南京市2015届高三年级第三次模拟考试试卷(数学)

江苏省南京市2015届高考全真模拟数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．1、复数1i1i 2等于___ ★ ___ 2、函数sin(2)6π=-y x 的最小正周期为___ ★ ___ 3、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==24x x y x A ，(]a B ,∞-=，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是___ ★ ___4、为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文 密文 密文 明文已知加密为2-=xa y (x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”， 再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文 是___ ★ ___5、为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是___ ★ ___ Input xIf x<0 theny=(x+1)*(x+1) Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint y End6、已知向量 1)，θ=a ，(1 cos )，θ=b ，则⋅a b 的最大值为___ ★ ___7、在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2π=+-+f x x ax b 有零点的概率为___ ★ ___解密 加密 发送8、若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是___ ★ ___ 9、设0)()(0,,),1(log )(223≥+≥++++=b f a f b a b a x x x x f 是则对任意实数的___ ★ ___条件。

第Ⅰ卷(共160分）一、填空题：本大题共142个小题，每小题5分,共70分.1。

已知复数z ＝错误!－1,其中i 为虚数单位,则z 的模为 ▲ ． 【答案】5【解析】 试题分析：222(1)11121(1)(1)i i i z i i i i i i +=-=-=+-=-+--+，25z i =-+= 考点:复数的运算．2。

经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5概率0。

1 0.16 0.3 0。

3 0.1 0。

04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．【答案】0。

74 【解析】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点:互斥事件的概率.3。

若变量x ,y 满足约束条件错误!则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ． 【答案】4l OxyCBA考点：线性规划.4.右图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲【答案】6考点：循环结构,程序框图.5.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．【答案】甲【解析】试题分析:甲成绩为87,89,90,91,93，其平均值为90，方差为2，乙成绩为78,88,89,96,99，其平均值为90，方差为53.2，故甲较稳定。

考点:茎叶图，方差.6。

记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x错误!A"是“x错误!B"的充分条件，则实数a的取值范围为▲．【答案】（－∞，－3]【解析】试题分析：由已知{|32}=>，由题意A B⊆,故3B x x aA x x=-<<，{|}a≤-.考点：充分必要条件，集合的关系。

7。

在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点F 作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是▲．【答案】43【解析】试题分析：双曲线的准线为3=±，右焦点为(2,0),学科网把2y xx=代入准线方程得23y=±因此所求面积为124343⨯⨯=2考点：双曲线的性质.8.已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4,则此六棱锥的体积为 ▲ ． 【答案】12 【解析】试题分析:由己知正六棱锥的高为224223h =-=,底面面积为2332632S =⨯=，所以1163231233V Sh ==⨯⨯=.考点：几何体的体积。

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的41个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于63．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12的交点的个数是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是 ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时， 三棱锥D －ABC 1的体积为 ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BDACBA B CD A∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；A（2）若表演台每平方米的造价为万元， 求表演台的最低造价．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2． （1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD BC的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，求a1p的取值范围．20．已知λ∈R，函数f (x)＝e x－e x－λ(x ln x－x＋1)的导函数为g(x)．（1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383．54．－15． 6．27．{32} 8．129．8 10．1311．－1＋5212．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD 平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD 平面ABD ，EF 平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ， 所以AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ， 所以CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE 平面AEF ，EF 平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD 平面ACD ， 所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α． 因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝3AC．在△ABC中，S△ABC＝12AB•AC•sinθ＝4003，所以AC2＝800sinθ． (3)分由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－23AC2 cosθ．＝(4－23cosθ) 800sinθ，即BC＝(4－23cosθ)•800sinθ＝402－3cosθsinθ．所以BC＝402－3cosθsinθ，θ∈(0，π)．…………………… 7分（2）设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． (11)分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)． 答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝ca＝32． …………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k1·k2＝12x02y0－2·y0－1x0＝14，即k1·k2为定值14．……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p＝1，所以a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1．①因为a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．…………………………… 3分②因为a2＝1，a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1，所以当n≥2时，a n≥1，从而a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1＝a n－1＋2 a n＋1＝3a n，于是有a n＝3n－2(n≥2) ．…………………………… 5分当n＝1时，S1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32．所以 S n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3n－1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． …………………………8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1． 若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．列．……………………… 12分（ii）当－1＜a1p＜1时，有－p＜a1＜p．此时a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，于是当n≥2时，a n≥a2＞p，从而a n＋1＝|p－a n|＋2 a n＋p＝a n－p＋2 a n＋p＝3a n．所以a n＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)．若{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，于是有2×3s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．因为2≤s≤t－1，所以a1a1＋2 p ＝2×3s－2－3t－2＝29×3s－13×3t－1＜0．因为2×3s－2－3t－2是整数，所以a1a1＋2 p≤－1，于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．列．………………… 14分（iii）当a1p≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有a1，a2，a3成等差数列．综上可知：a1p≤－1．……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f′(x)＝e x－e－λln x，所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x－λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x－λx，则h ′(x )＝e x＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0．…………………… 8分且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因此g (x)在x＝x0处有极小值．所以当函数g(x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x)＝f′(x)＝e x－e－λln x，g′(x)＝e x－λx．若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤x e x恒成立．设φ(x)＝x e x(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1) e x＞0恒成立，所以φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e．于是当λ≤e时，g (x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，从而f (x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0恒成立．…………………………… 13分当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e．…………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． ……………∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分 所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AEAC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 2 ， 所以AB ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －102 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分 设(AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ， 即 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于 2 ＝x2＋y2，cosθ＝x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－8x＋15＝0，即 (x－4)2+y2＝1，所以曲线C是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l的直角坐标方程为y＝x ，即x－y＝0．…………… 6分因为圆心(4，0) 到直线l的距离d＝|4－0|2＝22＞1．…………… 8分所以直线l与圆相离，从而PQ的最小值为d－1＝22－1． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为x＞0，所以x3＋2 ＝x3＋1＋1 ≥ 33x3×1×1 ＝ 3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．…………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ， 当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分 所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3，0)，所以OP→＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ． 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分 （2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0． 所以向量SM→与NQ→共线． …………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2＝C06＋C26＋C46＋C66＝25＝32．……………………… 3分（2）T n＝C03n＋C33n＋C63n＋…＋C3n3n．……………………… 4分当1≤k≤n，k∈N*时，C3k 3n＋3＝C3k3n＋2＋C3k－13n＋2＝C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－13n＋1＋C3k－23n＋1＝2C3k－13n＋1＋C3k 3n＋1＋C3k－23n＋1＝2 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k－13n＋C3k3n＋C3k－33n＋C3k－23n＝ 3 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k3n＋C3k－33n，……………………… 6分于是T n＋1＝C03n＋3＋C33n＋3＋C63n＋3＋…＋C3n＋33n＋3＝C03n＋3＋C3n＋33n＋3＋3(C13n＋C23n＋C43n＋C53n＋…＋C3n－23n＋C3n－13n)＋T n－C03n＋T n－C3n3n＝2 T n＋3(23n－T n)＝3×8n－T n．……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k－T k ＝3×8k－13[8k ＋2(－1)k]＝13[9×8k －8k －2(－1)k]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．。

