连续函数四则运算

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 、差 、
积 、商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的 函数 . ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 百度文库续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例如,
是由连续函数链
xR
复合而成 , 因此
*
* x R 上连续 . 在
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
三、初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
a 例 3 求 lim a 例3 求 lim x 0
x 0
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
x x
1 1 . . x x
解 令 ax – 1 = t， 则 x = loga (1 + t) , 当 x0 时，
3 sin x t0 ，于是 1 2 x ) sin x . 例 4 求 lim ( (1 2 x) . 例4 求 lim x 0 01 axx t lim ln a . lim x 连续函数的运算与初等函数的连续性 解 x0 第九节 x 0 log a (11 t ) 1 x x x 1 6x x3 x cx x x a b a b c sin x 2 x sin x 0, c 0) . ( a 0 , b x ( 1 2 x ) ( 1 2 x ) ( a 0 , b 0, c 0) . 例 5 求 由此可得 例5lim 求 lim lim a 1 ~ x ln a . 3 3 x 0 x 0 0 x 0 x
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的
区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少)
且连续. 证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
2 2
1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
2
解
x 0 lim 0. 1 2 2 log ( 1 x ) x 0 1 a x 1 x log ( 1 x ) lim a lim x x 0 x 0 1 log a e .

lim g ( x) u
x x0
0
, 而
函数 y = f (u) 在 u = u0 连续， 则
lim f [ g ( x)] lim f (u ) f (u ) ,
x x0 u u0 0
或 证明略.
lim f [ g ( x)] f [lim g ( x)] .
x x0 x x0
数 y = ln x 在(0 , + )上也单调递增且连续. y y = ex
1
O
1
y = ln x
x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
2. 复合函数的连续性
定理3 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成， U ( x0 ) D f g . 若
例如, y sin x 在
上单调增加且连续， 其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
y sin x
π 2
-1
O
1
π 2
x
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成， U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
x0 连续，且 g(x0) = u0 ， 而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续. 证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 3
解
x x a b21x c lim lim ( 1 2 x)3 x 0
6x x sin x
e .
ax bx cx 3 6 1 lim 3 x 0
1 x
1 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 2
x 0 x 0
例1 求 例1 求
解
lim lim
1 x 2 1 1 x 1 . x . x
2 log (1 x) a1 1 x log a (1 x) . 例2 求 lim . lim lim x x 0 x 例2 求 lim x 0 x x 0 x 0