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中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]5、写出函数的定义域及函数值（）. A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。
.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln xD、tan x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A【答案解析】因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]17、将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]B、(1,5]C、(1,5]D、[1,5)由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。
高等代数第1章习题解第一章习题解1.1数字1的基本知识。
找到9405和5313的最大公因数解：9405？5313? 4902，5313? 4902? 411，4909? 11? 411? 三百八十八411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=12.设置A1、A2、，？，一z、证据（A1、A2、an）？（A1，A2，an？1），an）证据：D1号命令？（a1，a2，an），d2？（（A1A，2？An，1a）n）由D1？（a1，a2，an），？d1ai，我？1,2,?, N1.d1and1(a1,a2,,an1),(d1an)d1((a1,a2,,an1),an)d1d2在D2之前？（（a1，a2，an？1），an）？d1（a1，a2，an？1），d1and1ai(i1,2,,n1),d1andai(i1,2,,n)d2(a1,a2,,an)d2d1那么D1呢？d23．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=1264→(630,504)=1264536=21764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=2523→(1764,4536)=252252=1262所以(504,630,1764,4536)=1264.设a,b,c?z,ab,ac,证明a2bc证明:ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc5.设a,b?z,ab,ba,证明a??b证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1P1.A.B6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;如果XA适用于任何整数x，也就是a？XP适用于任何整数x，取x？0 a？相反，如果a?0,xa显然成立.7.假设a，B，D？z、 D呢？（a，b），证明u，v的存在？z、做D？欧？Bv证明：如果是？B0，那么（a，b）？0 a？0 b？0，因此结论成立；如果a和B不都是零，那么必须有一个整数s，t来表示as？英国电信？0令所有这样的正整数组成的集合为d,即:d?{as?bt?0|s,t?z},由于d是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv我们说d?就是a,b的最大公因数.事实上，有一个任意因素，哈，B？bv？hd？；如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有A.DQr、 0？RD于是a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?d这与d?是d中最小数的假设矛盾.8.设p为大于1的整数，a和B为任意整数。
第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：解方程：(1)2-=+x x x531(2)(24)58-=-x x x题二：解方程：(1)2178+=x x(2)22-=-(21)(3)x x题三：已知关于x的方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0．当m取什么值时，方程有两个相等的实数根？题四：当k取什么值时，关于x的方程x2+kx+k+3=0有两个相等的实数根？题五：题面：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根．题六：若关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．题七：下列方程中，无论b取什么实数，总有两个不相等的实数根的是( )A．x2+bx+1=0 B．x2+bx=b2 C．x2+bx+b=0 D．x2+bx=b2+1题八：证明：无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：见详解．详解：(1)方程化为25410x x--=∵a=5，b=-4，c=-1，∴△=b2-4ac=36＞0，∴x===46 10±，∴x1=1，x2=15 -．(2)方程化为22450x x+-=∵a=2，b=4，c=-5，∴△=b2-4ac=56＞0，∴x===，∴x1=1-+，x2=1--题二：见详解．详解：(1)方程化为28170x x-+=∵a=1，b=-8，c=17，∴△=b2-4ac=-4＜0，∴方程无实数解．(2) 方程化为23280x x+-=∵a=3，b=2，c=-8，∴△=b2-4ac=100＞0，∴x===210 23-±⨯，∴x1=43，x2=2-．题三：34 -．详解：∵方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0有两个相等的实数根，∴△=[2(2m+1)]2-4(2m+2)2=0，解得m=34 -，∴m=34-时，方程有两个相等的实数根．题四：6或-2．详解：∵△=k2-4(k+3)=k2-4k-12，又∵原方程有两个相等的实数根，∴k2-4k-12=0，解得k1=6，k2=-2，当k=6或k=-2，原方程有两个相等的实数根．题五：k＞98 -．