人教新版七年级历史（下）三维同步训练第一单元第二课“贞观之治”【维度A】基础知识一、选择题：2．隋朝灭亡最根本的原因是：（）A. 权臣当道B.隋炀帝的暴政C.土地兼并严重D. 隋末农民起义2．毛泽东在《沁园春雪》中写道“惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚”，这里“唐宗”指的是：( )A. 唐太宗B.唐高宗C.唐中宗D.唐玄宗3．如果你是唐太宗时期中央的一名官员，那么你可能遇到的情况有：（）①有幸与魏征、杜如晦等名臣同朝为官。

②唐太宗常常告诫大臣“水能载舟，亦能覆舟”的道理。

③由于唐太宗善于纳谏，因此你提出一些有利于朝政的提议，得到唐太宗的赏识。

④见证了唐太宗死后，武则天登上皇位的一幕。

A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④4．在唐太宗统治时期有一位大臣，前后向唐太宗进谏二百多次，是著名的谏臣。

以至于在他死后，唐太宗说“以铜为镜，可以正衣冠；以史为镜，可以鉴兴衰；以人为镜，可以知得失。

我现在失去一面好镜子啊。

”那么这位大臣是：（）A. 长孙无忌B. 杜如晦C. 狄仁杰D.魏征5．“政启开元，治宏贞观”指的是谁的统治：（）A.唐高祖B. 唐太宗C. 唐高宗D.武则天6．我们今天肯定武则天，主要是因为：（）A.她是我国历史上唯一的女皇。

B.她替多病的高宗处理政事，显示了卓越的政治才能。

C.继承唐太宗的政策，重用人才，发展农业，为唐朝盛世的出现打下基础。

D. 创造了一个新字“曌”（Zhao）。

7．唐太宗和武则天统治的相似点有：（）①都重视农业生产的发展②都实行选拔贤才的政策③都虚心采纳谏言④都注意戒奢从简A. ①②B.②③C.①④D.③④8．对“房谋杜断”中的“房”解释正确的是：（）A. 帐篷B. 房间C. 内室D. 宰相房玄龄二、填空题：9．公元_________年，隋朝灭亡。

