线性系统的输出反馈解耦控制

ｗａ ｅ ｌ ｅ ， ｅｓ ｓｅ ｓ ｏ ｏ ｄｄ ｎ ｍｉ ｎ ｔｔ ｅｆ ｒ ａ ｃ ｓ ｓ ａｉ ｄ ｔ ｙ ｔｍ ｈ ｗｓ ｏ ｙ ａ ｃａ ｄｓａｉ ｐ ｒｏｍ ｎ ｅ ． ｒ ｚ ｈ ｇ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｙ ｃ ｏ ｏ ｓ ｏ ｏ ； ｅ ｄ ａ ｋ ｌ ｅ ｒｚ ｔ ｎ ｄ ｃ ｕ ｌ ｇ ｃ ｎ ｒ ｌ ｐ ｌ ｓ ｉ ｎ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ ｈ ｎ ｕ ｔ ｒ ｆ ｅ ｂ ｃ ｎ ａ ｉａ ｉ ； ｅ ｏ ｐ ｉ ｏ ｔ ， ｏ ｅ ａ ｓｇ ｎ ｒ ｍ ｉ ｏ ｎ ｏ ｍ ｎ
１ 引言
实现 异步 电机高 性能 控 制 的关 键 是对 其 时变参 数 的准 确识 别 和获得 转 速 、磁 链 两个 子 系统 间 的完 全解
性 能 ，满 足预 先所 期望 的要 求 。仿 真 研究 表 明 ，这种
处理方案达到了期望效果 ，证卖了该方案在理论上的
正 确 性 ，并具 有 可行性 。
ｌ ｅ ｒｚ ． ｗｏ ｓ ｐ ａｅ ２ ｏ ｄ ｒｒ ｔ ｒｆ ｘ ａ ｄ ｒ ｔ ｒｓ ｅ ｄ ｓ ｂ ｙ ｔ ｍｓａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｆ ｒ ｈ ｒ ｒ ， ｉ ａ ｉ ｅｉ Ｔ ｅ ａ ｔ ． ｒ ｅ ｏ ｏ ｕ ｎ ｏ ｏ ｐ ｅ ｕ ｓ ｓｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ｕ ｔ ｅ ｍｏ ｅ ｎ ｔ ｒ ｌ ｒ ｔ ｅ ｉ ｐ ｔｏ ｔ ｕ ｆｔ ｅ ａ ｙ ｃ ｒ ｎ ｕ ｔ ｒ ｓ ｓｅ ｗａ ｉ ｅ ｒ ｅ ． ｈ ｎ ａ ｉｅ ｙ ｔ ｍ ｓＣ ｅ ｈ ｎ ｕ — ｕ ｐ ｔｏ ｓ ｎ ｈ ｏ ｏ ｓ ｍｏ ｏ ｙ ｔ ｍ ｓ ｌ ａ ｉ ｄ Ｔ ｅ ｌ ｅ ｒｚ ｄ ｓ ｓ ｈ ｎ ｚ ｉ ｅ ａ ｂ ｎ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅｌ ｅ ｔｍ ｔ ｔ ａ ｉｂ ｅｆ ｅ ｂ ｃ ｏ ｅ ａ ｓｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ． ｎ ｔ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｎ ｔ ｅ ｏ ｖ ｄ ｗｉ ｔ ｎ ａ ｓ ｅ ｓａ ｅｖ ｒａ ｌ ｅ ｄ ａ ｋ ｐ ｌ ｓ ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ Ｉ ｉ ｌ ｔ ， ｈ ｈ ｈ ｉ ｒ ｙｓ ｔ ｙ ｈ ｏ ｓ ｅ ｄ ｋ ｅ ｓ ｃ ｎ ｔ ｎ ｉ ｌ ｈ ｏ ｏ ｕ ｈ ｎ ｅ ． ｈ ｙ ａ ｃｄ ｃ ｕ ｌ ｇ ｏ ｅ ｔ ｏ ｓ ｂ ｙ ｔｍ ｓ ｐ ｅ ｅ ｐ ｏ ｓａ ｔＷｈ ｅ ｔ ｅ ｒ ｔ ｒｆ ｘ ｃ ａ ｇ ｓ ｔ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｅ ｏ ｐ ｉ ｆｍ ｌ ｎ ｗ ｕ ｓ ｓｅ

