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第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算基础过关练题组一复数的乘法及运算律1.(2019北京朝阳高三二模)复数i(1+i)的虚部为( )A.√2B.1C.0D.-12.(2019广西南宁高二下学期期末)已知i是虚数单位,则(2+i)i=( )A.1+2iB.-1+2iC.-1-2iD.1-2i3.(2019安徽合肥一中高考模拟)已知复数z=(1+i)(3-i)(i为虚数单位),则z的虚部为( )A.2B.2iC.4D.4i4.若复数z=(3-6i)(1+9i),则( )A.复数z的实部为21B.复数z的虚部为33C.复数等于57-21iD.在复平面内,复数z对应的点位于第一象限5.i(2+3i)=( )A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i6.复数z=(-1+3i)(1-i)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(2019山东栖霞高考模拟)已知复数z=(a+i)(1-i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y=2x上,则实数a的值为( )A.0B.-1C.1D.-138.设z1,z2是两个复数,已知|z1|=2√2=1+i,且z1z2是纯虚数,求z1.题组二复数的除法运算9.(2020福建南安侨光中学高三月考)已知i是虚数单位,则复数5+3i4-i=( ) A.1+i B.-1+iC.1-iD.-1-i10.(2020重庆南开中学高三开学考试)已知复数z,若z的实部为1,且zi的模为2,则z=( )A.1-iB.1±iC.1+√3iD.1±√3i11.(2020重庆一中高三开学考试)已知复数z满足(1-i)z=-i2 019(其中i为虚数单位),则|z|=( )A.12B.√22C.1D.√212.(2020江苏启东中学高三开学考试)已知复数z满足(1+i)z=3-4i(i是虚数单位),则|z|= .13.(2020天津武清杨村一中高考模拟)已知i是虚数单位,复数z满足(1+2i)z=5,则z的虚部为.14.(2020天津实验中学高考模拟)已知z1=1+i,z2=1-i(i是虚数单位),则z1 z2+z2z1= .题组三共轭复数15.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考)复数z=a+bi(a,b∈R)是(2+i)(1+2i)的共轭复数,则a+b=( )A.5B.-5C.5iD.-5i16.(2019河北高三月考)若z=2-i1+i,则z+z=( )A.-1B.1C.-3D.317.复数z=21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i18.(2019河南濮阳高三月考)已知i 是虚数单位,若2+i=z(1-i),则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限19.(2019江西临川一中高三月考)若复数z 满足|z+3-4i|=2,则z ·z 的最大值为( ) A.9 B.81 C.7 D.4920.(2019天津新华中学高考模拟)设i 是虚数单位,若复数z=i1+i,则z 的共轭复数为 .21.(2019天津南开中学高考模拟)若复数z=1-2i1+i,则z ·z = .题组四 复数的混合运算22.(2019湖南长沙长郡中学高三月考)若i 为虚数单位,复数z 满足z(1+i)=|1-i|+i,则z 的虚部为( ) A.√2-12 B.√2-1 C.-√2+12iD.1-√2223.(2019河北唐山开滦第二中学高二下期中)设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若(z ·z )i+2=2z,则z= . 24.计算i 1+i 2+i 3+…+i 2 019+i 2 020(i 为虚数单位).25.已知z=1+i,a,b为实数,i为虚数单位.(1)若ω=z2+3z-4,求|ω|;(2)若z 2+az+bz2-z+1=1-i,求a,b的值.26.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=a+2i1-i,其中a,b∈R,i为虚数单位.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.能力提升练一、选择题1.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末,★★☆)复数z=1+ii在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2020山东淄博实验中学高三期末,★★☆)已知复数z=1-3i3+i,i 为虚数单位,则( ) A.|z|=i B.z =iC.z 2=1D.z 的虚部为-i3.(2019山东济南历城二中月考,★★☆)复数z=i 2 018+(1+i 1-i)2 019(i 是虚数单位)的共轭复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2019云南师大附中高三月考,★★☆)瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:e ix =cos x+isin x,根据三角方程,计算e πi +1的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.i5.(2019辽宁沈阳高二月考,★★★)复数2-i1+2i=A+Bi(m 、A 、B ∈R ),且A+B=0,则m 的值是( ) A.-23B.23C.√2D.26.(★★★)已知i 为虚数单位,且复数z 满足z-2i=11-i,则复数z 在复平面内对应的点到原点的距离为( )A.132B.√262C.√102 D.52二、填空题7.(2019湖北黄冈、华师附中等八校联考,★★☆)已知i为虚数单位,若1+2i+a1+i 是纯虚数,则实数a= .8.(★★☆)定义运算|a cb d|=ad-bc,若复数z满足|z1-ii|=-1+2i,则z= .三、解答题9.(★★★)已知复数z和ω满足|z|-z=41-i,且ω2=z,求复数ω.10.