同年，在太原起兵的贵族__________，进入___________，建立___________。

10．唐太宗统治时期，政治比较清明，经济发展较快，国力逐步加强，历史上称为__________________。

江苏省南京市2015届高三下学期期初数学试卷二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．2．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是．3．（5分）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为．5．（5分）已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．6．7．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．8．（5分）已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是．9．（5分）设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为．10．（5分）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=．11．（5分）已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．12．（5分）若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．14．（5分）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．17．（14分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．18．（16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？19．（16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．20．（16分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．（理科选做）加试题（每题10分，共20分）选修4-2【矩阵与变换】21．设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．23．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．24．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．选修4-4：【坐标系与参数方程】22．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．江苏省南京市2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．解答：解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4点评：本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．2．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．3．（5分）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．解答：解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△BCD的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为点评：本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=得：=，∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），∴ac≤=8（2+）=16+8，∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，则△ABC面积的最大值为4+4．故答案为：4+4点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．6．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．7．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：作图题．分析：由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．解答：解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）点评：本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：（﹣）•（2﹣﹣）=0，则△ABC的形状是等腰直角三角形．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=0，因此以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，即可得出△ABC的形状．解答：解：∵=+=+，又（﹣）•（2﹣﹣）=0，∴=0，∴以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，因此△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形与正方形的性质、△ABC的形状、数量积运算，考查了推理能力，属于基础题．9．（5分）设x，y均为正实数，且=1，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由=1，化为xy=x+y+8，使用基本不等式和利用一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：由=1，化为3（2+y）+3（2+x）=（2+x）（2+y），整理为xy=x+y+8，∵x，y均为正实数，∴xy=x+y+8，∴，解得，即xy≥16，当且仅当x=y=4时取等号．∴xy的最小值为16．故答案为：16．点评：本题考查了基本不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题．10．（5分）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2．考点：类比推理；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．解答：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．点评：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．11．（5分）已知点P（m，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF1F2分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a，c的方程，由离心率公式计算即可得到．解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a，由三角形的面积公式可得=×2c×4=4c，由△PF1F2的内切圆的半径为，则=×（m+n+2c）=（2a+2c）=（a+c），即有4c=（a+c），即为5c=3a，则离心率e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的面积公式和面积的分割法，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，则实数k的取值范围是（0，4）．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可知可得x＞﹣1且x≠0，k=x++2，（x＞﹣1且x≠0），由“对号函数”的性质和集合的运算可得．解答：解：由题意可知，解得x＞﹣1且x≠0，由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）2，可得kx=（x+1）2，变形可得k==x++2，（x＞﹣1且x≠0）由“对号函数”的性质可知x+＜﹣2，或x+≥2，∴x++2＜0，或x++2≥4，要使函数f（x）=﹣ln（x+1）不存在零点，只需k取x++2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，当k=0时，函数无意义，故k的取值范围应为：（0，4）故答案为：（0，4）点评：本题考查函数的零点，涉及“对号函数”的性质和集合的运算，属基础题．13．（5分）函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导函数，求出函数的极值点，利用函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），令y′=0，则x=0或﹣2，﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，∴0或﹣2是函数的极值点，∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．考点：导数的运算；对数函数图象与性质的综合应用．专题：导数的概念及应用．分析：由题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：1点评：本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意知f（0）=0求出b，再由奇函数的定义求出b；（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．解答：解：∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴，即化简，得解得，∴a的值是2，b的值是1．∴f（x）是R上的减函数；（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0，解得k＜﹣，所以实数k的取值范围是：k＜﹣，点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．16．（14分）已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（﹣2β）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则•的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，∴﹣1≤cos（）≤．当，即x=0时，f（x）取得最大值1，当，即x=4时，f（x）取得最小值﹣2．因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．则．∴•=0﹣2=﹣2；（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，则，，则sin2β=2sinβcosβ=2×=，cos2β=2cos2β﹣1=2×=．∴sin（﹣2β）=sin（）===．点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．17．（14分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．利用，即可求三棱锥B﹣DEG的体积．解答：解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD=，DC=，所以B到DC的距离h===，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．三棱锥B﹣DEG的体积：V====．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．分析：（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x﹣＜0，说明不获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为：=；分段讨论，①当x∈[120，144）时，求出的最小值；②当x∈[144，500]时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．解答：解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x﹣=﹣x2+400x﹣80000=﹣（x﹣400）2；当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：=，则：①当x∈[120，144）时，=x2﹣80x+5040=（x﹣120）2+240，∴当x=120时，取得最小值240；②当x∈[144，500]时，=x+﹣200≥2﹣200=200，当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．点评：本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．19．（16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由椭圆的长轴长为4，得2a=4，即得a=2；又点在椭圆上，代入椭圆标准方程，可得b；从而得出方程．（Ⅱ）设P（4，t）其中t≠0，直线AP与椭圆交于点M（异于A），由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M的坐标；由B，P，M三点坐标，得向量，，，由•＜0，知∠MBP是钝角；从而得出证明．解答：解：（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为；又点在椭圆上，∴=1，∴b2=1；故所求椭圆方程为：．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），设P（4，t），M（x M，y M），则直线PA的方程为：，（t≠0）；由得（9+t2）x2+4t2x+4t2﹣36=0；因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以，所以；由，得，所以；从而，；所以=．又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆的基础知识，（Ⅱ）借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=；故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；（2）当a=1时，f（x）=x2+lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=x+＞0；故f（x）在[1，e]上是增函数，故f min（x）=f（1）=，f max（x）=f（e）=e2+1；（3）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；则F′（x）=2x2﹣x﹣=，∵x∈[1，+∞），∴F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的图象与函数的性质的关系及恒成立问题，属于中档题．（理科选做）加试题（每题10分，共20分）选修4-2【矩阵与变换】21．设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．考点：特征值、特征向量的应用．专题：矩阵和变换．分析：根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad﹣bc的值．解答：解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=，可得…①；同理可得，即…②；由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4，即ad﹣bc的值为﹣4．点评：本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），连接A1B，A1C，A1D1（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）首先根据最大值确定正方体，进一步根据法向量，及向量的数量积求出二面角．（2）与（1）一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．解答：解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t（0＜t＜2），则求得：AD=2﹣t则：V=t（2﹣t）=﹣（t﹣1）2+1当t=1时，V max=1即：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．所以：建立空间直角坐标系A﹣xyz．正方体的棱长为1．由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1所以：AB1⊥平面BA1C所以：可以看做是平面BA1C的法向量．所以：同理：利用线面垂直得到所以：进一步求得：=，所以根据图形知：二面角B﹣A1C﹣D的值为．（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz，则：C（t，2﹣t，0），A1（0，0，1），B（t，0，0），D（0，2﹣t，0）所以：，假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则设（λ＞0）根据分点坐标公式：P（求得：，由于所以：﹣t2+λ（2﹣t）2﹣1=0①同理利用：解得：﹣t2+（2﹣t）2=0②所以：解得：（负值舍去）所以点P在的位置．点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，分点坐标公式，向量的共线问题，属于中等题型．24．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用条件a1=2，a2=1建立方程组，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出S n，利用等式=成立，解方程即可得到结论．解答：解：（1）由题意，得2S2=S1+λ，求得λ=4．所以，2S n+1=S n+4①当n≥2时，2S n=S n﹣1+4②①﹣②，得（n≥2），又，所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．所以{a n}的通项公式为（n∈N*）．（2）由（1），得，由，得，化简得，即（4﹣m）2n﹣4=2m﹣1，即（4﹣m）2n=4+2m﹣1．（*）因为2m﹣1+4＞0，所以（4﹣m）•2n＞0，所以m＜4，因为m∈N*，所以m=1或2或3．当m=1时，由（*）得3×2n=5，所以无正整数解；当m=2时，由（*）得2×2n=6，所以无正整数解；当m=3时，由（*）得2n=8，所以n=3．综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查学生的计算能力．选修4-4：【坐标系与参数方程】22．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．解答：解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…（10分）点评：本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．。