（2）
0
0 gmm(s)
则称该系统是解耦的。
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3
串联动态补偿解耦
设耦合系统的传递函数矩阵为Gp (s)， 要设计一个 传递函数矩阵为Gc (s)的串联补偿器，使得通过反馈矩
阵H 实现如图所示的闭环系统为解耦系统。
R(s)
-
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ε(s)
U (s)
Gc (s)
Gp (s)
线性系统的解耦
耦合：控制量与被控量之间是互相影 响、互相关联的，一个控制量的变化同 时引起几个被控制量变化的现象。
❖ 解耦：消除系统之间的相互耦合，使各 系统成为独立的互不相关的控制回路。
❖ 解耦方法：
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消除耦合 串联补偿解耦 状态反馈解耦
减小耦合 选择变量配对 调整控制器参数 减少控制回路
2
设系统 A, B,C 是一个 m 维输入 m 维输出的系统，
x Ax Bu
y
Cx
若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵
（1）
g11(s) g12(s)
G(s)
g21
(s)
g22 (s)
gm1
(s)
g1m(s)
gmm (s)
g11(s) 0
0
G(s)
0
g22 (s)
0
水位表1
f1
h1
h2
f12
水位表2 泵2
f2
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31
偏差状态空间开环模型：
x1 x2
4
4
4 4
x1 x2
u1 u2
y1 y2
x1 x2
这里对水箱的结构进行了改造，两个水箱的水位偏 差均可测量。

(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
馈矩阵，将3p q 1个 闭环极点配置在规定位置。对于n 3p的
多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全
部n q个闭环极点；对于n 3p 的多变量系统，则有n 3p 1
个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的Q、q 有关。实际
上通常是n
3p
1个小的数目，通过重复设计
及
Q
，从而重
式(6-87)，即
kWi k1
k2
2 2
2k1
2k2
0
任取 k1 1，则k2 1，故k 1 1。闭环特征多项式由式(6-
85)给出为
H3
s
s
1
s6
2 1
p2 r2
s5
6
q2 1 r2
9r2
s4
12
9 p2 1
r2
r1
9r2
s3
5 p1 9 p2 9q2 2r1 2r2 s2 31 2 p1 2 p2 q1 9q2 s
例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为
0 1 0 0 0 0 1
0
0
1
0
0
0 0
x& 0 0 0 1 0 x 0 2 u
00Βιβλιοθήκη 0010 0

馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明
显的物理意义，因而输出反馈易实现。
对于式(2.1)描述的线性系统，当将系统的控制量 取为输出 的线性函数
(2.4)
时，称之为输出反馈，其中其中 为 维参考输入向量， 为 矩阵，称为输出反馈增益矩阵。
将式(2.4)代入式(2.1)，可得到采用输出反馈后闭环系统的状态空间方程
3.
3.
3.
对于具有相同输入、输出个数的MIMO线性定常系统
(3.8)
设 为系统的输入输出个数，可采用控制规律 ，即存在输入变换阵和状态反馈矩阵对 进行解耦的充要条件是：可解耦性判别矩阵 为非奇异。且当选取 为 时，解耦控制系统的传递函数矩阵为
(3.9)
其中 ， 与 是解耦控制中两个基本特征量。对 对角线上第一个元素可提出第 个极点要求，并有
2.
设不完全能控的多输入系统为
(2.21)
经过坐标变换，即经过能控结构分解，式(2.21)可写成
(2.22)
式中， 为能控子系统，由于坐标变换不改变系统的极点，所以式(2.21)与式(2.22)系统的极点相同，它们的极点集为
(2.23)
极点 为能控极点， 为不能控极点，考虑式(2.22)系统的任意状态反馈
设计主要内容：
（1）求出系统的传递函数。
（2）设计串联解耦环节，并求出解耦后的系统传递函数。
（3）对解耦后的系统进行极点配置，并求出配置后系统的传递函数。
（4）绘制原系统及配置极点后系统的输出响应曲线图，并进行分析。
3.
3.
线性定常系统的状态空间表达式包括状态方程和输出方程，简写形式如下
(3.1)
式中， 分别为 维， 维， 维向量。式(3.1)中，上式为状态方程，下式为输出方程。状态空间表达式实际上是对MIMO系统的时域描述，而传递函数阵则是对系统的频域描述，把时域的数学模型转换成频域的数学模型，其基本方法是在零初始条件下取拉氏变换。因此，对式(3.1)在零初始条件下取拉氏变换，则有

