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第二章点、直线和平面的投影一、本章重点：点的坐标与投影，重影点；直线在三面投影体系中的投影特性；平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：求线段的实长及其对投影面的倾角；两直线的相对位置；直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相对位置以及直线与平面的相对位置。
四、本章内容：§2—1投影法的基本知识一、投影法的概念方法称为投影法。
二、投影法的种类1．中心投影法投影线从一点发出，如上图。
该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。
因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称2平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。
在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
§2—2 点的投影一、多面投影的形成图，A 、A0的投影都是a,间位置。
因此，利用相互垂直的的两个体系，作出多面正投影。
二、点在两个投影面体系中的投影 如图投影特性：（1）点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴，即a’a⊥OX;（2）点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离，即a’ax=A a, aax=Aa’。
三、点在三个投影面体系中的投影投影特性：（1）a’a⊥OX, a’a”⊥OZ, aayH⊥OYH, a”ayW⊥OYW（2）a’ax=A a, aax=Aa’。
a’aZ=Aa”四、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。
点的正面投影由点的X、Z坐标决定，点的水平投影由点的X、Y坐标决定，点的侧面投影由点的Y、Z坐标决定。
点、直线和平面的投影教学目的要求:1.点的投影及作图.2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.教学重点难点:1.各种位置直线的投影.2.各种位置平面的投影.3.平面上取点取线的作图.学时: 3§ 1点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。
重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。
难点：重影点的投影。
引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。
1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影 a → H正面投影 a´→ V侧面投影 a″→ W点的三面投影规律：a′a ⊥ oxa′a″⊥ oza aх =a″az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）A a″= a′az = aay = 横标（X标）V、H 投影反映XV、W 投影反映ZH、W 投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。
2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。
二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系——四分角；三投影面体系——八分角。
2.其他情况投影面上的点的投影关系；投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。
XA<XB B点在A左方 YA>YB B点在A点后方 ZA>ZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。
第二章点、直线和平面的投影平面直线点点、直线和平面称为构成立体的几何元素§2-1 点的投影一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点间的相对位置、重影点a ya xa zaa "a 'a '正面投影a "侧面投影a水平投影1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴（aa '⊥OX ）；2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴（a 'a "⊥OZ ）；3. 点的水平投影到OX 轴的距离等于点的侧面投影到OZ 轴的距离（aa x =a "a z ）。
a xa z例：已知点的正面投影a '和水平投影a ，求其侧面投影a "a"aa 'X ZO Y WY Ha x a 'a ⊥OX ; a 'a "⊥OZ ; aa x = a "a za'aa"a xa zaa'a"a xa ya zX A(Oa x)＝Aa"——点到W投影面的距离；Y A(Oa y)＝Aa'——点到V投影面的距离；Z A(Oa z)＝Aa——点到H投影面的距离；点到投影面的距离()()()每个投影反映点的两个坐标；每个坐标在两个投影中得到反映。
cc 'a ba x 例：已知点的坐标，求投影。
A ( 15, 8, 10 ), B ( 15, 8, 0 ), C (15, 0, 0 )aX ZO Y WY Ha "a 'a 'a "b "b 'bb 'a x b "cc 'c "c "投影面上点，其该面投影与点本身重合，另两投影在相应的投影轴上；投影轴上点，有两个投影与点本身重合，另一投影与原点重合。
三、两点间的相对位置aa'a"a xa ya zb'bb"b'bb"两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差来判断两点中X坐标大的点——在左方两点中Y坐标大的点——在前方两点中Z坐标大的点——在上方aa'a"A在B的左方X A-处A在B的前方Y A-处A B处的aa'a"a xa ya zaa'a"b'bb"b'bb"aa 'a "b b 'b "（）aa 'a "（c '）cc "重影点及可见性当空间两点位在某一投影面的同一条投射线上时，它们的该面投影重合,这时，空间两点称为对该投影面的重影点。