&已知m , n 是不重合的两条直线，①若 a 丄B, m ± a,贝U m 〃 3；a, 3是不重合的两个平面.下列命南京市2014届高三年级第三次模拟考试数 学2014.05注意事项:1本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试 卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内•试题的答案写在答题纸 上 对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.已知全集 U = R ，集合 A = {x|x W — 2, x € R }, B = {x|x v 1 , x € R }，则（？u A ） n B = ▲. 2.已知（1 + 令2= a + bi （a , b € R , i 为虚数单位），贝V a + b =▲.3 •某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本. 已知在甲校抽取了 48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲.4.现有红心1, 2, 3和黑桃4, 5共五张牌，从这五张牌中随机取 的概率为▲ .5•执行右边的伪代码，输出的结果是▲.（第5题图）6 .已知抛物线y 2 = 2px 过点M(2, 2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 _▲n nr .7 .已知 tan a=— 2,,且 ~< aV n,贝U COS a+ sin a= ▲.2张牌，则所取2张牌均为红心；:S-1■: ；I — 3 !::WhileS W 200；； S — S x I ■ :9. 将函数f(x)= sin(3x +》的图象向右平移3个单位长度，得到函数y = g(x)的图象，则函数y = g(x) 在【3，2n 上的最小值为▲.10.已知数列｛a n ｝满足 a n = a n -1 — a n -2(n >3, n € N *)，它的前 n 项和为 S n .若 &= 6, S io =5,贝V a i 的值为 ▲ .x x 》0211.已知函数f(x)=° 2 心0 ,则关于x 的不等式f(x)> f(3 — 2x)的解集是▲ . ,x , x < 0 ,_->->12. 在Rt △ ABC 中，CA = CB = 2 , M , N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN = ,2 ,贝U CM •CN 的 取值范围为▲.13. _________________________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为(x — 1)2 + y 2 = 4 , P为圆C 上一点.若存在一个定圆 M , 过P 作圆M 的两条切线PA , PB ,切点分别为 A , B ,当P 在圆C 上运动时，使得/ APB 恒为 60 ,则圆M 的方程为 .14. 设二次函数f(x)= ax 2 + bx + c(a , b , c 为常数)的导函数为f(x).对任意x € R ,不等式f(x) >f (x)2恒成立，则丿2的最大值为▲ a +c -------------二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (本小题满分14分)(1) 求 B ；(2) 若 cos(C + #= 1,求 si nA 的值.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥 P — ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB_平面PAD , △ FAD 是正三角形,在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为且严B +仁2ctanA a(1)若点E 为棱FA 上一点，且 OE //平面 (2)求证：平面 PBC_平面FDC.DC//AB , DA = DC = 2AB.17. (本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n).经研究发现f(n)近似地满 2 9A -3足f(n)= 応其中t = 2 , a , b 为常数，n € N , f(0) = A •已知栽种3年后该树木的高度为 a + b t 栽种时高度的3倍. (1)栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的 8倍；(2) 该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.18. (本小题满分16分)2 2已知椭圆C :歩+泊=1(a >b >0)过点P(- 1,— 1), c 为椭圆的半焦距，且 c = ,2b .过点P 作 两条互相垂直的直线11, 12与椭圆C 分别交于另两点 M , N . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线11的斜率为一1,求厶PMN 的面积； (3) 若线段MN 的中点在x 轴上，求直线 MN 的方程.19. (本小题满分16分)已知函数 f(x)= lnx — mx (m € R ).(1) 若曲线y = f(x)过点P(1, — 1)，求曲线 尸f(x)在点P 处的切线方程； (2) 求函数f(x)在区间［1, e ］上的最大值；(3) 若函数f(x)有两个不同的零点 X 1, X 2,求证：X 1x 2 >e 2.20. (本小题满分16分) 已知a , b 是不相等的正数，在 a , b 之间分别插入m 个正数a 1, a 2,…，a m 和正数b 1,b 2,…,b m ，使a , a 1, a 2,…，a m ,b 是等差数列，a , b 1, S ，…，b m,b 是等比数列.(1) 若m = 5,严=f ,求-的值；b 3 4 a (2)若b =入@入€ N *,入》2),如果存在n (n € N *, 6< n W m)使得a n -5= b n ，求入的最小值及此时C(第16题图)Dm的值；(3) 求证：a n>b n(n€ N* , n W m).南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学附加题2014.05注意事项：1附加题供选修物理的考生使用. 2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内•试题的答案写在答题纸 ... 上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B 、C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指 定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4— 1:几何证明选讲已知圆O 的内接△ ABC 中，D 为BC 上一点，且△ ADC 为正三角形，点 E 为BC 的延长线上一B .选修4— 2:矩阵与变换已知矩阵A = £(k z 0)的一个特征向量为(3, 1)变为点(1, 1).求实数a , k 的值.C .选修4— 4:坐标系与参数方程2 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知M 是椭圆专+需=1上在第一象限的点，A(2, 0), B(0, 2 3) 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值.D .选修4— 5 :不等式选讲点，AE 为圆O 的切线，求证： CD 2= BD • EC .