[
[
]
]
]
k1 K = M k p
( A − BK )bi = Abi − b1 b2
令 c1i = k1bi , L c pi = k p bi
[
k1bi L bp M k p bi
]
( A − BK )bi = Abi − (c1i b1 + c2i b2 + L c pi b p )
第六章
线性反馈系统的状态空间综合
状态反馈 通过状态反馈进行极点配置和镇定 基于状态反馈的解耦控制 通过状态反馈进行跟踪控制设计 状态观测器
1
6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响
1、常用的反馈结构 1）输出反馈 当系统为n阶状态，p个输入，q个输出时 u(t ) = r (t ) − H y(t )
& (t ) = ( A − BK ) x(t ) + Br (t ) x & (t ) = ( A − Bρk ) x(t ) + Br (t ) = ( A − bk ) x(t ) + Br (t ) x
其中 b = Bρ , b − n × 1 表明将多输入极点配置问题（A，B，K）转化成了单输入极点 配置问题（A，b，k）。 第三步：对单输入问题（A，b，k）证明若（A，b）能控，则 一定可以任意配置极点。
10
线性定常系统可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完 全能控。 证明：必要性，即系统可任意配置极点，那么系统一定能控。 用反证法，当系统可任意配置极点，但系统不能控。 那么可以进行能控性分解 & (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) x
y (t ) = Cx (t )

� 用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有 [I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s) 即
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
补偿器解耦(3/7)
−1 ( s) ， [I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有 � 分别用 Gp 1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W (s ) ] −1
状态反馈解耦(14/16)
� 由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 � 因此,状态反馈解耦矩阵为 ⎡0 0 −1⎤ K = −E F = ⎢ ⎥ 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎡ 1 0⎤ −1 H =E =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦
−1
状态反馈解耦(15/16)
� 此时闭环系统状态方程和输出方程为： ⎡0 ̇ (t ) = ⎢0 x ⎢ ⎢ ⎣0 ⎡1 y (t ) = ⎢ ⎣0 0 −1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ 0 0 ⎥ v (t ) 0 1⎥ x ( t ) + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣0 1 ⎥ ⎦ 1 0⎤ x (t ) ⎥ 0 1⎦
� 根据补偿器Gc(s)的求解公式,有
1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W ( s ) ] −1 −1
⎡ 1 ⎤⎡ 1 ⎤⎡ s ⎤ 0 0 0 ⎢ 2s + 1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ 5s ⎥ ⎢ 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎥ ⎦ 2s + 1 ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ s =⎢ ⎥ ⎢ −( s + 1)(2 s + 1) s +1 ⎥ ⎢ s 5s ⎥ ⎣ ⎦

R (s)
-
ε(s)
G c(s)
U (s)
G p (s)
Y (s)
H
2018/12/19 4
由上图可以求得解耦系统的闭环传递函数矩阵为
Φ ( s ) I G ( s ) H ( s ) G
1
（3 ）
其中 G ( s )
前向通道传递函数矩阵
G () s G () sG () s p c
+
+
r2
2018/12/19
-
G c22 ( s )
2
u
G p22 ( s )
2
y
2
8
g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1 1 g (s )g (s ) c 1 1 p 1 1
(s ) 1 1
g s )g s ) c 2 2( p 2 2( 1 g s )g s ) c 2 2( p 2 2(
0 g11(s) 0 0 g (s) 22 （2） G(s) 0 0 0 g ( s ) m m
2018/12/19
则称该系统是解耦的。
3
串联动态补偿解耦
设耦合系统的传递函数矩阵为 G p ( s ) ， 要设计一个
传递函数矩阵为G c ( s ) 的串联补偿器， 使得通过反馈矩 阵 H 实现如图所示的闭环系统为解耦系统。
s ) 2 2(
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0
c 2 2 p 1 2 2 c 1 2 p 1 1 2
g ( s ) g ( ss ) ( ) g ( s ) g ( ss ) ( ) 0 c 1 1 p 2 1 1 c 2 1 p 2 2 1

5.5 解耦控制问题
一 .动态解耦问题
对象：p个输入，p个输出

x Ax Bu y Cx G (s) C (sI A)1 B
若系统的初始状态为0，则
y1(s)g11(s)u1(s)g12(s)u2(s)g1p(s)up(s) y2(s)g21(s)u1(s)g22(s)u2(s)g2p(s)up(s) yp(s)gp1(s)u1(s)gp2(s)u2(s)gpp(s)up(s)
w
Bw
Dw
xc
r-xc 来自cxc BceKc{A,B,C,D}
-
y
伺服补偿器
K
镇定补偿器
• 对象

x Ax Bu B w w
y Cx Du D w w { A, B, C}能控 , 能观
•
干扰信号

xw Awxw, xw(0)未知
w(t) Cwxw

• 参考信号 xr Arxr, xr(0)未知 r(t) Crxr
1 (s)
使闭环系统稳定的部分 N c (s) D c (s)
在回路中引入(复制)参考信号和扰动信号的模型
1
(s)
这种方法常称为内模原理.
1 (s)
称为内模.
对象 G(s) N(s)
D(s)
的参数变化称为参数摄动.
• 在以上方法中,对象和补偿器的参数变化即使很大,但只
要 D c (s) D (s) (s) N c (s) N (s) 0
令
r(s),w(s)
(s) 是
分别是 Ar , Aw 的最小多项式
r(s),w(s) 位于右半闭S平面上的根
因式的最小公倍式.