对H 面的重影点对V 面的重影点例：已知B 点的三投影，A 点在B 点之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A 点的投影。
bb 'XZOY WY Hb "aa 'a "§2-2 直线的投影一、直线的投影二、各种位置直线的投影特性三、一般位置直线的实长及其对投影面的倾角四、直线上的点的投影五、两直线的相对位置六、直角投影定理α一、直线的投影βaa 'a "bb 'b "γX ZOY WY Hbb 'b "aa 'a "直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影直线对投影面的倾角二、各种位置直线的投影特性投影面平行线：平行于一个、倾斜于另两个投影面的直线//V 面—正平线//H 面—水平线//W 面—侧平线投影面垂直线：垂直于一个、同时平行于另两个投影面的直线⊥V 面—正垂线⊥H 面—铅垂线⊥W 面—侧垂线投影面倾斜线：对三个投影面都倾斜的直线特殊位置直线一般位置直线1. 投影面平行线（1）正平线X ZOY WY Haba 'b 'a "b "αγ投影特性：a 'b '=AB ;ab //OX 、a "b "//OZ ;反映α、γ角的真实角度。
aa 'a "bb 'b "αγαγ（X Z OY WY Hff 'f "e e 'e "βαef 'f "f e 'e "βαcc 'c "dd 'd "βγX Z O Y WY Hγcc 'c "dd 'd "β1)在与其平行的投影面上的投影显实长，且与两投影轴的夹角反映直线对另两投影面的真实倾角；2)另两个投影长度缩短，且分别平行于相应的投影轴。
例：过点A 作正平线AB ，长为20mm, α＝30°。
aa 'XO30°bb '投影面平行线的投影特性aa 'a "bb 'b "αγαγ2. 投影面垂直线（1）正垂线Z X OY WY Hbaa '(b ')b "a "投影特性：a '(b ')积聚为一点;ab ⊥OX 、a "b "⊥OZ 。
ab ＝a "b "＝AB ;ba 'b "a(b ')a "（（c e 点c c 'c "（d ）d 'd "X ZOY W Y Hc c 'c "(d)d 'd "XZO Y WY H ff '(f ")ee 'e "ef '(f ")f e 'e "ba 'b "a(b ')a "投影面垂直线的投影特性1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；2)另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。
XZOY WY HXZOY WY H投影面上的直线的投影3. 投影面倾斜线aa 'a"bb 'b "αγβb 'bX ZOY WY Hb "aa 'a "投影特性：1)直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线;2)投影中不能反映直线段的实长和倾角。
例：判断各直线对投影面的相对位置（b "bb 'XZ OY WY Hc "aa 'a "cd c 'd 'd "aa 'bb '三、一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角1.求线段的实长及对水平面的倾角αα∆Z AB∆Z ABABαa bAB αbb 'XOaa '∆Z AB直角三角形法ab 'a 'bβ∆y AB∆y ABABβABβbb 'XO aa '∆y ABa 'b '3.求线段的实长及对侧平面的倾角γbb 'XZOY WY Hb "aa 'a "∆X AB∆X ABγAB aa 'a "bb 'b "γ∆X AB直角三角形法小结aa 'a "bb 'b "αγβ记忆立体图实长倾角投影长坐标差实长投影长坐标差倾角a b ∆Z AB αAB a'b'∆Y AB βAB a"b"∆X ABγAB四个量中，已知两个量可求出另外两个量例：已知直线AB 的正面投影a 'b '及点B 的水平投影b , α=30°, 求ab 。
投影长坐标差a b ∆Z AB a'b'∆Y AB a"b"∆X ABXa 'b'b30°a b a baa∆Z ABOaa 'a "bb 'b "四、直线上点的投影Za "bb 'XOY WY Hb "a 'ac 'c "c1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。
A C ：CB = a c ：c b = a 'c '：c 'b '= a "c "：c "b "c "c 'ccAC:CB =ac:cb = a'c':c'b' = 2:1例1 已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2 : 1两段，求分点C的投影。
OXbb'aa'c0b0c'例2 已知点C 在线段AB 上，求点C 的正面投影。
bcc 'ca定比作图方法b 'a 'abcXOb 'c 'bc aa 'VHXB ACO例2 已知点C 在线段AB 上，求点C 的正面投影。
b 'c 'bcaa 'VHXB ACOXcc 'a 'b 'abL∆Z AB∆Z ABcb 0ABaa 'bb 'Lc 'cLXOaa 'cLc '求点C 的两投影。
c'a 'adL∆Z AD∆Z ADcd 0c 0ADLdd 'd'XOaa 'XZ O Y WY Hb 'c 'd 'b cda "b "c "d "（1（2）两直线段空间长度比等于他们各同面投影的长度比。
aa 'b 'c 'd 'bcdaa 'XZOY WY Hb 'c 'd 'bc d a "b "c "d "若两直线的各同面投影互相平行，则两直线空间平行；当为一般位置直线时，若有两个同面投影互相平行，则两直线空间平行。
aa 'b 'c 'd 'b cdk 'kaa 'X Z O Y WY Hb 'c 'd 'bcda "b "c "d "k 'k k "若两直线的各同面投影都相交，且交点符合一点的投影规律，则空间两直线相交；当两直线均为一般位置直线时，若有两个同面投影满足上述条件，则空间两直线相交。
