连续函数的四则运算

证 令 F ( x ) = f ( x ) x , 则 F ( x ) 在 [a , b] 上连续 . 而
F (a ) = f (a ) a < 0 , F (b) = f (b) b > 0 ,
由零点定理 , ξ ∈ (a , b ) , 使
F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0 .
即
在(0,+∞ ) 上, ymax = ymin = 1.
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
注意公式成立的条件
lim u( x )
x →0
=a
1 x 1
b
1 x 1
求 lim( x + 2e x )
.
lim 1 x → 0 x 1
lim( x + 2e x ) x →0 1. =2 = 2
1
= [lim( x + 2e x )] x →0
完
四、闭区间上连续函数的性质 定义 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ), 如果 有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有
lim 1 = cos x→∞ x +1 + x
= cos 0 = 1 .
完
例 2 求 lim(1 + 2 x )
x →0
3 sin x
.
解
因为
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(1 + 2 x )
所以
3 sin x
= (1 + 2 x )
1 1 6 2 x sin x
,
x 6 sin x
lim(1 + 2 x ) x →0
2
f [ g ( x )] 与 g[ f ( x )] 的连续性 .
解
1, x > 0 2 Q g ( x ) = 1 + x , f ( x ) = 0, x = 0， 1, x < 0
2
∴ f [ g ( x )] = sgn(1 + x ) = 1.
f [ g ( x )] 在 ( ∞ ,+∞ ) 上处处连续 .
1 例如, 例如, u = 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ )内连续, 内连续, x 内连续, y = sin u 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续, 内连续. ∴ y = sin 1 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ ) 内连续. x
ln(1 + x ) . 例 1 求 lim x →0 x
y=
x 2 ( x 1) 3 , D : x = 0 及 x ≥ 1.
在这些孤立点的领域内没有定义. 在这些孤立点的领域内没有定义.
y=
连续. 连续.
x ( x 1) , D : x = 0 及 x ≥ 1.
2 3
点的领域内没有定义, 在0点的领域内没有定义, 函数在区间 [1,+∞ ) 上 点的领域内没有定义 初等函数求极限的方法(代入法 代入法) 2. 初等函数求极限的方法 代入法
2, x ≠ 0 , 又 g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1, x = 0
2
上处处连续， 故 g[ f ( x )] 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ ) 上处处连续， x = 0 是它的可去间断点 .
2. 估计方程 x 3 6 x + 2 = 0 的根的位置 . 内连续. 解 设 f ( x ) = x 6 x + 2, 则 f ( x ) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 ))
则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 在区间 I 上的最大 小)值. 上的最大(小 值 例如, y = 1 + sin x , x ∈ [0,2π ], ymax = 2, ymin = 0. 例如,
y = sgn x , 在 ( ∞ ,+∞ ) 上, ymax = 1, ymin = 1.
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
v( x)
v ( x )ln u ( x )
,
易见: 易见 若 lim u( x ) = a > 0, lim v ( x ) = b, 则
lim u( x )
即 例6 解
v( x)
= lim e
v( x)
v ( x )ln u ( x )
= e lim[ v ( x ) ln u( x )] = e b ln a = a b .
lim f ( x ) = f ( x0 ) ( x0 ∈ 定义区间 . 定义区间). x→ x
0
完
例 3 求 lim e
x →2
x
2x + 1
.
x
e 是初等函数 , 且 x = 2 0 2x + 1 e x 在点 是其定义区间内的点 , 所以 f ( x ) = 2x + 1 x0 = 2 处连续 , 于是
f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) g ( x ), f ( x) ( g ( x 0 ) ≠ 0) g( x )
在点 x0 处也连续. 处也连续. 例如, 例如, sin x , cos x 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续, 故 内连续,
tan x = sin x , cos x 1 , sec x = cos x
M , 使得 x ∈ [a , b], 有 m ≤ f ( x ) ≤ M , 取
K = max{| m |, | M |} | f ( x ) |≤ K . 故函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有界. 上有界.
