复数代数形式的乘除运算公开课

第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。