤()，记d xaf t t F x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．极限lim 3x x →∞+的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在2．下列函数f x ()在12-[,]上满足罗尔中值定理条件的是( )A．f x =() B ．2f x x x =() C ．arccos f x x =() D ．cot 2xf x π=()3．下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数 ( )A ．2sin xB ．2cos x -C ．cos2x -D ．225sin 4cos x x + 4．设f x ()在a b [,]上连续，则d d d ba x f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰() ( ) A ．d b af x x ⎰() B ．bf b af a -()() C ．[]d ba x fb f a f x x-+⎰()()()D ．d baf x x xf x +⎰()()二、填空题：（本题总分16分，每小题4分） 1．函数1arcsin 3x f x -=()的定义域为 ． 2．201cos 3limx xx→-= ． 3．设x a y x π=+，则y '= ． 4．若0a <，= ．三、计算题：（本题总分50分，每小题10分）1．计算极限sin cos 30e e lim x x xx x→-. 2．设参数方程(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求22d d y x .3．计算不定积分12ln d 1xx x x+-⎰，其中1x <. 4．计算定积分291x -⎰.5．求函数2ln xy x=的单调区间与极值.四、应用题：（本题10分）在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点050M (,)的距离最小. 五、证明题：（本题8分）设f x ()在(,)a b 内连续，可导且f x '()单调递增，0x a b ∈(,)，记00000 f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩()(),()(),，证明：()x ϕ在(,)a b 内也单调递增.长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．如果0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a = ． 2．函数22132x f x x x -=-+()的可去间断点为 ．3．函数e x y x -=的拐点为 ．4．已知y =d x y = ．5．微分方程8150y y y '''++=的通解为 ． 二、求下列极限：（本题总分12分，每小题6分）1．1x →； 2．011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭().三、求下列导数：（本题总分12分，每小题6分）1．设e sin x y x -=，求y ''； 2．已知tan y x y =+()，求y '. 四、求下列积分：（本题总分18分，每小题6分）1．x ； 2．2e d 1e xx x x +⎰()； 3．0222d 22x x x x -+++⎰. 五、解答题：（本题总分30分，每小题10分）1．当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2．求抛物线22y x =与其在点112⎛⎫⎪⎝⎭,处的法线所围成的图形的面积.3．求微分方程2ln xy y x x '+=满足条件119y =-()的解.六、证明题：（本题8分）设f x ()在[0, ]a 上连续，证明：0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰()().。

1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 2/3C. 1/2D. 3/4答案：A解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，而√2是一个无理数。

2. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(5)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C解析：将x=5代入函数f(x) = 2x - 3中，得到f(5) = 25 - 3 = 10 - 3 = 7。

3. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

已知∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = 180° - 60° - 45° = 75°。

4. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 29B. 31C. 33D. 35答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

将a1 = 2，d = 3，n = 10代入，得到an = 2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。

5. 若方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解x1和x2满足x1 + x2 = -b/a。

将方程x^2 - 4x + 3 = 0代入，得到x1 + x2 = -(-4)/1 = 4。

6. 已知函数f(x) = -2x + 5，若f(3) = y，则y的值为______。

答案：y = -23 + 5 = -6 + 5 = -17. 在△ABC中，若AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，则△ABC是______三角形。