的逆矩阵A 一1对应的变换将点已知a, b, c€ R, a2+ 2b2+ 3c2= 6,求a+ b + c 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)» 1 如图，在正四棱锥P —ABCD中，PA = AB = 2,点M , N分别在线段PA和BD上，BN =-1BD .1(1) 若PM = 3PA,求证：MN 丄AD ;(2) 若二面角M —BD —A的大小为才，求线段MN的长度.C23. (本小题满分10分)已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1, S2, S3,……，集合S k中所有元素的平均值记为b k.将所有b k组成数组T: b1, b2, b3, ........ ，数组T中所有数的平均值记为m(T).(1) 若S={1 , 2}，求m(T);*(2) 右S={a1, a?,…，a.} (n€ N , n》2),求m(T).南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则.2 •对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.因为在△ ABC 中，si nA 工0, si nC 工0, 1所以 cosB = 2 •n因为B € （0,冗），所以B = 3.314・ 2 2— 2sin BcosA + cosBsi nA 2sinC si n(A + B) 2s inC 所以 = ，即— cosBs inA sinA ' cosBsinA则 si nC = 2si nC sinA ，、cosBs inA si nA • 2014.05、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，「(-2, 1)3 • 30 34 — 4. 10,5 ~58•②9 —亚10・111 •(―汽一3) U (1, 3)12. [|, 2](2) 因为 因为 0< C v 2-n ,所以 n< c +器 5n3 6 66n 1n 2 J 2cos(C + 6)= 3，所以 si n(C + 6) = 310所以12n n n sinA = si n(B + C)= si n(C + 3) = si n[( C + §)+ §]=si n(C+ n)cos g + cos(C + n osin g=2& + 1 ..................................................................................................................14分—6'16. (本小题满分14分)证 (1)因为0E //平面PBC, OE 平面PAC,平面RAC门平面PBC = PC,所以0E// PC, 所以A0 : 0C = AE : EP . ....................................................因为DC//AB , DC = 2AB，所以A0 : 0C = AB : DC = 1 : 2.所以AE= 1. ....................................................PE 2(2)法一：取PC的中点F，连结FB, FD .因为△ PAD是正三角形，DA = DC,所以DP = DC .因为F为PC的中点，所以DF丄PC. ....................................................因为AB_平面FAD，所以AB丄FA, AB丄AD , AB丄PD .因为DC//AB，所以DC丄DP , DC丄DA.设AB= a，在等腰直角三角形PCD中，DF = PF = 2a.在Rt△ PAB 中，PB= 5a.在直角梯形ABCD中，BD = BC = 5a.因为BC = PB=,5a,点F为PC的中点，所以PC丄FB.在Rt△ PFB 中，FB = 3a.在厶FDB 中，由DF = 2a, FB = 3a, BD = 5a,可知DF1 2+ FB2= BD2，所以FB 丄DF ..................................................... 12分由DF 丄PC, DF 丄FB , PC P FB = F , PC、FB二平面PBC，所以DF 丄平面PBC.又DF二平面PCD，所以平面PBC_平面PDC . ................................................... 14分法二：取PD , PC的中点，分别为M , F，连结AM , FB , MF ,1 所以MF // DC, MF = ^DC .1因为DC//AB , AB= ^DC，所以MF // AB, MF = AB ,即四边形ABFM为平行四边形，所以AM // BF . ................................................... 8分在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM丄PD .因为AB丄平面PAD，所以AB丄AM .又因为DC//AB，所以DC丄AM .因为BF//AM ，所以BF 丄PD , BF 丄CD .又因为 PD A DC = D , PD 、DC 二平面 PCD ，所以BF 丄平面 PCD . ................................................ 12 分因为BF 二平面PBC ，所以平面 PBC_平面PDC. (14)分17. (本小题满分14分)解：(1)由题意知 f(0) == A , f(3) = 3A .a zb =A ，9A1令 f(n)= 8A ，得 1 + 8x t n = 8A ,解得 t = 64,2n即厂=64,所以n = 9.所以＜ 9A = a +4b3A , 解得a = 1, b = 8.所以f(n)=石冷,2其中t = 2-3.12分所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的(2)由(1 )知f(n) =9A1 8 t第n年的增长高度％△=f(n)—f(n—1)所以△=n—172 At (1 —t)(1 + 8t n)(1 + 8t n—1)72A(1 —t)1f-1 + 64t n+ 8(t + 1)72A (1 —t)+ 8(t+ 1)8 倍.9A1 + 8 X t n9A1 8t—n —172At (1 —t)——1 + 8t (t + 1) + 64t72A (1 —t) = 9A (1—t ) 8(1 + , t )2= 1+ •, t2(2 n-1)当且仅当64t n =1 1 ,即2 3=土时取等号，此时 64 n = 5. 所以该 树 木 栽种后第 5 年的增长高度最大. ............................ 14分18. （本小题满分16分）解：（1）由条件得 a"2+ *= 1,且 c 2= 2b 2，所以 a 2= 3b 2，解得 b 2 = 4, a 2= 4.2 3 2 所以椭圆方程为：y +3y =1. ..................4 4『+ 3y 2= 4 ，消去y 得(1 + 3k 2)x 2+ 6k(k — 1)x + 3(k - 1)2— 4 = 0. 因为P 为(—1, 1),解得M (-3"+驚+ 11+ 3k当心0时，用—*代替k ,得N （k-?- 3k k + 37分将 k =— 1 代入，得 M (— 2, 0), N (1, 1). 