《复数代数形式的乘除运算》
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复数代数形式的乘除运算课件
2 + 3a = 2b,
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z 1、23交换律 z 1·z 2＝____________ 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝__________乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝____________3．设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝___________叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的________虚数，且z ＋z ＝______，z －z ＝________，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．a ＋b i c ＋d i＝_____________________________. 5．设i 为虚数单位，则i 1＝______，i 2＝______，i 3＝_______，i 4＝______.一、选择题1．复数i 3(1＋i)2等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i2．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．33．设i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝15．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题 6．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．8．若21－i＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.三、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i 2换成－1.2．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．3．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．3．2.2 复数代数形式的乘除运算答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．3．a －b i 共轭 2a 2b i x 轴4．ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i ≠0) 5．i －1 －i 1作业设计1．A [i 3(1＋i)2＝i 3·2i ＝2i 4＝2，选A.]2．B [∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]3．A [∵i ＋1i －1＝(1＋i )2－(1－i )(1＋i )＝2i －2＝－i ， ∴i 3(i ＋1)i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.] 4．D [x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1.]5．D [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2.∴z z ＝z 2z ·z ＝(2±2i )28＝±i.] 6．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1－i ＝－2i.7．2解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i. 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋32＝2. 8．2解析 由21－i＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)， ∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )，由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )i (3－2i )i＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i＝－1＋i. 10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 11．A [∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．]12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2k ＝22， ∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3 （同学们课后证明）
1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 2. 计算:(1) (3+4i)(3-4i); 解:(1) (3+4i)(3-4i) (2) (1+i)2
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
所以
z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i, z1 z2=z2 z1
探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规 定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数 除法的法则. 复数除法的法则是:
( a bi ) ( c di ) ac bd c d
2 2
bc ad c d
2 2
i ( c di 0 ).
方法:在进行复数除法运算时,通常先把 a bi 的形式,再把分子与 ( a bi ) ( c di ) 写成
(2) (1+i)2
=32-(4i)2
=9-(-16)
=1+2i+i2
=1+2i-1
=25.
复数代数形式的乘除运算
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的乘除法
ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数代数形式的乘除运算 课件
(2)写出 z ，把 z 与 z 代入直接运算． (3)等式左边做乘法，根据复数相等求 x，y 的值． 【自主解答】 (1)(1＋i)(－1－i)( 3＋i)(1＋ 3i) ＝－(1＋i)(1＋i)(－ 3i2＋i)(1＋ 3i) ＝－i(1＋i)2(1－ 3i)(1＋ 3i) ＝－i(2i)[12－( 3i)2] ＝8.
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i.
in的周期性及应用
计算 i1＋i2＋i3＋…＋i2 012. 【思路探究】 本题中需求多个 in 和的值，求解时可考 虑利用等比数列求和公式及 in 的周期性化简；也可利用 in＋in ＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
复数代数形式的乘除运算
加复数的乘法及其运算律
【问题导思】 1．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多 项式相乘，应如何规定两复数相乘？
【提示】 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只 要在所得的结果中把 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并 即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd) ＋(bc＋ad)i.
【自主解答】 法一： 原式＝i1－1－i2i012＝i[1－1－i2i1 006]＝i11－－i1＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴i1＋i2＋i3＋…＋i2012， ＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＝0.
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数代数形式的乘除运算 课件
温馨提示 在进行复数的乘法运算时，要将 i2 化为－ 1；在进行复数的除法运算时，要将分母化为实数．复数 的乘除运算的结果都要写为 a＋bi(a，b∈R)的形式．
类型 1 复数代数形式的乘法运算(自主研析)
[典例 1] (1)(全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
类型 2 共轭复数 [典例 2] 已知复数 z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚 数，求 z 的共轭复数z- . 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R) 则z- ＝a－bi 且|z|＝ a2＋b2＝1，即 a2＋b2＝1.① 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i， 而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以 3a－4b＝0，且 3b＋4a≠0.②
类型 3 复数代数形式的除法运算 [典例 3] 计算： (1)32＋－23ii－32－＋23ii； (2)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3. 解：(1)法一 32＋ －23ii－32－ ＋23ii＝ （3＋2i）（（2＋ 2－3i3）i）－（（2＋ 3－3i2）i）（2－3i）＝ 6＋13i－46－ ＋69＋13i＋6＝2163i＝2i.
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称 这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z- 表示．即 z＝a ＋bi，则z- ＝a－bi．
4．复数的除法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)， 则zz21＝ac＋＋dbii＝_ac_c2_＋ ＋__bd_d2_＋__bc_c2_－ ＋__ad_d2_i ．