前两个指标可以分别求出:ζ≈0.707,ωn≈9.0;代入带宽公式,可
求得ωb≈9.0;综合考虑响应速度和带宽要求,取ωn=10。于是,
闭环主导极点为s1,2=-7.07±j7.07,取非主导极点为s3=-10ωn=100。
第6章 线性定常系统的综合
(3)确定状态反馈矩阵K。状态反馈系统的特征多项式为
第6章 线性定常系统的综合
定理6.6-受控系统(A,B,C)通过状态反馈实现解耦控制的
环极点任意配置的充要条件是该受控系统状态完全可观。
证 根据对偶原理,如果受控系统Σ0(A,B,C)可观,则对偶系
统Σ0(AT,BT,CT)必然可控,因而可以任意配置(AT-CTHT)的特征
值。而(AT-CTHT)的特征值与(A-HC)的特征值是相同的,故当
且仅当Σ0(A,B,C)可观时,可以任意配置(A-HC)的特征值。
减小ζ,这就会使系统最大超调 Mp 增大。可见只靠调整增益
K 无法同时使ζ和ωn 都取最佳值。这从根轨迹来看,由于可调
参数只有 K,故系统特征根,即闭环极点只能在系统的根轨迹
这条线上,而无法在根轨迹以外的s 平面的其他点上实现。
第6章 线性定常系统的综合
方法二:状态反馈法。
第6章 线性定常系统的综合
图6-9 模拟结构图
第6章 线性定常系统的综合
第6章 线性定常系统的综合
第6章 线性定常系统的综合
图6-10 加入状态反馈后的模拟结构图
第6章 线性定常系统的综合
6.2.2 输出反馈极点配置
输出反馈有两种方式
(1)采用从输出到ሶ 反馈,如图6-3所示。
定理6.4 对受控系统采用从输出到ሶ 的线性反馈实现闭
图6-4 控制系统结构图

补偿控制首先求出满足性能指标的控制规律，然后在系统中增加补偿控制器，来改变控制器的响应，从而使 整个系统获得期望的性能指标。
相关解法
完全解耦控 制
静态解耦控 制
对于输出和输入变量个数相同的系统,如果引入适当的控制规律,使控制系统的传递函数矩阵为非奇异对角矩 阵，就称系统实现了完全解耦。使多变量系统实现完全解耦的控制器，既可采用状态反馈结合输入变换的形式， 也可采用输出反馈结合补偿装置的形式。
反馈控制
定义
原理 表现形式
反馈控制是指将系统的输出信息返送到输入端，与输入信息进行比较，并利用二者的偏差进行控制的过程。 反馈控制其实是用过去的情况来指导现在和将来。在控制系统中，如果返回的信息的作用是抵消输入信息，称为 负反馈，负反馈可以使系统趋于稳定；若其作用是增强输入信息，则称为正反馈，正反馈可以使信号得到加强。
则有：y=S(X+△X)=S(X+Ry)=SX+SRy
式中R称反馈因子或控制参数，它反映闭环控制系统的反馈功能或控制功能。
正反馈与负反馈是闭环控制常见的两种基本形式。其中负反馈与正反馈从达到目的的角度讲具有相同的意义。 从反馈实现具体方式来看，正反馈与负反馈属端后，和输入量进行加减的统一性整合后，作为新控制输出，去进一步控制输出量。实际上，输出量对输入量回 馈远不止这些方式。这表现为：运算上，不仅仅是加减运算，还包括了更广域的数学运算；回馈方式上，输出量 对输入量回馈，也不一定采取和输入量进行综合运算形成统一的控制输出，输出量能通过控制链直接施控于输入 量等等。
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三种解耦理论分别是：基于Morgan问题的解耦控制，基于特征结构配置的解耦控制和基于H_∞的解耦控制理 论。
在过去的几十年中，有两大系列的解耦方法占据了主导地位。其一是围绕Morgan问题的一系列状态空间方法， 这种方法属于全解耦方法。这种基于精确对消的解耦方法，遇到被控对象的任何一点摄动，都会导致解耦性的破 坏，这是上述方法的主要缺陷。其二是以Rosenbrock为代表的现代频域法，其设计目标是被控对象的对角优势化 而非对角化，从而可以在很大程度上避免全解耦方法的缺陷，这是一种近似解耦方法。