因为 P (— 1,— 1),所以 PM = 2, PN = 2 2, 1所以△ PMN 的面积为1八2 X 2 2 = 2 . (3) 解法一：设 M(X 1, y”, N(x 2, y 2),则两式相减得 g + X 2)(x 1 — X 2) + 3(y 1 + y 2)(y 1 — y 2)= 0,因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1+ y 2= 0,从而可得X + X 2）（X 1 — X 2）= 0. 12分若 X 1+ X 2= 0,贝 y N(— X i ,— y 1).因为 PM 丄 PN ，所以 PM • PN = 0,得 X 12+ y 12= 2.又因为 X 12+ 3y 12= 4,所以解得 X 1 = ± 1,所以 M(— 1, 1), N(1, — 1)或 M(1, — 1), N(— 1, 1). 所以直线MN 的方程为y =— x. ....................................................14分若 X 1— X 2= 0,贝 y N (X 1 , — %),因为 PM 丄 PN ,所以 PM • PN = 0，得 y 12= (X 1+ 1)2+ 1 . 又因为X 12+ 3y 12= 4,所以解得X 1 = — 1或一1 , 经检验：x =— 1满足条件，x =— 1不满足条件.1综上,直线MN 的方程为x + y = 0或x =— 2.................................................... (2)设 11 方程为 y + 1 = k(x +1), 联立扫kx 丈-1，3k 2+ 2k — 11 + 3 k2 . -k2-2k +3).k 2+ 3<X 12+ 3yf = 4, x 22+ 3y 22 = 4,化简得 4k (k 2— 4k — 1) = 0，解得 k = 2± 5..............................................12分若 k = 2 + QB ,贝U M (— ，乌5) , N ( — ，— ^25),此时直线 MN 的方程为 x =——. 若k = 2 —寸5,则M (— 2,—乌5), N ( — 2,斗5),此时直线MN 的方程为x = — 1. • 14分当k = 0时，M (1 , — 1), N (— 1, 1),满足题意，此时直线 MN 的方程为x + y = 0. 1综上，直线MN 的方程为x =——或x + y = 0. 16分19. (本小题满分16分)解：(1)因为点P(1,— 1)在曲线y = f(x)上，所以一m =— 1,解得m = 1. 因为f'x)=1— 1，所以切线的斜率为0,所以切线方程为y =— 1.x 3分(2) 因为 f 'x) =1— m = 1—mx .x x① 当 m w 0 时，x € (1, e), f'x)> 0,所以函数 f (x)在(1, e)上单调递增，则 f (x) max = f (e)= 1—me .1 1② 当一> e ,即0v m w —时，x € (1, e), f' x) > 0,所以函数f (x)在(1,e)上单调递增，则f (x)maxef (e)= 1 — me. (5)分1 1 1 1③ 当1«m < e ,即e v m v 1时，函数f (x)在(1,和上单调递增，在(后，e)上单调递减， 则 f (x) max = f 殆=—lnm — 1. (7)分1④ 当 1,即 m 》1 时，x € (1 , e), f'x)< 0,函数 f (x)在(1, e)上单调递减，则 f (x) max = f (1)=—m .16分解法 由(2)知，当k 丰0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2 + 2k - 1 1 + 3k 2—k 2- 2k + 31 10综上，①当 mW-时，f (x)max = 1 — me ; 1②当 一< m v 1 时，f (x)max =— Inm — 1;e③当 m A 1 时，f (X )max =— m .(3)不妨设 X i > X 2> 0.因为 f (X i )= f (X 2)= 0,所以 Inx i — mx i = 0, InX 2— mx 2= 0, 可得 lnx 1+ In X 2= m (X 1 + X 2), |nX 1 — Inx 2= m(x 1— X 2).要证明 X 1X 2>e 2,即证明 InX 1+ InX 2>2,也就是 m(X 1 + X 2)>2. 因为m =昨二巴2，所以即证明 9些> 2 X 1 — X 2 X 1 — X 2 X 1+ X 2‘ 即 肚> 二翌X 2X 1+ X 2…12分 令2=t ，则t >1，于 令(t) = Int — 2(t — 1) (t > 1),贝U ：'(t) = 7 — t +1t(t — 1)； (t + 1)_ t(t + 1)2 故函数(t)在(1,+^)上是增函数，所以(t)> (1) = 0，即lnt >吐9成立.t + 1所以原不等式成立.1620. (本小题满分16分) 解: (1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为b — a 6 b 则d =〒,q =打a 3= a + 3d = a ^-b , b 3 = aq 3= ab .因为at (2)因为q ,4,所以 2a - 5,ab + 2b = 0,解得 b = 4 或1—1X - 1Xa a +(m +1)d,所以d =mr?，从而得 an =a +.n因为入a a X q^1，所以q =f +1，从而得b n = a xX +1(入一1)(n — 5)m +1因为a n -5= b n ,所以a + 一，“ 冷=a x 入 m +16n因为 a >0，所以 1+g1)(n—5=盯(*)• m + 1 因为 人m , n € N ,所以1 + ——丛三一为有理数. m + 1 n要使(*)成立，则 ~必须为有理数. 因为n < m ,所以n v m + 1.n若匕2,则 厂为无理数，不满足条件. 同理，X= 3不满足条件.n2n 2n当 匕4时，4厂=2” .要使2百为有理数，则 斗必须为整数.' m + 1 又因为n E m ,所以仅有2n = m + 1满足条件. 所以 1 +3(n— 5) = 2,从而解得 n = 15, m = 29.m + 1综上，入最小值为4，此时m 为29...............⑶证法一：设C n >0 , Sn 为数列｛ C n ｝的前n 项的和. 先证：若｛5｝为递增数列，则｛詈｝为递增数列. 证明：当 n € N * 时，Sn v nbn 1= b n +1.n n 因为S n +1 = S n + 5+1> S n + Sn =S ，所以，即数列｛-S?｝为递增数列.n nn n +1 n同理可证，若｛C n ｝为递减数列，贝U ｛^｝为递减数列. ......................分1012①当 b >a 时，q > 1.当 n € N *, n < m 时,S m +1m + 1S nnaq(q m+1 —〔) aq(q n — Dm + 1m +1naq — a aq — a>6a所以 d >，即 a + nd > b ，即 a n > b n .因为 b = aqm +1,bn =aq, d=b — a m + 1k_ 1以下证明0v |og 韦r v 1.不妨设 k> 1，即证明1 v v 入，即证明ln k+ 1 v 0, k n k- k+ 1 > 0.In 入 1设 g(k = In k- k+1, h( k = k n k- H 1( k> 1),贝U g'( k = - 1v 0, h'(k = In k>0,人 所以函数 g( k= In k-1( k> 1)为减函数，函数 h(k= k n k-1( k> 1)为增函数.