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连续函数的四则运算

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连续性间断点,连续函数的运算

连续性间断点,连续函数的运算

无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x

连续函数的运算法则

连续函数的运算法则
因此它无连续点
一切初等函数在定义区 间内连续 (端点为单侧连续)
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例2. 求
解: 原式
例3. 求
解: 令 t a x 1, 则 x log a (1 t) ,
原式 lim
t
t0 log a (1 t)
说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增
(递函减数) 的反函数
也连续单调
递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数
y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, 其反函数
在 在
上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
x1
x1
故
在点 x = 1 不连续 ,
x = 1为第一类间断点 .
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例6. 求函数
x3 3x2 x 3 的连续区间, 并求 f (x) x2 x 6
lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x).
x0
x2
x3
解: 因为 f (x) x3 3x2 x 3 x2 x 6
x0
8
x2
)
1 8
例5. 设
讨论复合函数
的连续性 .
(x)
x, x
4
,
x 1 x 1
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [ (x)] 为初等函数 , 故此时连续;

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算与初等函数的连续性

x)

u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim

x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x

1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x

6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0

(x)

(
x0
)
,
u


(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有

连续函数四则运算

连续函数四则运算

1 x
1 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成， U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
x0 连续，且 g(x0) = u0 ， 而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续. 证明略.
例如, y sin x 在
上单调增加且连续， 其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
y sin x
π 2
-1
O
1
π 2
x
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 、差 、
积 、商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的 函数 . ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的
区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少)
且连续. 证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

可导与连续的关系及四则运算法则

可导与连续的关系及四则运算法则

可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$

1-5 连续性与间断点 连续函数运算

1-5 连续性与间断点 连续函数运算

不连续
不存在; 存在 ,
x→x0
这样的点
称为间断点 . 间断点
间断点分类: 间断点分类:
第一类间断点: 第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 均存在 , 称 称
x0为可去间断点
.
x0 为跳跃间断点 .
若其中有一个为 ∞, 称
x0 为无穷间断点
. .
若其中有一个为振荡 , 称
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
二、 函数的间断点 下列情形之一函数 f (x) 在点 (1) (2) (3) 但 在 在 在 无定义 ; 有定义,但 有定义,且
lim f (x) ≠ f (x0)
三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一 切 初 等 函 数 在
定 义 区 间 内 连 续
例如, 例如,
y = 1− x
2
的连续区间为
(端点为单侧连续) 端点为单侧连续)
y = lnsin x 的连续区间为
而
y = cos x −1 的定义域为
函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性
第八节 函数的连续性与间断点
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义 处及其邻域内
f ( x0 ) ,
定义:设函数 y = f (x) 在 有定义, 且 lim
x → x0 f (x) =
则称函数 f (x ) 在 x 0 处连续。 .

连续函数的运算与初等函数的连续性


结论 反三角函数在其定义域内皆连续.
指数函数 y e x (, )内单调增加且连续， 对数函数 y ln x在(0, )内单调增加且连续 .
y
y ex
1
o1
y ln x
x
2.复合函数的连续性
定理3
若
lim
x x0
g(
x)
u0
,
而函数 f (u)在点u0连续,
lim
x x0
f [g( x)] lim uu0
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
y
y sin 1
x
o
x
三、初等函数的连续性
已有结果： (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (3) 指数函数 y a x (a 0, a 1)在(, )内连续.
(4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1)在(0, )内连续. (5)幂函数 y x在定义区间内连续.
基本初等函数在定义区间内连续.
y x e ln x
y eu , u ln x.
在(0, )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如
y 1 x2 的连续区间为[1,1].(端点为单侧连续) y lnsin x的连续区间为(2n π, (2n 1) π ) , n Z.
lim sin x 1， x0 x
x0
cos x1
解:
原式
lim
[1
(cos
x
1
1)]cos x1

