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(完整版)导数的四则运算法则

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导数的四则运算证明

导数的四则运算证明

导数的四则运算证明本文讲解了求导数四则运算如何进行证明，包括加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算。

一、加法运算求解导数的加法运算是基于拉格朗日准则：“两个曲线的切线的斜率的和等于这两条曲线的斜率的和”，可以通过它来进行证明。

如果有两个函数y1=f1(x)，y2=f2(x)，则其和函数y1+y2=f1(x)+f2(x)，证明的形式如下：∂/∂x(f1(x)+f2(x))=∂/∂x(f1(x))+∂/∂x(f2(x))即求得，两个函数的导数的和等于这两个函数之和的导数二、减法运算假设有两个函数y1=f1(x)，y2=f2(x)，减法运算后y1-y2=f1(x)-f2(x)，求其导数的证明如下：∂/∂x(f1(x)-f2(x))=∂/∂x(f1(x))-∂/∂x(f2(x))即求得，两个函数的导数的差等于这两个函数之差的导数三、乘法运算假设有两个函数f1(x)，f2(x)，它们的乘积函数为f1(x)×f2(x)，对其导数求解如下：∂/∂x(f1(x)×f2(x))=f1(x)×∂/∂x(f2(x))+∂/∂x(f1(x))×f2(x)即求得，两个函数的导数的乘积等于这两个函数之乘积的导数四、除法运算假设有两个函数f1(x)，f2(x)，它们的积除函数为f1(x)÷f2(x)，对其导数求解如下：∂/∂x(f1(x)÷f2(x))=[(f2(x))×∂/∂x(f1(x))-(f1(x))×∂/∂x(f2(x))]÷(f2(x))^2即求得，两个函数的导数的商等于这两个函数之商的导数以上就是求导数四则运算的证明，可以看出，四则运算都满足拉格朗日准则，即函数的性质不变，斜率的和等于总斜率。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx

导数的基本公式及四则运算法则

导数的基本公式及四则运算法则

常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。

(完整版)导数的四则运算法则

(完整版)导数的四则运算法则

§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。

_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。

1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。

处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。

可导，则曲线y f (x)在点(X。

，f (x。

))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。

).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为

(完整版)导数的四则运算法则

(完整版)导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则一、教学目标: 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线. 2。

过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数,观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明;由定义法求f （x)=x 2g(x)的导数,发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则. 3。

情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳-—抽象的数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点:导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点()(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数（导数)：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5。

一导数的四则运算法则

一导数的四则运算法则

u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。

导数的基本公式及四则运算法则

导数的基本公式及四则运算法则

导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则 之一，它指出两个函数的导数的差等于 它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处 可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一 个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该 函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛 应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数 的最大值或最小值。在经济学、工程技术和 科学研究等领域中，求解最大值和最小值问 题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数 ，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题 等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变 化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益 ；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数 （1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导 函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)

导数四则运算

导数四则运算

）
A. 1
B. 1
8
4
C. 1
D.1
2
6.(04年重庆卷。文15)已知曲线y 1 x3 4 ,则过点p（2，4） 33
的切线的直线的方程是
7.垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线的方程 是
第9页/共11页
练习3 8.求曲线y=sin x，（1）在点A ( ,1)处的切线方程：
（位移单位： m，时间单位： s）
点评：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知
y f (x)在点x0处的导数就是曲线y f (x) 瞬时速度是位移函数S（t）对时间的导数。即v s |tt0 在点P（x0 , y0）处的切线的斜率即k y |xx0 f (x0 );
第7页/共11页
例题
【例4】设函数f (x) |1 1 x
）
A. 19 3
B. 10 3
C. 13 D. 16
3
3
3.若y=x2 sinx,则y=（
）
A.2x sinx B.x2 cosx c.2x cosx+x2 cosx D.2x sinx+x2 cosx
第6页/共11页
例题
【例3】（1）求曲线 y
x22x 1在点（1，1）处的切线方程：
（2）运动物体在曲线 S t -1 2t2上运动，求物体在 t 3x时的速度 2
学习目标
1. 熟记基本函数的导数公式 2. 掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则 3. 会求简单函数的导数
第2页/共11页
例题
例1. 求下列函数的导数
(1)
y
2x2
1 x
3 x3
(2) y ex cos x sin x

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。

下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。

例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。

解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。

f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。

解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。

g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。

导数的四则运算证明

导数的四则运算证明

导数的四则运算证明1.加法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) + g(x + Δx) -(f(x) + g(x))]/Δx由于f(x)和g(x)都在[a,b]上可导，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx我们可以将其展开并化简得到：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) - g(x) + f(x) - f(x + Δx) + g(x) - g(x + Δx)]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx +lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2.减法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - g(x + Δx) -(f(x) - g(x))]/Δx同样，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx将其代入上式得到：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x) - g(x + Δx) + g(x)]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx -lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)3.乘法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) * g(x + Δx) -f(x) * g(x))]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)]/Δx= lim_(Δx→0) [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x) + f(x+ Δx) * g(x) - f(x + Δx) * g(x)]/Δx应用极限的性质进行化简，得到：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx * g(x)+ f(x) * lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，并且g(x)≠0，则有：(f(x) / g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) / g(x + Δx) -f(x) / g(x))]/Δx同样，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx将其代入上式得到：(f(x) / g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) * g(x) - f(x) *g(x + Δx))/(Δx * g(x) * g(x + Δx))]根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) / g(x))' = [lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx * g(x) - f(x) * lim_(Δx→0) [g(x + Δx) - g(x)]/Δx] / g(x)^2即：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2综上所述，我们证明了导数的四则运算法则。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则
讨论要求
讨论声音 展示同学 不要太大， 做好展示 以免影响 准备 其他组的 讨论

