线性系统解耦

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现代控制系统课件第5章

*
n1
n1
1*
* 0
i1
式中 i* (i 1, 2, n) 为期望的闭环极点（实数极点或共
轭复数极点）。
2021/1/4
20
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
x Tc1x
能将∑0化成能控标准I型： x Ax bu yc x
式中
0 1 0
A
T 1 c1
ATc1
0 0
0
0
a0 a1 a2
2021/1/4
16
5.1.5 闭环系统的能控性与能观性
定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 o (A, B,C)
的能控性。但不保证系统的能观性不变。
实际上，受控系统 o (A, B,C, D) 的传递函数为：
Wo (s) c[sI A]1b d
将∑0的能控标准I型代入上式，可知，引入状态反馈后传递函数的分子多项式不变，即零点保持不变。但分母
馈来实现闭环系统极点的任意配置。
证明对单输入一单输出反馈系统
h ((Abhc),b,c)
闭环传递函数为：
2021/1/4
27
式中 Wo (s) c(sI A)1b
为受控系统的传递函数。由闭环系统特征方程可得闭环根轨迹方程：
hWo (s) 1
当 Wo (s) 已知时，以 h(0 ) 为参变量，可求
2021/1/4
29
5.2.3 采用从输出到 x 反馈
定理5.2.4 对系统 o (A,b,c) 采用从输出
到 x的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件
是∑0完全能观。
证明根据对偶原理，如果 o (A,b,c) 能观。
~
则 0 (AT , cT ,bT )必能控，因而可以任意配置

基于线性化解耦的永磁直线伺服系统H_∞鲁棒控制器的设计

ｓｎｈｏｏｓｍｏｏＰＬＭ）ｓｒｏｓｓｅＴｈｏｌｅｏｒｉａｅｃｍｍｕａｉｎａｄｎｎｉｅｅｄｙｃｒｎｕｔｒ（ＭＳｅｖｙｔｍ．ｅｎｎｉａｃｏｄｔｏｎｒｎｔｔｎｏｌａｆｅ－ｏｎｒ
ห้องสมุดไป่ตู้
文章编号：０１— ２５２１）３—０４０１０２６（０１Ｏ０１— ４
基于线性化解耦的永磁直线伺服系统Ｈ∞鲁棒控制器的设计术
蓝益鹏，杨波，振兴张
（阳工业大学电气工程学院，阳１０７）沈沈１８０
第３期
组合机床与自动化加工技术
ＭｏｄａｒＭａｈｉｏｕｌｃｎｅＴｏｌ＆ＡｕｔａｉａｎａｔｉｇＴｅｈｎｑｕｏｍｔｃＭｕｆｃｕｒｎｃｉｅ
Ｎ０３．
２１０１年３月
Ｍａ．２１ｒ０１
ｂｃｅｕｅｒｄｃｕｎｈｅｖｏｕａｔｃｅｉｅｕｒｅｔｓｂ－ｙｓｅｎｐｅｄｓｂ－ｙｓｅ．ａｋａｓｄｆｅｏｐｌｇｔｅｓｒｏｔｎｔａｈｄｌａｃｒｎｕｓｔｍａｄｓｕｓｔｍＡｎｒｏｉｎｒｅＨｒｂｓｏｒｌｒｉｄｓｇｅｏｒａｉｅｓｅｔａｋｇｃｎｒ．ｉｕａｉｎｒｓｔｈｏｔａｈｓｃｎｒｌｏｕｔｃｎｔｏｌｓｅｉｄｔｅｌｐｅｄ－ｒｃｉｏｔｏ１ＳｍｌｔｏｅｕｌｓｓｗｈｔｔｉｏｔｏｅｎｚｎｓｈｍｅｍａｅｈｃｅｋｓｔｅＰＭＭｓｒｏｓｅｈａｅｇｄｒｂｓｐｅｄｔａｋｇｐｅｆｒａｃ．ＬＳｅｖｙｓｍｖｏｏｏｕｔｓ－ｒｃｉｒｏｔｅｎｍｎｅＫｅｒｓ：ＮＣａｈｅｔｏ；ｌｅｒｍｏｏ；ｐｅｄ－ｔａｋｇｃｎｒｌｅｄａｋｌｅｉａｉｎ；Ｈｒｂｕｔｙｗｏｄｍｃｉｏｌｉａｎｎｔｒｓｅｒｃｉｏｔｏ；ｆｅｂｃｉａｚｔｏｎｎｒｏｓ

