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典型方程和定解条件的推导-

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数学物理方程

数学物理方程
2u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) ＝ T gdx dx 2 x x t
2 u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx ＝ 2 x x x x x
例4、热传导
当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流 向低温处，求温度随空间时间变化的规律。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t ) 根据热学中的傅立叶实验定律 在单位时间内从dS流入V的热量为： u ˆ ˆ dS ku dS d Q w dS k dS k u n n 在单位时间内通过S流入V的热量为
H Jc B E t D v B 0 D t
在自由空间：
Jc 0, v 0
D E B H
E H t H E t E 0 H 0
例5、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程： 1 ˆ E E dS dV 0 V 0 S
u E
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0
2u / 0
V
M
S
热场
u 温度发生变化需要的热量为：Q c dV t V
Q1 Q2 Q
u k udV FdV c dV t V V V u k 2 F u 2 u k u c F 热传导方程 t c c t
2
u0
2u 0

数学物理方程第一章、第二章习题全解

数学物理方程第一章、第二章习题全解

18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x

三类典型的数学物理方程

三类典型的数学物理方程
内容回顾
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律

第一章 三类典型方程和定解条件

第一章 三类典型方程和定解条件

a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：

三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。

数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题

数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题

题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n


qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0

x xl
u ( x,0)

e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u

t
2

a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0

1方程的导出、定解条件

1方程的导出、定解条件

二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux

数学物理方程研究生教学大纲(应用人才)-学硕和专博

《数学物理方程》（应用人才）教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Equations of Mathematical Physics2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《高等数学》、《积分变换》、《复变函数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：工学专业的学术型硕士和博士9、大纲执笔：研究生教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年6月、2018年7月二、课程的目的与任务数学物理方程是工科院校相关专业硕士研究生的一门重要的学位课程，数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。

通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。

本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，算子法等；通过本课程的学习，能够建立一些较为简单的实际问题数学物理模型，学会用数学物理方程理论与方法解决实际问题的初步技能。

三、课程的基本要求1、理解数学物理方程的基本概念。

2、掌握利用微元法建立数学物理方程的思想和方法。

3、理解数学物理方程解的适定性概念。

4、掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤。

5、理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法。

6、会求解非齐次方程的定解问题。

7、掌握非齐次边界条件的处理方法。

8、了解施图姆—刘维尔问题及其性质。

9、掌握Fourier变换的定义和基本性质，会用Fourier变换求解某些简单的数学物理方程定解问题。

10、掌握Laplace变换的定义和基本性质，会用Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。

11、掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。

数理方法资料1

课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。

该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。

故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。

如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。

本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。

其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。

第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。

《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。

所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。

对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。

因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。

本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。

近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。

第一章 典型方程与定解条件



初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y

第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程


x
y
z


静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div

即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导

数理方程与特殊函数教学大纲

《数理方程与特殊函数》教学大纲课程名称：数理方程与特殊函数(Equations of Mathematical Physics and Special Functions)课程编号：FX042120B学分：2.5总学时：40适用专业：光电信息类专业，也可供其它专业选用先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《积分变换》一、课程性质、目的与任务:通过本课程学习，使学生初步掌握数学物理方程的基本理论与方法，为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的数学基础。

二、教学基本要求:了解典型方程的建立，定解问题及线性偏微分方程的迭加原理；熟练掌握分离变量法，会应用变量代换法、积分变换法与格林函数法，会用贝塞尔函数与勒让德函数有关的定解问题。

本课程的内容按教学要求的不同，概念、理论从高到低用“理解”、“了解”一词表述，方法、运算用“掌握“一词表述。

第一章一些典型方程和定解条件的推导1、了解三类典型方程的物理背景和导出步骤；2、了解定解条件所反映的物理意义；3、了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。

知道不同方程有不同的定解问题的提法；4、知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。

第二章分离变量法1、掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题；2、掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理；3、了解对于非齐次边界条件的处理方法。

第三章行波法与积分变换法1、会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）；2、了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念；3、了解三维波动方程的泊松公式的导出方法；4、会用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式；5、会用付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题。

第四章 拉普拉斯方程的格林函数法1、了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法，（每种问题又分内问题和外问题）；2、会从高斯公式导出格林第一、第二公式；3、知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解)1ln (100M M M M r r ，会借助基本解从格林第二公式导出调和函数的积分表达式；4、了解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义；5、掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式，会用公式求解定解问题。

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t
i i di
Ldx
i(x,t)
P● ＋
－
i +di
C L– L
时刻 t 电路中的瞬时电流
Cdx
所以：
cos 1 ; cos 1
M
ds.g
T
N
o
x
N’ x+dx
1 tg2 sec2 1 1 cos2
sin tg tg u
1 tg2
x x
sin tg tg u
1 tg2
x xdx
3、忽略与近似 T cos T cos 0
ds M'
T’
'
M

ds.g
T
N
N’
o
x
x+dx
X
数学物理方程与特殊函数
3、忽略与近似 T cos T cos 0
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt
对于小振动：
0 ; 0
u
ds M'
T’
'
近似地与 u 无关：
ds dx
于是左下角式变为：
T (u u ) dx u
x x xdx
x
tt
3、忽略与近似
T (u u ) dx u
x x xdx
x
tt
上式实际上可以明确表示为：
T
u(
x dx, x
t
)

u( x, x
t
)


dx

u t
t
x
T
u x
dx

dx

u t
t
这里表示：自变量由 x 增加 到 x+dx 时，函数的增量。 既然 dx 很小，这个这个增量 不妨用微分带代替。
T 2u 2u
x2 t 2
a u u 令 T a2 ，于是有：
2

xx
tt
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
数学物理方程与特殊函数
一. 均匀弦的横振动方程的建立
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影 响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
平衡位置
数学物理方程与特殊函数
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律） 3、忽略与近似 4、整理化简
1 tg2
x xdx
（2）式变为：
T sin T sin ds(u g) tt
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
一般说来， u g tt
将 g 略去。
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
3、忽略与近似
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL

L
diL dt
uL

dL dt
L Li
di uL L dt
i

1 L

udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
数学物理方程与特殊函数
二. 传输线方程(电报方程)的建立 与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
于是（1）式变为：
T T
（2）式变为：
T sin T sin ds(u g) tt
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
u g 一般说来， tt
将 g 略去，得
T u T u ds u
x xdx
x x
tt
考虑到角度很小，
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理?
i （2）电流
作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？
“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即
Rdx
+
- v( x, t )
i (i di) Cdx v Gdx v P——电路的节点？
u
T、T ’——微元两端所受张力
——细弦的线密度（单
位长度内的质量 g ——重力加速度
ds M'
T’
'
M

ds.g
T
N
N’
o
x
x+dx
X
数学物理方程与特殊函数
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos Tcos 0
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt u
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt
对于小振动：
于是（1）式变为：
0 ; 0
T T
所以有：
cos 1 ; cos 1
sin tg tg u
1 tg2
x x
sin tg tg u
物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff） 定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未 高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能 被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。
数学物理方法
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§ 1.1 基本方程（泛定方程）的建立
不含初始条件 不含边界条件
物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （偏微分方程并求解）
目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。
步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律， 分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。
Rdx
+
v-( x.t )
x
Ldx
P● ＋
i(x,t)
－
i +di
C L– L
Cdx
GdxC v dv
●
x dx
P——电路的节点
i i di
时刻 t 电路中的瞬时电流
1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程
数学物理方程与特殊函数
电路准备知识
电容元件：
du
i C C