第十七节 数论提高（四）
一．最大公约最小公倍两大定理
1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘
积。
二．约数个数和约数和法则
自然数12341234
,,,,a b c d N P P P P P P P P =⨯⨯⨯均为质数，a ，b ，c ，d 为自然数，
约数个数=()()()()1111a b c d +⨯+⨯+⨯+
所有约数的和
=()()21122211a b P P P P P ++⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+⨯)(23331c P P P +++⋅⋅⋅()24441d P P P ⨯+++⋅⋅⋅
【经典习题】
1．已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求
这两个自然数。
2．已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大
公约数之间的差为114，求这两个数。
3．两个整数A，B的最大公约数是C，最小公倍数是D。已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187。求A＋B是多少？
4．给出一个数n，n的约数的个数用A（n）表示，n的约数的和用B（n）表示。
(1)求A（2008），B（2008）.
(2)如果A（n）=2，那么n具有什么性质？
(3)使A（n）=8的最小自然数n是什么？
5．已知2019被一些自然数去除，得到的余数都是10，这样的自然数有多少个？
6．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们
的最大公约数，得到的商的和是16，请写出这两个整数。
7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？
8．把自然数A的所有约数两两求和，得到若干个自然数，在
这些数中。最大的是2250，最小的是3，求A。
9．设A有9个不同的约数，B有6个不同的约数，C有8个不同的约数，这三个数中任何两个互不整除，则三个数之积的最小值是多少？
10．已知：（a，b）=20，，[a，c]=180，[b，c]=180，……那
么满足上述条件的自然数a，b，c有______组。
11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？
12．街道上一边原有电线杆25根，每相邻的两根之间的距离都是45米，问于改建要把每两根电线杆的距离改成60米。可以有几根不需移动？
13．将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块。问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
14．有三个不同的自然数，它们的和是1267。如果要求这三个数的公因数尽可能地大，那么这三个数最大的那个数是多少？
15．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的
灯分别是哪几盏？
16．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号， 1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。
课后作业
1．两个数的最大公约数是6，最小公倍数为36，求这两个数
分别是多少？
2．两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数
是28，另一个数是多少？
3．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？
4．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数
有许多两位数约数，问这些两位数的约数中最大是几？
5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的
6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。”
爷爷和小明现在的年龄分别是多少？
6．共有6个不同约数，且小于50的自然数有哪些, 写出所有答案。