线性定常系统的Petri网解耦控制

摘要: 将Petri网与现代控制理论相结合, 应用于连续系统的性能分析如可控性、可观性和稳定性等已日益普遍, 但Petri网应用于系统的解耦控制研究很少. 提出了广义连续自控网系统的形式化定义, 描述了线性定常系统的广义连续自控网系统模型并分析了广义连续自控网系统模型与状态空间描述的等效性. 基于状态反馈动态解耦的基本原理, 探讨了利用Petri网模型结构实现线性定常系统解耦控制的新方法. 该方法采用图的遍历算法, 可有效的判断系统的可解耦性以及实现解耦控制律, 避免了传统解耦控制方法中计算所需的大量矩阵运算. 最后给出了两个具体的应用实例. 关键词: 线性定常系统; Petri网; 广义连续自控网系统; 解耦; 模型结构; 状态反馈中图分类号: TP301 文献标识码: A
若在广义自控网系统中, 对∀s ∈ S , 令KL (s) = 0, KH (s) = ∞, 且W : F → N ∪ S , 则广义自控网系统就成为自控网系统. 因此广义自控网系统状态方程可写成文 [20]中给出的自控网系统的状态方程形式为
2
广义连续自控网系统 (Generalized continuous cyber net system)
Petri nets decoupling control for linear time-invariant systems
WAN Jun1,2† , ZHAO Bu-hui1
(1. School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013, China; 2. School of Urban Railway Transportation, Changzhou University, Changzhou Jiangsu 213164, China)

解耦算法

解耦原理
算法流程图
对于输出和输入变量个数相同的系统，如果引入适当的控制规律，使控制系统的传递函数矩阵为非奇异对角矩阵，就称系统实现了完全解耦。使多变量系统实现完全解耦的控制器，既可采用状态反馈结合输入变换的形式，也可采用输出反馈结合补偿装置的形式。
已证明，系统可用状态反馈和输入变换，即通过引入控制规律u=-Kx+Lv，实现完全解耦的充分必要条件是矩阵E为非奇异。这里，u为输入向量，x为状态向量，v为参考输入向量，K为状态反馈矩阵，L为输入变换矩阵。对于满足可解耦性条件的多变量系统，通过将它的系数矩阵A，B，C化成为解耦规范形，便可容易地求得所要求的状态反馈矩阵K和输入变换矩阵L。完全解耦控制方式的主要缺点是，它对系统参数的变动很敏感，系统参数的不准确或者在运行中的某种漂移都会破坏完全解耦。
解耦思想提出
在多变量系统中，由于被控对象各个通道之间相互铰链，一个输入信号的变化会引起多个输出量的变化，每个输出也不止受一个输入的影响，系统的这种相互关联称之为藕合，在存在着耦合的系统中，即使精心选择输出与控制输入之间的配对关系，也难免存在相关现象，所以使输出独立地跟踪各自的设定值有一定困难。这时，再设计相应的控制器来跟踪系统的输入就比较容易了。解耦控制的思想最早是由Gilbert E.G.完成的。当时称为 Morgan问题。解耦问题是多输入多输出(MIMO)线性定常系统综合理论的一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制，而且不同的输出分量受不同的输入分量控制，从而可以运用经典的控制系统综合方法进行系统校正，以使系统的动静态性能及各项指标满足工程需要。
解耦控制算法流程图如图1所示：图1
感谢观看
解耦方法分类

设计串联解耦环节实现系统的解耦控制 (自动保存的)

馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明
显的物理意义，因而输出反馈易实现。
对于式(2.1)描述的线性系统，当将系统的控制量取为输出的线性函数
(2.4)
时，称之为输出反馈，其中其中为维参考输入向量，为矩阵，称为输出反馈增益矩阵。
将式(2.4)代入式(2.1)，可得到采用输出反馈后闭环系统的状态空间方程
3.
3.
3.
对于具有相同输入、输出个数的MIMO线性定常系统
(3.8)
设为系统的输入输出个数，可采用控制规律，即存在输入变换阵和状态反馈矩阵对进行解耦的充要条件是：可解耦性判别矩阵为非奇异。且当选取为时，解耦控制系统的传递函数矩阵为
(3.9)
其中，与是解耦控制中两个基本特征量。对对角线上第一个元素可提出第个极点要求，并有
2.
设不完全能控的多输入系统为
(2.21)
经过坐标变换，即经过能控结构分解，式(2.21)可写成
(2.22)
式中，为能控子系统，由于坐标变换不改变系统的极点，所以式(2.21)与式(2.22)系统的极点相同，它们的极点集为
(2.23)
极点为能控极点，为不能控极点，考虑式(2.22)系统的任意状态反馈
设计主要内容：
（1）求出系统的传递函数。
（2）设计串联解耦环节，并求出解耦后的系统传递函数。
（3）对解耦后的系统进行极点配置，并求出配置后系统的传递函数。
（4）绘制原系统及配置极点后系统的输出响应曲线图，并进行分析。
3.
3.
线性定常系统的状态空间表达式包括状态方程和输出方程，简写形式如下
(3.1)
式中，分别为维，维，维向量。式(3.1)中，上式为状态方程，下式为输出方程。状态空间表达式实际上是对MIMO系统的时域描述，而传递函数阵则是对系统的频域描述，把时域的数学模型转换成频域的数学模型，其基本方法是在零初始条件下取拉氏变换。因此，对式(3.1)在零初始条件下取拉氏变换，则有

基于神经网络技术的解耦及容错解耦控制策略

基于神经网络技术的解耦及容错解耦控制策略
解耦控制是一种用于解决控制系统设计问题的有效方法，其具有根据实际系统设计和参数优化调整动态性能的能力。

对于不确定参数的系统而言，<解耦控制>能够抑制系统受外部干扰的影响，并能实现可靠的运行和可靠性提高，以期实现最优的系统性能。

传统解耦控制以模糊控制和线性系统为基础，通过分析现有系统模型，在参数测量不精确或外部干扰大的情况下，以及少量状态变量和复杂计算模型，实现控制器的设计。

但是，现有的方法不能解决容错、可靠性和抗干扰能力等重要问题。

为了解决上述问题，基于神经网络的解耦控制研究受到了广泛的关注。

神经网络是一种有自学习能力的统计模型，能够在事先未知的复杂控制环境中表现出良好的性能。

它可以用于模拟复杂的参数，并在解耦控制中更好地抗扰动和容错性能，无需额外的非线性变换或模型参数估计。

在基于神经网络的解耦控制中，通过利用神经网络对系统参数进行建模，得到神经网络控制器，可以实现基于解耦规则的干扰抗性。

并且，由于神经网络具有高计算能力和高学习能力，不受参数偏差的影响，因此其容错能力也会比传统线性模型更强。

此外，神经网络能够快速收敛到正确的解，而不会陷入局部极小值，因此能更好地满足实时控制的要求。

因此，利用基于神经网络的解耦技术构建解耦控制策略。

它可以有效减少系统参数随外部干扰的改变，从而提升系统稳定性，可靠性和容错性。

此外，通过神经网络的自适应学习，使得解耦控制尽可能适应复杂系统环境的变化，实现更好的控制性能和智能服务。

第五章线性定常系统的设计与综合-课件

ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正常定阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章线性定常系统的设计与综合
二输出反馈输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有两种基本结构。一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端，或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2）性能指标的类型
性能指标非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。

线性系统理论(绪论)