所以 g(k»v g(1) = 0, h( k>h(1) = 0.k- 1 k-1所以 1 v "J -—v k,从而 0v log ~ v 1,所以 0v x °v m + 1 ................... ...................................................In k In k 14分因为在(0, x °)上f(x)>0,函数f(x)在(0, X 0)上是增函数； 因为在 他，m + 1)上f (x) v 0,函数f(x)在他，m + 1)上是减函数. 所以 f(x) > min{f(0), f(m + 1)} = 0. 所以 a n > b n (n € N * , n W m).同理，当 0v kv 1 时，a n > b n (n € N * , n W m). ......................................................16分②当 b v a 时，0v q v 1,当 n € N * , n W m 时，m + 1S m +1S n----- v —.naq(q m+1_〔) aq(q n - 1即一v q -1 . m +1 nm +1n 因为0v q v 1,所以四二>aq- m + 1 i —a以下同①. n综上，a n > b n (n € N * ,n W m).16证法二：设等差数列， 比为q ,b = r (k>0, r 1).入一1 由题意，得 d = — a ,m + 1 ' a , a i , a 2,° im + 1 q = a入,a m ,b 的公差为d , 等比数列a , b 1, b 2,…，b m , b 的公nm + 1 b n = a k 入一1 所以 a n = a + nd = a + an , m + 1 n W m),nr +1> 0( r> 0, r 1, n € N * , n W m). 要证 a n > b n (n € N * , 入一1只要证1 + — n -m + 112入一1构造函数f(x)= 1 +——x - m + 1 x贝 y f (x) =- +1 k +1| n + 1 m + 1r + 1(k> 0, r 1, 0v x v m + 1),k 令 f(x)= 0,解得 x o = (m + 1)log .南京市2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准2014.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则.2 •对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21. 【选做题】在 A 、B 、C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分•请在答.卷纸指 定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ・选修4— 1:几何证明选讲证：因为AE 为圆O 的切线，所以/ ABD =Z CAE ...................................................2分因为△ ACD 为等边三角形，所以/ ADC = Z ACD ,所以/ ADB =Z ECA ，所以△ ABD EAC .BD • EC. .................................................... 8 分因为△ ACD 为等边三角形，所以 AD = AC = CD , 所 以CD 2BD •EC.B .选修4— 2:矩阵与变换因为k z 0,所以a = 2. AD BD EC CA即AD •CA10分解：设特征向量为 a=对应的特征值为人-k -~ k n {=」，即 1・—1」k =入因为AI]]k1=1."1所以A-1学习必备欢迎下载所以2+ k= 3,解得k= 1 .学习必备 欢迎下载综上，a = 2, k = 1.C .选修4— 4 :坐标系与参数方程 解：设 M(2cos B, 2 帝si n B ), (0,》.由题知 OA = 2, OB = 2 3,1 1所以四边形 OAMB 的面积 S = 2x OA X 2 3sin 0+ 2 x OB X 2cos 0 =2©s in + 2 羽cos 0= 2^si n( + n ). 所以当0= 4时，四边形 OAMB 的面积的最大值为 2 6. 10分D .选修4— 5 :不等式选讲因为 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 6,所以(a + b + c)2< 11,所以一 y 11 w a + b + c w 11.所以a + b + c 的最大值为• 11,当且仅当a = 2b = 3c =. ......................v11 10分22. (本小题满分10分)证明：连接 AC , BD 交于点O ,以OA 为x 轴正方向，以 OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空 间直角坐标系.因为 PA = AB = 2,贝U A(1 , 0, 0), B(0, 1, 0), D(0, - 1 , 0), P(0, 0 , 1). f 1 f1 f 1 f1 2(1)由 BN = 3 BD ，得 N(0, 3 , 0),由 PM = - PA ，得 M(?, 0 , 3), 所以 I MN = (—3, 3 — 2, f D = (—1, — 1 , 0). 因为T M N •二D = 0.所以 MN 丄AD ..................................................... 4分(2)因为M 在PA 上,可设f M = XTA ,得M(入0 , 1—；). 所以 f M =(入—1 , 1—3 , f D = (0 , — 2 , 0). 设平面MBD 的法向量n = (x , y , z),10分解：由柯西不等式,得[a 2+ (,2b)2 + ( . 3c)2][1 2+ 2A(a + b + c).学习必备 欢迎下载—2y = 0, J x — y + (1 —为z = 0,其中一组解为 x =入一 1, y = 0, z =入所以可取n =(入一 1, 0, J . 因为平面 ABD 的法向量为_OP = (0 , 0, 1),n + +"+•••+ nC n n 1 n所以m(T)=" d+c 2+&+•••+ C 弓=話弘2 213. (x — 1) + y = 1二、解答题：15. （本小题满分14分） 23. 所以 从而 所以 8曰爲計,即Bl —1)2 +^,解得A , 1 1 1 M(1, 0, 2), N(0 , 1 , 0), n 2 r~2 1 2 x/22 MN = £— 0) + (0—3)+ q —0)=花~. 10 (本小题满分10分) 解: (1) S = {1,2}的所有非空子集为: 因此 3 m (-字=i (2) 因为 S ={a i ,a 2,…,a n }, n € N , n >2, 所以 n 1 n 1 n 1 n \ a i + (1C n —1p a i + (^C n^1^ a i +•+ (_C n 一 1p a i i =1 2 i = 1 3 i = 1 n i =1 m(T)= C n + C n + C n +…+ C n 1112 1 ... 1 + ；C n -1+ C n -+••+ ~C n — 1 2 3 n C n + C n + C n + …+ C n n — 1 n l ai . i = 1 又因为fe n —1=1 (n — 1)! (n — 1)! 1 (k — 1) ! (n — k) ! k ! (n — k) ! n b (n — k) ! k! n J n • j D =0 得’BM = 0 , 10分 nC n + n C学习必备欢迎下载解：（1）由普+1=互及正弦定理，得sinBcosA+1=,tanA a cosBs in A si nA3{1} , {2} , {1,2}，所以数组T 为：1, 2, 3。