连续函数与不连续函数的加减乘除

连续函数与不连续函数的加减乘除函数是数学中的一个重要概念，可以描述数值之间的关系。

根据函数在特定点处是否连续，可以将函数分为连续函数和不连续函数。

连续函数指的是在定义域上的每个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。

也就是说，无论我们如何接近函数的某个点，只要我们趋近于该点，函数的值也会趋近于该点处的函数值。

连续函数在图像上没有突变、断裂的现象，可以被连续地画出来。

以一个简单的例子来说明连续函数的加减乘除。

假设有两个连续函数，函数f(x)和函数g(x)。

加法操作指的是将函数f(x)和函数g(x)在每个点上的函数值相加。

减法操作指的是将函数g(x)的函数值从函数f(x)的函数值中相减。

乘法操作指的是将函数f(x)和函数g(x)在每个点上的函数值相乘。

除法操作指的是将函数f(x)的函数值除以函数g(x)的函数值。

连续函数之间的加法、减法、乘法和除法操作具有以下特点：1. 加法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的和函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值加上g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

2. 减法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的差函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值减去g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

3. 乘法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值乘以g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

4. 除法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，如果除法的分母g(x)不等于零，并且在定义域上的每个点处，g(x)的函数值不为零，则它们的商函数h(x)也是连续函数。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。

㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。

说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。

∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。

2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。

（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。

类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。

总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。

定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。

连续函数的运算性质

§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性【导语】对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。

因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。

得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。

本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。

【正文】一、连续函数的四则运算定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)()f xg x g x ≠均在0x 处连续．二、复合函数的连续性定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续．从运算的角度看，有000lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序．三、反函数的连续性定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续．例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。

由0x 的任意性可知：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．例 2 证明：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．证 当(0,)x ∈+∞时，根据指数函数与对数函数的性质，得ln ln e e x x y x ααα===．对任意的0(0,)x ∈+∞，因为函数ln x α在0x 处连续，且指数函数e u 在00ln u x α=处连续，所以ln e x y x αα==在0x 处连续．由0x 的任意性可知：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．例 3 证明：如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，且0()0f x >，则函数()()g x y f x =在0x 处连续．证 根据指数函数与对数函数的性质，得()()ln ()()ln ()()e e g x g x f x g x f x y f x ===． 因为0()0f x >，所以对数函数ln u 在0()f x 处连续。

