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复数代数形式的乘除运算(公开课)

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复数代数形式的乘除运算公开课导学案

复数代数形式的乘除运算公开课导学案

课堂教学导学案 1.掌握复数代数形式乘、除法运算法则，熟练地进行复数的乘、除法运算；了解共轭复数的定义及性质；进一步提高复数代数形式的四则运算的能力。

2.学生通过“回顾－探究－巩固－小结”的过程中了解复数代数形式的四则
运算法则。

3.通过对实数的乘除法运算法则及运算律推广到复数的乘除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰的认识，同时培养学生的科学思维方法。

一、自主学习(基础知识）：
一、复习引入
1. 已知两复数12,()z a bi z c di a b c R =+=+∈、、，那么
（1）加法法则：
（2）减法法则：
即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 进行合并同类项 2. =±2
)(b a
=-+)(b a b a ）（
二、探究新知
根据以前所学知识，完成下题
()()?a bx c dx ++=
类比多项式乘法，尝试完成下题
()()?a bi c di ++=
归纳出复数乘法法则：
三、例题讲解
例1.计算：
（1）i i ）（+2 （2）
)3(2-1i i +）（ （3）(12)(34)(2)i i i -+-+
变式练习：计算(2)(32)(13)i i i ----+
例2.计算：（1）(34)(34)i i +- （2）2
(1)i +
观察：34i +和34i -有什么关系？那这样的两个复数有怎样的名称呢？
探究：类比实数除法运算，试探求复数除法法则？
复数除法定义：
复数的除法法则：。

复数代数形式的乘除运算 课件

复数代数形式的乘除运算 课件

(2)写出 z ，把 z 与 z 代入直接运算． (3)等式左边做乘法，根据复数相等求 x，y 的值． 【自主解答】 (1)(1＋i)(－1－i)( 3＋i)(1＋ 3i) ＝－(1＋i)(1＋i)(－ 3i2＋i)(1＋ 3i) ＝－i(1＋i)2(1－ 3i)(1＋ 3i) ＝－i(2i)[12－( 3i)2] ＝8.
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i.
in的周期性及应用
计算 i1＋i2＋i3＋…＋i2 012. 【思路探究】 本题中需求多个 in 和的值，求解时可考 虑利用等比数列求和公式及 in 的周期性化简；也可利用 in＋in ＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
复数代数形式的乘除运算
加复数的乘法及其运算律
【问题导思】 1．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多 项式相乘，应如何规定两复数相乘？
【提示】 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只 要在所得的结果中把 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并 即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd) ＋(bc＋ad)i.
【自主解答】 法一： 原式＝i1－1－i2i012＝i[1－1－i2i1 006]＝i11－－i1＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴i1＋i2＋i3＋…＋i2012， ＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＝0.

公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件

公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件

解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di

复数代数形式的乘除运算公开课

复数代数形式的乘除运算公开课
一、复习：
1.复数的加减法法则
若z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R)则z1 z2 ? z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
ac bd bc ad (a bi) (c di) 2 2 2 2 i(c di 0). c d c d
探求
新知
设z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R, c di 0)
z1 a bi 则 ___________________ z2 c di
2.多项式的乘法法则
两个多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多 项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
3 4
1
1
2
3
4
2
(a+b)(c+d) = ac +ad+bc +bd
3 4
1
1
2
3
4
二、问题探究
若两个复数分别为 z1 a bi, z2 c di (a, b, c, d R), 你能否类比多项式的乘 法 法则计算z1 z2 （a bi)(c di) ?
26
29
25
2
7
2i
7 2i
49 4
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到, 实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y 都是实数, a bi . 记为：(a bi ) (c di )或 c di

复数代数形式的乘除运算 课件

复数代数形式的乘除运算 课件

也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1

复数代数形式的乘除运算 课件

复数代数形式的乘除运算 课件
点评：在复数范围内解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为 m＋ni，再利用复数相等 的充要条件解决问题．
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B