完
定义 如果 x0 使 f ( x0 ) = 0, 则 x0 称为函数 f ( x ) 的零点. 的零点. 上连续, 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 且 定理8零点定理 定理 零点定理
1.11 连续函数的运算与性质 1. 连续函数的四则运算 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 初等函数的连续性 基本初等函数在各自的定义域上都连续 . 初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 . 4. 闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的算术运算 定理1 定理 处连续, 若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x0 处连续, 则
解 因为 f ( x ) =
lim e =e . = e x →2 2 x + 1 2× 2 + 1 5
完
x
2
2
幂指函数 称为幂指函数 幂指函数. 形如 f ( x ) = u( x )v ( x )( u( x ) > 0) 的函数 称为幂指函数
u( x ) = e 因为 故幂指函数可化为复合函数. 故幂指函数可化为复合函数.
在其定义域内连续. 在其定义域内连续.
cot x = cos x , sin x 1 csc x = sin x
二、复合函数的连续性 定理2 定理 若 lim ( x ) = a , 函数 f (u) 在点 a 处
x → x0
x → x0 x → x0
连续, 则有 lim f [ ( x )] = f (a ) = f [ lim ( x )]. 连续, 证 Q f (u) 在点 u = a 处连续, ∴ ε > 0, η > 0, 处连续, 当| u a |< η 时,恒有
ξ 3 4ξ 2 + 1 = 0 .
方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实 ∴
例 6 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续 , 且
f (a ) < a , f (b) < b 证明 : ξ ∈ (a , b ) 使得 f (ξ ) = ξ .
0 <| x x0 |< δ 时, 恒有
| f ( u) f (a ) |=| f [ ( x )] f (a ) |< ε ,
∴ x → x f [ ( x )] = f (a ) = f [ x → x ( x )]. lim lim
0 0
意义 1. 极限符号可以与连续函数符号互换 . 极限符号可以与连续函数符号互换; 2.定理 给出了变量代换 ( u = ( x )) 的理论依据 .定理2给出了变量代换 的理论依据.
f (a ) 与 f (b ) 异号 (即 f (a ) f (b ) < 0), 那么在开区 即
的一个零点, 间 (a , b )内至少有函数 f ( x )的一个零点, 即至少有 一点 ξ (a < ξ < b ), 使 f (ξ ) = 0. 内至少存在一个实根. 即方程 f ( x ) = 0 在 (a , b ) 内至少存在一个实根. 定理9介值定理设函数 定理 介值定理设函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b]上连续, 且 介值定理 上连续, 在这区间的端点取不同的函数值
f (ξ ) = ξ .
完
课堂练习
f ( x ) = sgn x , g ( x ) = 1 + x 2 , 试研究复合函数 1. 设
f [ g ( x )] 与 g[ f ( x )] 的连续性 .
2. 估计方程 x 3 6 x + 2 = 0 的根的位置 .
1. 设 f ( x ) = sgn x , g ( x ) = 1 + x , 试研究复合函数
y= x =a
内连续. 内连续.
log a x
y = a u , u = log a x 在(0,+∞ )
的不同值(均在其定义域内连续 . 讨论 的不同值 均在其定义域内连续). 均在其定义域内连续
初等函数的连续性 的不同值(均在其定义域内连续 均在其定义域内连续). 讨论 的不同值 均在其定义域内连续 . 定理4 定理 基本初级函数 在定义域内是连续的. 在定义域内是连续的 在其定义区间内都是连续的 定理5 定理 一切初级函数 在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指 包含在定义域内的区间. 定义区间是指 包含在定义域内的区间 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续 但在其 初等函数仅在其定义区间内连续, 定义域内不一定连续. 定义域内不一定连续. 例如, 例如, y = cos x 1, D : x = 0,±2π ,±4π ,L 在这些孤立点的领域内没有定义. 在这些孤立点的领域内没有定义.
定理3 定理
( x0 ) = u0 , 而函数 y = f (u) 在点 u = u0 处连续 处连续,
则复合函数 f [ ( x )] 在点 x0 处也连续. 处也连续. 注意 定理4是定理 的特殊情况 定理 是定理3的特殊情况. 是定理 的特殊情况.
处连续, 设函数 u = ( x ) 在点 x0 处连续, 且
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
| f ( u) f (a ) |< ε ,
又 Q lim ( x ) = a , ∴对上述 η , δ > 0, 当 x → x0 结合上述两步得, 结合上述两步得, ε > 0, δ > 0, 当
0 <| x x0 |< δ 时, 恒有 | ( x ) a |=| u a | < η ,
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x