(★★★)已知复数z满足|z|=√2,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.(1)求复数z;(2)若复数ω满足|ω-1|≤|zz+i|,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.11.(2018上海金山高三二模,★★★)复数z=(12-√32i)2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若(m+ni)u+u=z(u∈C),求u.答案全解全析 基础过关练1.B ∵i(1+i)=-1+i,∴i(1+i)的虚部为1.2.B (2+i)i=2i-1=-1+2i.3.A 因为z=(1+i)(3-i)=4+2i,所以z 的虚部为2.4.D ∵复数z=(3-6i)(1+9i)=57+21i,∴复数z 的实部为57,虚部为21,在复平面内,复数z 对应的点的坐标为(57,21),位于第一象限.5.D i(2+3i)=2i+3i 2=-3+2i,故选D.6.A 由题得z=-1+i+3i+3=2+4i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(2,4),位于第一象限.7.D 因为z=(a+i)(1-i)=a+1+(1-a)i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(a+1,1-a),因为该点在直线y=2x 上,所以1-a=2(a+1),解得a=-13.故选D.8.解析 设z 1=a+bi(a,b ∈R), ∵|z 1|=2√2,∴√a 2+b 2=2√即a 2+b 2=8,①又z 1z 2=(a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i,且z 1z 2是纯虚数, ∴{a -b =0,a +b ≠0,② 由①②得,a=b=2或a=b=-2. ∴z 1=2+2i 或z 1=-2-2i. 9.A5+3i 4-i=(5+3i )(4+i )(4-i )(4+i )=17+17i 17=1+i,故选A.10.D 设z=1+mi(m ∈R ), 则|zi |=|1+mi i|=|1+mi ||i |=√m 2+1=2,解得m=±√3,∴z=1±√3i.故选D. 11.B (1-i)z=-i 2 019=i,则z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i 2=-12+12i,所以|z|=√(-12)2+(12)2=√22.12.答案5√22解析 ∵复数z 满足(1+i)z=3-4i(i 为虚数单位), ∴z=3-4i 1+i=(3-4i )(1-i )(1+i )(1-i )=-12-72i,∴|z|=√(-12)2+(-72)2=5√22.13.答案 -2解析 ∵(1+2i)z=5, ∴z=51+2i =5(1-2i )(1+2i )(1-2i )=1-2i,∴z 的虚部为-2. 14.答案 0 解析z 1z 2+z 2z 1=1+i 1-i +1-i 1+i =2i 2+-2i 2=0.15.B ∵(2+i)(1+2i)=2+5i+2i 2=5i=a-bi,∴{a =0,-b =5,解得{a =0,b =-5,因此a+b=-5. 16.B ∵z=(2-i )(1-i )2=12-32i,∴z =12+32i,∴z+z =1. 17.B z=21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i,∴z 的共轭复数为1-i.18.D 由2+i=z(1-i),得z=2+i 1-i =(1+i )(2+i )(1-i )(1+i )=12+32i,∴z =12-32i,则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为(12,-32),在复平面的第四象限.19.D 由题意可知,复数z 对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z ·z 表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|=√(-3)2+42=5,所以z ·z 的最大值为(5+2)2=49,故选D. 20.答案 12-12i解析 z=i1+i =i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i 2=12+12i,故z 的共轭复数为12-12i.21.答案 52解析 z=1-2i 1+i=(1-2i )(1-i )(1+i )(1-i )=-1-3i 2,∴z =-1+3i 2,∴z ·z =-1-3i 2·-1+3i 2=52.22.D z=√2+i 1+i =(√2+i )(1-i )2=1+√22+1-√22i,故z 的虚部为1-√22.23.答案 1+i解析 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi, 由(z ·z )i+2=2z 得(a 2+b 2)i+2=2a+2bi, ∴{2=2a ,a 2+b 2=2b ,解得{a =1,b =1,∴z=1+i. 24.解析 ∵i 1+i 2+i 3+i 4=0, ∴i n +i n+1+i n+2+i n+3=0(n ∈N *), ∴i 1+i 2+i 3+…+i 2 019+i 2 020=(i 1+i 2+i 3+i 4)+(i 5+i 6+i 7+i 8)+…+(i 2 017+i 2 018+i 2 019+i 2 020)=0. 25.解析 (1)∵ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,∴|ω|=√(2)∵z 2+az+b z 2-z+1=(a+b )+(a+2)i i =1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i,∴{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2.26.解析 z 1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z 2=a+2i 1-i =a+2i 1-i ·1+i 1+i =a+ai+2i -22=a -22+a+22i.因为z 1与z 2互为共轭复数,所以{a -22=-b -1,a+22=b -1,解得{a =-2,b =1.