高中数学复数代数形式的乘除运算优秀课件

(3)什么是共轭复数？ zz ? zza2b2 共轭复数 z和z 对应的点有怎样的位置关系？
关于实轴对称
(4)复数的除法法那么，需要记式子吗 ？运用时可通过分母实数__化____法推导 得到，推导分几个步骤？
1.先把除式写成分式的形式
2.分子分母同乘以分母的共轭复数， 进行分母实数化
3.化简结果写成a+bi形式
25
1 2i 55
总结步骤
1、先把除式写成分式的形式 2、分子分母同乘以分母的共轭复数，进 行分母实数化 3、化简结果写成a+bi形式
练习: 1.计算
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕
2 P60 3题
2i(2i) (1i)(1i)
（ 1i） (2i)
( 12 i) ( 1-i)
答案-：2 4i 55
类比 ( 32)( 31) ( 31)( 31) 2、分母有理化
2、分母实数化 (abi)(cdi)
3 32 32
(cdi)(cdi)
31
1 3 2
(acbcd )2 (db2 cad )i
1 3 3、结果中的根式分开写 3、写成a+bi acbdbcadi
22
c2 d2 c2 d2
复数的除法法那么
例1 z1=1-2i, z2=3+4i, z3=-2+i，求：
①z1 z2=
11-2i
③(z1 z2) z3=
-20+15i
②z2 z1 =
11-2i
④z1( z2 z3)=
-20+15i
⑤z1( z2+ z3)=
11+3i⑥z1 z2 ຫໍສະໝຸດ z1z3=11+3i

复数代数形式的乘除运算 课件

复数代数形式的乘除运算
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成 －1，并且把实部与虚部分别合并即可.
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
跟踪训练1 在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示 的点在第四象限，则b的取值范围是_(_－__∞__，__－__12_)___.
解析 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i，
由题意知22－ b＋b>1<00，， 解得 b<－12.
类型二 复数代数形式的除法运算
例1 (1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝_2_i_. 解析 ∵xi－y＝－1＋i，
∴－y＝－1， x＝1，
得xy＝ ＝11， .
则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
(2)已知复数 z1＝(12－32i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，则 z2＝__4_＋__2_i__. 解析 z1＝(12－32i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
知识点三 复数的除法法则
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 思考 类比根式除法的分母有理化，比如3－ 2＝3－ 23＋ 2，你能 写出复数的除法法则吗？ 答 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.