008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型，可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具：数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。庞特里亚金极大值原理贝尔曼动态规划法可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年，波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性，难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。

(工业过程控制)10.解耦控制

动态解耦
在系统运行过程中，通过动态调整控制参数或策略，实现耦合的实时解耦。
解耦控制的方法与策略
状态反馈解耦
通过引入状态反馈控制器，对系统状态进行实时监测和调整，实现解
耦。
输入/输出解耦
通过合理设计输入和输出信号，降低变量之间
的耦合程度。
参数优化解耦
通过对系统参数进行优化调整，改善耦合状况，实现更好的解耦效果。
通过线性化模型，利用线性控制理论设计控制器，实现系统解耦。
非线性解耦控制
针对非线性系统，采用非线性控制方法，如滑模控制、反步法等，实现系统解耦。
状态反馈与动态补偿解耦控制
状态反馈解耦控制
通过状态反馈技术，将系统状态反馈到控制器中，实现系统解耦。
动态补偿解耦控制
通过动态补偿器对系统进行补偿，消除耦合项，实现系统解耦。
特点
解耦控制能够简化系统分析和设计过程，提高系统的可维护性和可扩展性，同时降低系统各部分之间的相互影响，增强系统的鲁棒性。
解耦控制的重要性
01
02
03
提高系统性能
通过解耦控制，可以减小系统各部分之间的相互干扰，提高系统的整体性能。
简化系统设计
解耦控制能够将复杂的系统分解为若干个独立的子系统，简化系统的分析和设计过程。
调试和维护困难
耦合问题增加了系统调试和维护的难度，提高了运营成本。
解耦控制在工业过程控制中的实施
建立数学模型
01
对工业过程进行数学建模，明确各变量之间的耦合关系。
选择合适的解耦策略
02
根据耦合程度和系统特性，选择合适的解耦策略，如状态反馈、
输出反馈等。
控制器设计
03

常见的解耦方法_线性系统理论与设计_[共4页]

第章线性系统的综合２１５
展开式（６４８），可得
ｙ１（ｓ）＝ｇ１１（ｓ）ｕ１（ｓ）＋ｇ１２（ｓ）ｕ２（ｓ）＋… ＋ｇ１ｍ（ｓ）ｕｍ（ｓ）
ｙ２（ｓ）＝ｇ２１（ｓ）ｕ１（ｓ）＋ｇ２２（ｓ）ｕ２（ｓ）＋… ＋ｇ２ｍ（ｓ）ｕｍ（ｓ）
ｙｍ（ｓ）＝ｇｍ１（ｓ）ｕ１（ｓ）＋ｇｍ２（ｓ）ｕ２（ｓ）＋… ＋ｇｍｍ（ｓ）ｕｍ（ｓ）
出的多输入多输出系统化为ｍ个单输入单输出系统，简化了系统结构，使控制更容易实现。
+*$ 常见的解耦方法
１串联补偿器解耦
设耦合的被控系统∑０（Ａ，Ｂ，Ｃ），输入、输出信号均为ｍ维，其传递函数矩阵为Ｇｐ（ｓ）。采用串联补偿器解耦方法，就是在其前向通路串入补偿器Ｇｃ（ｓ），使闭环系统的传递函数矩阵成为非奇异对角矩阵。解耦后的系统，其ｍ个输入和ｍ个输出是相互独立的。系统示意
由展开式可以看出，每一个输出量都受到所有输入量的控制作用，每一个输入量都影响
所有的输出量。耦合作用使得各个被控量之间互相牵制影响，无法由某个单一的输入量控
制。不消除信号间的耦合作用，难以获得良好的控制性能。
由多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于传递函数矩阵中
的子传递函数ｇｉｊ（ｓ）≠０，ｉ≠ｊ（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ）造成的，使得ｙｉ不仅受到ｕｉ的作用，而且受到其他输入的作用。
若令ｇｉｊ（ｓ）＝０，ｉ≠ｊ（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ），则系统输出可表示为ｙ１（ｓ）＝ｇ１１（ｓ）ｕ）
ｙｍ（ｓ）＝ｇｍｍ（ｓ）ｕｍ（ｓ）
写成矩阵形式：
ｇ１１（ｓ）
Ｙ（ｓ）＝Ｇ（ｓ）Ｕ（ｓ）＝
ｇ２２（ｓ）
０
０Ｕ（ｓ）
ｇｍｍ（ｓ）
（６４９）
图如图６８所示，其中Ｇｃ（ｓ）为ｍ×ｍ维矩阵。