展示、修改、查漏、补缺
展 一 二 三 示 内 容 位置 方式 展示安排 黑板 书面 2B1、5B1 黑板 书面 7组A2 黑板 书面 9组B2
合作探究1 合作探究2 合作探究3
要求： 1.展示同学书写工整、迅速； 2.展示内容后写出小结和新生成问题。 3.非展示同学落实好讨论结果后总结拓展.

学案反馈————美中不足 存在问题：
部分学生粗心大意，字迹潦草，抄 袭现象严重。 对基础知识理解不够，前学后忘， 分析能力欠佳，不会灵活运用所学知 识。尤其是合作探究4； 注意导数的计算步骤，规范写法。

知识新授

练 习
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
2

练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
x
x
指数函数
高陵县第一中学
导数的四则运算法则
（一）
学习目标——有的放矢
了解两个函数的和、差的求导公式，会 1 用公式求含有和、差运算的函数的导数；
通过观察具体函数如何求导及求导过程，发现 两个函数的和、差的求导方法，获得两个函数 的和、差求导公式；
2
3
体会从特殊到一般的知识发现过程，养成 科学的思维习惯。
a－b＝0， 又对一切x∈R方程恒成立，所以b－2c＝0， c－1＝0， a＝2， 解得b＝2， c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.

合作、交流、讨论、纠错

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

练习： 1 求多项式函数f(x)=2x5+3x44x3=5x2+7的导数。
2. 求y=sin2x的导数。
小结：导数的四则运算法则
[f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[Cf ( x)]' Cf '( x) (C为常数)
1 1 1 ' 1 ' 方法二 : s(t ) t , s' (t ) t t ' 1 2 t t t t 方法三 : s (t ) (t 2 1) t 1 ,
s' (t ) (t 2 1)'t 1 (t 2 1)(t 1 )' 2t t 1 (t 2 1) t 2 1 t 2
右边无限趋近于f '( x) g '( x)
故[f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)成立.
导数的四则运算法则
求导法则一： 两个函数和的导数，等于这两个函数的导数的和。

[f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x) y=x3+sinx-lnx的导数
f ( x x) g ( x) f ( x x) g ( x).
y f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x) . x x x 当x无限趋近于0时, 左边无限趋近于[f ( x) g ( x)]',
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ，特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x).
12345
6.已知
f(x)＝1＋sincoxs
，则 x
f′π3＝__23__.
解析
因为
f′(x)＝sin
x′1＋cos x－sin x1＋cos 1＋cos x2
x′
＝cos
x1＋cos x－sin 1＋cos x2
x－sin
x＝cos
x＋cos2x＋sin2x 1＋cos x2
＝1c＋oscxo＋s x12＝1＋c1os x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′，故错误；
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
12345
4.已知 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝__1__.
解析
f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
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§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。

解：（1）2ln 22)2()()2(22xxxx x x y +='+'='+='。

（2）xxx x x x y 121)(ln )()ln (-='-'='-='。

（3）[]123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='-+='x x x x x x x x x x y 。

()x xx x x x x x x x x x x x x x x x y 21222)()()(111)4(23232122122222++-=++-='+'-'='+-='⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------例2：求曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线方程。

解：()22331311x x x x x x y +='⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫⎝⎛-='。

将1=x 代入导函数得 41113=+⨯。

即曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，即44-=x y 。

设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。

我们来求)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。

[])()()()()()()()]()([)()()()(02020002002020002002020x f xx x x x x f x x f x x xx f x x x x f x x f x x xx f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆令0→∆x ，由于 20200)(lim x x x x =∆+→∆)()()(lim0000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆0202002)(lim x xx x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。

因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。

一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=' 特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='例3：求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y sin =； （3）x x y ln =。

解：（1）xxxxxxe x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；（2）x x xx x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+='+'='='；（3）1ln 1ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x xx x x x x x x x y 。

例4：求下列函数的导数：（1）xxy sin =； （2）x x y ln 2=。

解：（1）222sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='； （2）xx x xx x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅-⋅='⋅-⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='(三)、练习：课本44P 练习：1、2. 课本46P 练习1.（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+ 2()()()()()[()()]()()()()()()f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-'''=+=⎢⎥⎣⎦（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2五、教后反思：本节课成功之点：（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2） 由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

不足之处：学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。