能力提升练一、选择题1.D z=1+i i =(1+i )ii =-(i-1)=1-i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.2.B z=1-3i 3+i =(1-3i )(3-i )(3+i )(3-i )=3-10i+3i 29-i =-i,所以|z|=1,z =i,z 2=(-i)2=-1,z 的虚部为-1. 3.B 因为z=i 2 018+(1+i 1-i )2 019=-1-i,所以 z =-1+i,所以z 对应的点在第二象限.故选B. 4.B ∵e ix =cos x+isin x,∴e πi +1=cos π+isin π+1=-1+1=0.5.A 因为2-mi 1+2i =A+Bi,所以2-mi=(A+Bi)·(1+2i),即2-mi=(A-2B)+(2A+B)i,由此可得{A -2B =2,2A +B =-m ,结合A+B=0可解得{ A =23,B =-23,m =-23,故选A. 6.B 由z-2i=11-i ,得z=2i+11-i =2i+1+i (1-i )(1+i )=12+52i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,52),该点到原点的距离为√14+254=√262.二、填空题7.答案 -2解析 1+2i+a 1+i =1+2i+a 2(1-i)=1+a 2+(2-a 2)i 是纯虚数,故1+a 2=0,解得a=-2,此时2-a 2=3≠0.故答案为-2.8.答案 1+i解析 ∵|z 1-ii|=iz+i,∴iz+i=-1+2i, ∴z=1+i.三、解答题9.解析 设z=a+bi(a,b ∈R),由|z|-z =41-i ,得2+b 2-a+bi=41-i =4(1+i )(1-i )(1+i )=2+2i,所以{√a 2+b 2a =2,b =2,解得{a =0,b =2, 所以z=2i.令ω=m+ni(m,n ∈R),由ω2=z,得(m+ni)2=m 2-n 2+2mni=2i,所以{m 2-n 2=0,2mn =2,解得{m =1,n =1或{m =-1,n =-1, 所以ω=1+i 或ω=-1-i.10.解析 (1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=√2,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限,得{ √x 2+y 2=√2,2xy =-2,x <0,y >0,解得{x =-1,y =1,∴z=-1+i. (2)由(1)知,z=-1+i,∴z z+i =-1-i -1+2i =(-1-i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=-1+3i 5=-15+35i, ∴|z z+i |=√(-15)2+(35)2=√105,∴复数ω满足|ω-1|≤√105. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,√105为半径的圆面, ∴所求图形的面积为π·(√105)2=2π5. 11.解析 (1)因为z=(12-√32i)2=-12-√32i,所以z =-12+√32i, 由题意知:z 、z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n ÎR)的两个根,所以{-n m =(-12-√32i)+(-12+√32i),1m =(-12-√32i)(-12+√32i), 解得{m =1,n =1.(2)设u=c+di(c,d ÎR), 则(1+i)(c-di)+(c+di)=-12-√32i,即2c+d+ci=-12-√32i,所以{2c +d =-12,c =-√32,解得{c =-√32,d =-12+√3, 所以u=-√32+(√3-12)i.。
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算双基达标 限时20分钟1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15iC ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C 3.－1＋3i 31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是 ( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i 3＋－2＋i i－2＋i＝－1i＋i＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 836．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 2＋2＋3i i 2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i.法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高 限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1 解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1， 所以1x 2－x＝－1，故选B. 答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝________.解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i ＝22＝1.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i.答案 －i11．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解 由z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．(创新拓展)复数z ＝1＋i 3a ＋b i 1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i 2·1＋i 1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