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（2）
0
0 gmm(s)
则称该系统是解耦的。
2021/5/4
3
串联动态补偿解耦
设耦合系统的传递函数矩阵为Gp (s)，要设计一个传递函数矩阵为Gc (s)的串联补偿器，使得通过反馈矩
阵H 实现如图所示的闭环系统为解耦系统。
R(s)
-
2021/5/4
ε(s)
U (s)
Gc (s)
Gp (s)
线性系统的解耦
耦合：控制量与被控量之间是互相影响、互相关联的，一个控制量的变化同时引起几个被控制量变化的现象。
❖ 解耦：消除系统之间的相互耦合，使各系统成为独立的互不相关的控制回路。
❖ 解耦方法：
2021/5/4
消除耦合串联补偿解耦状态反馈解耦
减小耦合选择变量配对调整控制器参数减少控制回路
2
设系统 A, B,C 是一个 m 维输入 m 维输出的系统，
x Ax Bu
y
Cx
若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵
（1）
g11(s) g12(s)
G(s)
g21
(s)
g22 (s)
gm1
(s)
g1m(s)
gmm (s)
g11(s) 0
0
G(s)
0
g22 (s)
0
水位表1
f1
h1
h2
f12
水位表2 泵2
f2
2021/5/4
31
偏差状态空间开环模型：
x1 x2
4
4
4 4
x1 x2
u1 u2
y1 y2
x1 x2
这里对水箱的结构进行了改造，两个水箱的水位偏差均可测量。
这就构成了一个2输入2输出2阶线性定常系统。
2021/5/4
9
[评注] 串联补偿器的传递函数矩阵Gc (s)还可以由补偿原理来确定。为此，首先设在串联补偿器的作用下，多输入-多输出系统已经得以解耦，并且具有要求的闭环传递函数矩阵Φ(s)。
2021/5/4
10
状态反馈解耦
设完全能控的多输入-多输出线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
的传递函数矩阵为
s s
s 4 s
8 8
4
s s
s 8
s4
s 8
U1(s) U2 (s)
显然这是一个耦合系统，在此我们进行状态反馈解耦控制设计。
2021/5/4
34
rH
uB
+
x x
+
A
y
C
F
4 4
1 0
A
4
4
B 0 1
状态反馈解耦控制律为
2021/5/4
u Fx Hr
1 0 C 0 1
均不为零，所以在给定系统中存在着耦合现象。
为确定矩阵E ，需要按照式
来计算。
Ei
lim
s
s
di
1Gi
(s)
E1
lim
s
s01G1(s)
lim
s
s 0 1
s2
s
3 3s
2
1 s 2
2021/5/4
23
1 1
E2
lim
s
s11G2
(s)
lim
s
s11
s2
1 5s
6
1 s2 5s 6
El
16
为非奇异。其中
Ei
lim
s
s
di
1Gi
(s)
为了使解耦系统
x (A BF )x BHr
y
Cx
具有式（7）所示的传递函数矩阵 Φ(s) ，状态反馈
矩阵 F 及输入变换矩阵 H 应取为：
2021/5/4
17
F E1N
H E1 其中l n 矩阵N定义为：
N
cc21
Ad1 1 Ad2 1
35
为确定矩阵E ，需要按照式
来计算。
Ei
lim
s
s
di
1Gi
(s)
E1
lim
s
s01G1(s)
lim
s
s
s
s4
s 8
1 0
4
s
s
8
2021/5/4
36
E2
lim
s
s01G2
(s)
4
lim
s
s
s
s
8
0 1
由此求得
s4
s
s
8
E
E1
E2
1 0
0 1
2021/5/4
37
由于 det E 0 ，故，矩阵 E 为非奇异，
1 1
2021/5/4
24
其中
d1 min 1,1 1 0 d2 min2, 2 11
由此求得
E
E1
E2
1 1
1 1
2021/5/4
25
由于 det E 0 ，故，矩阵 E 为非奇异，
满足给定系统实现积分型解耦的充分必要条件。