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在(0,+∞ ) 上, ymax = ymin = 1.
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
2
f [ g ( x )] 与 g[ f ( x )] 的连续性 .
解
1, x > 0 2 Q g ( x ) = 1 + x , f ( x ) = 0, x = 0， 1, x < 0
2
∴ f [ g ( x )] = sgn(1 + x ) = 1.
f [ g ( x )] 在 ( ∞ ,+∞ ) 上处处连续 .
1.11 连续函数的运算与性质 1. 连续函数的四则运算 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 初等函数的连续性 基本初等函数在各自的定义域上都连续 . 初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 . 4. 闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的算术运算 定理1 定理 处连续, 若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x0 处连续, 则
y=
x 2 ( x 1) 3 , D : x = 0 及 x ≥ 1.
在这些孤立点的领域内没有定义. 在这些孤立点的领域内没有定义.
y=
连续. 连续.
x ( x 没有定义, 在0点的领域内没有定义, 函数在区间 [1,+∞ ) 上 点的领域内没有定义 初等函数求极限的方法(代入法 代入法) 2. 初等函数求极限的方法 代入法
lim f ( x ) = f ( x0 ) ( x0 ∈ 定义区间 . 定义区间). x→ x
0
完
例 3 求 lim e
x →2
x
2x + 1
.
x
e 是初等函数 , 且 x = 2 0 2x + 1 e x 在点 是其定义区间内的点 , 所以 f ( x ) = 2x + 1 x0 = 2 处连续 , 于是
| f ( u) f (a ) |< ε ,
又 Q lim ( x ) = a , ∴对上述 η , δ > 0, 当 x → x0 结合上述两步得, 结合上述两步得, ε > 0, δ > 0, 当
0 <| x x0 |< δ 时, 恒有 | ( x ) a |=| u a | < η ,
f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) g ( x ), f ( x) ( g ( x 0 ) ≠ 0) g( x )
在点 x0 处也连续. 处也连续. 例如, 例如, sin x , cos x 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续, 故 内连续,
tan x = sin x , cos x 1 , sec x = cos x
注意公式成立的条件
lim u( x )
x →0
=a
1 x 1
b
1 x 1
求 lim( x + 2e x )
.
lim 1 x → 0 x 1
lim( x + 2e x ) x →0 1. =2 = 2
1
= [lim( x + 2e x )] x →0
完
四、闭区间上连续函数的性质 定义 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ), 如果 有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有
ξ 3 4ξ 2 + 1 = 0 .
方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实 ∴
例 6 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续 , 且
f (a ) < a , f (b) < b 证明 : ξ ∈ (a , b ) 使得 f (ξ ) = ξ .
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 ))
则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 在区间 I 上的最大 小)值. 上的最大(小 值 例如, y = 1 + sin x , x ∈ [0,2π ], ymax = 2, ymin = 0. 例如,
y = sgn x , 在 ( ∞ ,+∞ ) 上, ymax = 1, ymin = 1.
v( x)
v ( x )ln u ( x )
,
易见: 易见 若 lim u( x ) = a > 0, lim v ( x ) = b, 则
lim u( x )
即 例6 解
v( x)
= lim e
v( x)
v ( x )ln u ( x )
= e lim[ v ( x ) ln u( x )] = e b ln a = a b .
lim 1 = cos x→∞ x +1 + x
= cos 0 = 1 .
完
例 2 求 lim(1 + 2 x )
x →0
3 sin x
.
解
因为
(1 + 2 x )
所以
3 sin x
= (1 + 2 x )
1 1 6 2 x sin x
,
x 6 sin x
lim(1 + 2 x ) x →0
2, x ≠ 0 , 又 g[ f ( x )] = 1 + (sgn x ) = 1, x = 0
2
上处处连续， 故 g[ f ( x )] 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ ) 上处处连续， x = 0 是它的可去间断点 .
2. 估计方程 x 3 6 x + 2 = 0 的根的位置 . 内连续. 解 设 f ( x ) = x 6 x + 2, 则 f ( x ) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续
解 因为 f ( x ) =
lim e =e . = e x →2 2 x + 1 2× 2 + 1 5
完
x
2
2
幂指函数 称为幂指函数 幂指函数. 形如 f ( x ) = u( x )v ( x )( u( x ) > 0) 的函数 称为幂指函数
u( x ) = e 因为 故幂指函数可化为复合函数. 故幂指函数可化为复合函数.
f (ξ ) = ξ .
完
课堂练习
f ( x ) = sgn x , g ( x ) = 1 + x 2 , 试研究复合函数 1. 设
f [ g ( x )] 与 g[ f ( x )] 的连续性 .
2. 估计方程 x 3 6 x + 2 = 0 的根的位置 .
1. 设 f ( x ) = sgn x , g ( x ) = 1 + x , 试研究复合函数
M , 使得 x ∈ [a , b], 有 m ≤ f ( x ) ≤ M , 取
K = max{| m |, | M |} | f ( x ) |≤ K . 故函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有界. 上有界.
完
定义 如果 x0 使 f ( x0 ) = 0, 则 x0 称为函数 f ( x ) 的零点. 的零点. 上连续, 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 且 定理8零点定理 定理 零点定理
1 例如, 例如, u = 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ )内连续, 内连续, x 内连续, y = sin u 在 ( ∞ ,+∞ ) 内连续, 内连续. ∴ y = sin 1 在 ( ∞ ,0) ∪ (0,+∞ ) 内连续. x
ln(1 + x ) . 例 1 求 lim x →0 x
0 <| x x0 |< δ 时, 恒有
| f ( u) f (a ) |=| f [ ( x )] f (a ) |< ε ,
∴ x → x f [ ( x )] = f (a ) = f [ x → x ( x )]. lim lim