详解：∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k2-1，∴△=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即8k+9＞0，解得k＞98 -．题六：m＞112-且m≠0．详解：根据题意得，m≠0，且△＞0，即△=[-(2m+1)]2-4m(m-2)=4m2+1+4m-4m2+8m=12m+1＞0，解得m＞112-，∴实数m的取值范围是m＞112-且m≠0．题七：D．详解：A．△=b2-4ac=b2-4×1×1=b2-4，不能保证△一定大于0，故不符合题意．B．△=b2-4ac=b2+4×1×b2=5b2≥0，方程有两个实数根，两个实数根可能相等，故不符合题意．C．△=b2-4ac=b2-4×1×b=b2-4b，不能保证△一定大于0，故不符合题意．D．△=b2-4ac=b2-4×1×[-(b2+1)]=b2+4b2+4=5b2+4＞0，方程一定有两个不相等的实数根．故选D．题八：见详解．详解：方程变形为x2-(4a-1)x+3a2-a-1=0，∵△=(4a-1)2-4(3a2-a-1)=4a2-4a+5=(2a-1)2+4，∵(2a-1)2≥0，∴△＞0，所以无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．。
第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。
作业1.11．设()1xf x x=-，记1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x -=，（23,n =）.求()n f x （2,3,n =）的表达式，并指出其定义域.解：2()[()]f x f f x =()1()f x f x =-111xx xx-=--12x x =-，21(){|,1,}2D f x x x =∈≠R . 假设()1k x f x kx =-，11(){|,1,,,}2k D f x x x k=∈≠R ，则1()()[()]1()k k k k f x f x f f x f x +==-111xkx x kx-=--1(1)x k x =-+，()k x D f ∈且()1k f x ≠， 由()1k f x ≠可知11x k ≠+. 所以()1n x f x nx =-，11(){|,1,,,}2nD f x x x n=∈≠R .3．已知{3,8()[(5)],8x x f x f f x x -≥=+<，求(5)f .解：(5)[(10)](7)[(12)](9)6f f f f f f f =====.4．设()f x 的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域： （3）()()(0)f x a f x a a ++->.解：由()f x 的定义域知0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，11a x aa x a-≤≤-⎧⇒⎨≤≤+⎩.当01/2a <≤时，1a a ≤-，所求定义域为[,1]D a a =-； 当1/2a >时，1a a >-，所求定义域为D =∅.5．设()f x x =，证明： （1）()f x 在(0,)+∞内有上界； （2）()f x 在(0,)+∞内单调增加. 证明：（1）当0x >时，()f x x =1x <=，所以1为()fx 在(0,)+∞内的一个上界. （2）当0x >时，()f x x ===1在(0,)+∞内单调减少，所以()f x 在(0,)+∞内单调增加.6．证明()cos f x x x =在(,)-∞+∞内无界. 证明：对任意一个正数M ，取正整数k M >，则(2)2cos 22f k k k k k M ππππ==>>，所以()f x 在(,)-∞+∞内无界.作业1.24．设1(1)sin2n n x nπ=+，证明数列{}n x 没有极限. 证明：考虑子数列2{}k x 和41{}k x +，我们有2lim 0k k x →∞=，411lim lim(1)141k k k x k +→∞→∞=+=+， 所以数列{}n x 没有极限.5．利用夹逼法求下列极限：、（1）n解：5<1lim lim 5(3)535nn n →∞→∞=⋅=，因此由夹逼法知5n =.（2）222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++； 解： 记222111:[](1)(2)()n x n n n n n =++++++，则111:[](1)(2)(2)(3)2(21)n n x y n n n n n n n >=++++++++11()121n n n =-++， 1111:[](1)(1)(2)(21)22n n x z n n n n n n n <=+++=+++-，容易算得1lim 2n n y →∞=，因此由夹逼法知1lim 2n n x →∞=.（3）lim n解：令10n a ≥，则212(1)(1)(1)1122n n nn n n n n n n n n n n a na a na a a ---=+=+++++≥+，可知n a ≤显然0n =，因此由夹逼法知lim 0n n a →∞=，从而1n =.6．设111,(1,2,)n x x n +===，证明数列}{n x 收敛.证明：21x x =>；假设1n n x x +>，则21n n x x ++=>=，所以数列}{n x 单调增加. 113x =<；假设3n x <，则13n x +==，所以数列}{n x 有上界3.因此，由单调有界收敛准则知数列}{n x 收敛.作业1.31．当2x →时，24y x =→. 问δ等于多少，使当|2|x δ-<时，|4|0.001y -<？ 解：因2x →，不妨设13x <<，于是2|4||4||2||2|5|2|y x x x x -=-=+⋅-<-.要|4|0.001y -<，只要5|2|0.001x -<，即|2|0.0002x -<. 所以可取0.0002δ=.6．已知221lim 61x x ax bx →++=-，求,a b 的值. 解：由2222111lim()lim lim(1)01x x x x ax bx ax b x x →→→++++=⋅-=-， 得10a b ++=，于是2(1)()x ax b x x b ++=--，因此221116lim lim 112x x x ax b x b bx x →→++--===-+， 得11b =-，从而10a =.作业1.41．sin limx x x→∞=？说明理由，并计算sin lim 2sin x x xx x →∞+-.