为确定矩阵 N，需要计算：
c1 Ad11 c1 A
写成时域动态关系为：
y1 y2
r1 r2
这是一个临界稳定的解耦系统。很遗憾，在实际
中是行不通的！
2021/5/4
41
现在可以分别对两个相互独立的通道进行进一步设计。
先考虑第一个通道 y1 r1 进一步引入输出反馈控制律 r1 5 y1
代入后可得 y1 5 y1 其中 5 就是人为配置的极点。
0
0
mm
(s)
7
r1
- 1 Gc11(s)
Gc21 ( s )
Gc12 (s)
r2
2021/5/4
- 2
Gc22 (s)
u1
y1
Gp11 ( s )
+
+
Gp21 ( s )
Gp12 (s)
+
+
u2
Gp22 (s)
y2
8
gc11 ( s) g p11 ( s) 1 gc11(s)gp11(s)
（5）
6
此时得到单位反馈串联补偿器的传递函数矩阵为
Gc (s) Gp1(s)Φ(s)I Φ(s)1
单位反馈解耦系统的开环传递函数矩阵为
（6）
G(s) Φ(s)I Φ(s)1
由于解耦系统的闭环传递函数矩阵 Φ(s) 为对角矩阵
11(s) 0
Φ(s)
0
22 (s)
0
0
2021/5/4
加状态反馈，按照性能指标要求将其极点配置到希望
2的021位/5/4 置上。
19
[例2] 已知完全能控的多输入-多输出线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
其中
1 A 0
0
1 2 1
0 0 3
1 B 1
0
1 1 0
C
1 0
0 0
0 1
2021/5/4
20
试确定用以实现积分型解耦的状态反馈矩阵和输入
y
Cx
为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：
Φ(s) C sI A BF 1 BH
2021/5/4
1
s
d1
1
0
0
0
1 sd2 1
0
1
0
0 sdl 1
（7）
14
其中l n 矩阵F 为状态反馈矩阵， l l 矩阵H为输入变换矩阵（非奇异矩阵），
di (i 1, 2, , l) 是非负整数，其值由式
G(s) C sI A 1 B
2021/5/4
11
G1(s)
G2
(s
)
Gl
(s)
为非对角线矩阵。
其中
x
n 维状态向量
u
l 维输入向量
y
l 维输出向量
2021/5/4
12
选取控制规律
u Fx Hr
使得如图所示的状态反馈系统
rH
uB
+
x x
+
A
y
C
F
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13
x (A BF )x BHr
再考虑第二个通道 y2 r2
同理可以引入输出反馈控制律 r2 5 y2
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42
最终得出完整的反馈控制律如下：
u Fx Hr
4 4
4
4
x1 x2
1 0
0 r1
1
r2
4 4
4
4
x1 x2
1 0
0 5y1
1
5
y2
4 4
4
4
x1 x2
5x1 5x2
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5
G(s) Φ(s)I HΦ(s)1
将上式代入式（4）得
Gc (s) Gp1(s)G(s)
Gp1(s)Φ(s)I HΦ(s)1
这就是串联补偿器的传递函数矩阵。
对于单位反馈矩阵，即 H I 。
此时，解耦系统的闭环传递函数矩阵为
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Φ(s) I G(s)1 G(s)
11(s)
gc22 (s)gp22 (s) 1 gc22 (s)gp22 (s)
22 (s)
gc11 (s) gp21(s)1(s) gc21(s) gp22 (s)1(s) 0 gc22 (s) gp12 (s) 2 (s) gc12 (s) gp11(s) 2 (s) 0