连续函数四则运算

(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。

函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。

2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。

隐函数： F(x,y ）= 04。

反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。

㈡ 函数的几何特性1。

函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。

函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。

函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。

常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。

三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。

反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。

㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。

说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。

∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。

2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。

（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。

类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。

总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。

定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。

§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性【导语】对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。

因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。

得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。

本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。

【正文】一、连续函数的四则运算定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)()f xg x g x ≠均在0x 处连续．二、复合函数的连续性定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续．从运算的角度看，有000lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序．三、反函数的连续性定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续．例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。

由0x 的任意性可知：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．例 2 证明：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．证 当(0,)x ∈+∞时，根据指数函数与对数函数的性质，得ln ln e e x x y x ααα===．对任意的0(0,)x ∈+∞，因为函数ln x α在0x 处连续，且指数函数e u 在00ln u x α=处连续，所以ln e x y x αα==在0x 处连续．由0x 的任意性可知：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．例 3 证明：如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，且0()0f x >，则函数()()g x y f x =在0x 处连续．证 根据指数函数与对数函数的性质，得()()ln ()()ln ()()e e g x g x f x g x f x y f x ===． 因为0()0f x >，所以对数函数ln u 在0()f x 处连续。