解：当x →∞时，1x 为无穷小，而sin x 有界，所以sin x x也为无穷小，即sin lim0x xx →∞=. sin 1sin 1lim lim sin 2sin 22x x x x x x x x x x→∞→∞++==--.3．计算下列极限： （2）lim )x x →-∞；解：lim )x x →-∞limx =3lim2x ==-.（4）31||lim()1x xx e x e x→∞+-+； 解：31||3lim ()lim (1)211x xxx x x e x e e x e--→+∞→+∞++-=-=++， 31||31lim ()lim (1)211x x x x x x e x e e xe →-∞→-∞++-=+=++， 所以31||lim()21x xx e x e x→∞+-=+.6．计算下列极限： （3）0→x解：原式02tan (1cos )lim 11sin 32x x x x x→⋅-=⋅2022lim31132x x x x x →⋅==⋅.（4）20ln(1)lim sec cos →+-x x x x；解：原式222222000cos ln(1)ln(1)lim lim lim 11cos sin x x x x x x x x xx →→→++====-.（5）0x →.解：原式0x →=012x →=2021112lim 122sin 2x x x x x →⋅==⋅.作业1.53．设,0()0x a x f x x +≤⎧⎪=>. 问常数a 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？解：要()f x 在(,)-∞+∞内连续，只要()f x 在点0x =处连续，于是0(0)lim ()x a f f x +→==002lim lim 412x x xx++→→===.4．求下列函数的间断点，并判别其类型：（1）2,||1()2,||1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩；解：由初等函数的连续性知()f x 的间断点只可能是1x =和1x =-. 由211lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)1x x f x x ++→→=-=， 知1lim ()1(1)x f x f →==，所以()f x 在点1x =处连续. 由11lim ()lim (2)3x x f x x --→-→-=-=，211lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==，知1x =-为()f x 的跳跃间断点. （2）tan xy x=；解：由初等函数的连续性知该函数y 的间断点为x k π=和2x k ππ=+，其中Z k ∈.因为0lim 1x y →=，2lim 0x k y ππ→+=，所以0x =和2x k ππ=+为函数y 的可去间断点.因为lim x k y π→=∞（0k ≠），所以x k π=（0k ≠）为函数y 的无穷间断点.（3）1sin 1y x xπ=-； 解：由初等函数的连续性知该函数y 的间断点为0x =和1x =.由01lim11x x →=--，且0x =为sin xπ的振动间断点，知0x =为函数y 的振动间断点. 因为11111(1)lim limsin lim sin11x x x x y x x x xππ→→→-==--11(1)lim 1x x x x ππ→-=⋅=-， 所以1x =为函数y 的可去间断点.（4）11()arctanln ||x f x x x -=+. 解：由初等函数()f x 在其定义域内处处连续知()f x 的间断点为0x =，1x =-和1x =.0lim ()2x f x π-→=-，0lim ()2x f x π+→=， 所以0x =为()f x 的跳跃间断点.1lim ()x f x →-=∞，所以1x =-为()f x 的无穷间断点.111111lim ()lim(arctan )lim 1ln 4ln[1(1)]4x x x x x f x x x x ππ→→→--=+=+=++-， 所以1x =为()f x 的可去间断点.5．讨论函数221()lim1nnn x f x x x →∞-=+的连续性，若有间断点，判别其类型. 解：当||1x <时，2lim 0n n x →∞=；当||1x >时，2lim nn x →∞=+∞. 由此可知221()lim 1n nn x f x x x →∞-=+,||10,||1,||1x x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩. ()f x 的间断点只可能是1x =和1x =-.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-， 11lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，故1x =和1x =-为()f x 的跳跃间断点. ()f x 在(,1)-∞-、(1,1)-和(1,)+∞内连续.作业1.63．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<，则在(,)a b 内至少有一点ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证明：因为()f x 在1[,]n x x 上连续，由最值定理和介值定理知，()f x 在1[,]n x x 上的值域为[,]m M ，其中m 和M 分别为()f x 在1[,]n x x 上的最小值和最大值. 易知12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤，所以在1[,]n x x 上至少有一点ξ（当然ξ在(,)a b 内），使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.4．设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()x f x →∞存在，证明()f x 在(,)-∞+∞内有界.证明：设lim ()x f x A →∞=，则存在0X >，使得当||x X >时，有|()|1f x A -<. 由有界性定理知()f x 在[,]X X -上有界，设K 为一个界. 取max{,||1}M K A =+，则M 为()f x 在(,)-∞+∞内的一个界.。
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。