复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件

1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究

复数代数形式的乘除运算优秀课件


．
z 的实
3 + 4i
动手试试
1 (1) （2011年四川理2）复数 −i + = i
1 + 2i ，则复数 z = (2)（2011年江西理1）若 z = i
1.复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意 运算法则和方法，在乘法运算中注意把 i 2 换成－1，在除 法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
2.(2011年全国大纲理1)复数 z 则 z z − z −1 = ．
．
= 1 + i， 为 z 的共轭复数， z
3.(2011年广东理1)设复数 z满足 (1 + i ) z = 2，则
z=
．
1 + ai 4.(2011年安徽理1)复数 为纯虚数，则实数 a = 2−i
5.(2011年江苏3)设复数 z 满足 i ( z + 1) = −3 + 2i ,则 部是 ．
例1:计算 (1) (1 + 2i )(3 − 4i ) (3) (1 + i ) 2 (2) (1 − 2i)(3 + 4i)(−2 + i ) (4) (2 − i ) 2
动手算算，你发现了什么？ 动手算算，你发现了什么？ (1) (3 + 4i )(3 − 4i ) (2) i1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i 8
探究1 探究1:复数除法的定义 满足 (c + di)( x + yi ) = (a + bi) 的复数 x + yi ( x, y ∈ R) 叫复数 a + bi 除以复数 c + di 的商.
( 记作： a + bi ) ÷ (c + di ) 或
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思考：能否利用in的周期性化简？
知识拓展提升
探究： -i i4＝____ i -1 i3＝____; 1 ． i1＝____; i2＝___;
i， i5＝___
-1 ，i7＝____ -i ，i8＝_____ i6＝____ 1 ．
虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 注意：n也可以推广到整数集．
ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
分母实数化
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以
分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).
变式训练 计算： 1 3i 1 2i
解：
1 3i 1 3i 1 2i 原式 1 2i 1 2i 1 2i
32 (4i ) 2 9 (16) 25
2 (1 i ) （2）
1 2i i 1 2i 1 2i
2
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算 , 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
探求
新知
3.共轭复数：
设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相 等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共 轭虚数．
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
探求
探究1：
新知
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考： 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R， 则 z 1· z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z 1· z2等于什么？
变式训练
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010， 则 iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011 1－i2011 ＝ －2011i2011 1－i 1－i4502i3 ＝ －2011(i2)1005i 1－ i ＝2012i. 2012i 2012i1＋i ∴S＝ ＝ ＝－1006＋1006i. 2 1－i
探求
新知
2
1.复数的乘法法则：
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
ac adi bci bd
（ac bd ) (bc ad )i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 换成－1，然后实、虚部分别合并.
1 2 i i
解： 2 原式 2i i
21 2i 3 i
原式
3 i 6i 2i
3 i 6i 2
5 5i
2
1 2i
例题
讲解
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i).
解:原式= (3 4i 6i 8i )(2 i )
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z, 记 z a bi
探求
探究3： 若z
新知
a bi ，z a bi 是共轭复数，那么
2 2
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（3）z z 与 z , z 有何关系？
（2）z z 是一个怎样的数 ？
y
结论：
（1）关于实轴对称 （2） z z a 2 b2
普通高中课程标准实验教科书-人教版A版-选修2—2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
授课人：陈小燕
授课班级：高二（13）班
温故
夯基
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
方法总结： 1、先写成分式形式 2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以 分母的共轭复数) 3、化简成代数形式就得结果.
5 5i 1 i 5
考点突破
复数的乘除法
1、计算
(1)( 3 2i ) 3 2i
解：
原式


2
1 i 2 i (2) i
课堂
小结
1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？
2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数
之间有什么性质？
3、复数除法的运算法则是什么？
布置
作业
1、课本P112页 习题3.2A组 2、《导与练》P50—51页
巩固
求 a , b 的值.
提升
2 若 3 2i 是关于 x 的方程 x ax b 0(a, b R) 的一个根，
2i 3
2
原式
3 i i
2i 2 3
5
1 3i i 2 1 3i
i i
共轭复数 （ i 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数 z 1 2i
2
A
）
C. 1 i
2
D. 1 i
【思路点拨】 z z z z
i的运算性质及应用
5、计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和公式化简
i1－i2010 i[1－i21005] 【解】 法一： 原式＝ ＝ 1－i 1－ i i· 1＋1 2i1＋i ＝ ＝ 2 1－i ＝－1＋i.
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
复数的除法法则
a bi (a bi ) (c di ) c di
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 c 2i 是方程 x ax b 0 的根
2
3 2i a 3 2i b 0
2
5 3a b 12 2a i 0
5 3a b 0 a 6 12 2a 0 b 13
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0 ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N) ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋ …＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复 数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
D
）
1 3i z 是z的共轭复数，则 z 的模 3、已知复数 z ， 3 i 等于（ C ）
A.4 B.2 C.1
1 D. 4
共轭复数
z 是复数 z 4、（2013年高考安徽卷）设 i 是虚数单位，
的共轭复数，若 z z i 2 2 z 则 z 等于（ A. 1 i B.1 i
2
= (11 2i )(2 i ) = 22 11i 4i 2i = 20 15i
2
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例题
讲解
互为相反数
2 (1 i ) （2）
例3.计算： （1）(3 4i)(3 4i) 解： 相等 （1） (3 4i)(3 4i)
即：乘积的结果是一个实数
z1
x
O
z2
（3） z z z z
2
2
探求
探究4：
新知
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z1 ? 则 ＝_______________________ ． z2
例题
例4.计算
讲解
(1 2i) (3 4i)
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
2
探求
新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 z 2· z1 z 1· z2＝_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
例题
讲解
例1：计算