实用文档2015届高三年级学情调研文案大全南京市卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置．．上．1．函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为▲2．已知复数z＝11＋i，其中i是虚数单位，则|z|＝▲3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取▲名学生．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是▲5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝▲6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是▲7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为▲8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是▲9．设f(x)＝x2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为▲10．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB ＝2sinC，则cosA＝▲11．若f(x)＝ ax， x≥1，－x＋3a，x＜1是R上的单调函数，则实数a 的取值范围为▲12．记数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，S n＝2(a1＋a n)(n≥2，n∈N*)，则S n ＝▲13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则|OA→＋OB→|的最大值是▲14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围S←0S←S＋k2开始输出S 结束 Y Nk＞5（第6题图） k←1k←k＋2实用文档文案大全为▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f(α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB 平面CMN．17．（本小题满分14分）已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n， {b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；A1ABC B1C1M N（第16题图）实用文档文案大全（2）记c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．18．（本小题满分16分）给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C 的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．19．（本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B．实用文档文案大全点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，a∈R．（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．南京市2015届高三年级学情调研卷数学附加题2014.09注意事项：·AMNP（第19题图）α CB实用文档文案大全1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQ?OP，垂足为Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的长．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝????2b13属于特征值?的一个特征向量为α＝???? 1－1（1）求实数b，?的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C?：x2＋2y2＝2，求曲线C 的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为???x＝3＋32t，y＝2＋12t(t为参数 )，圆C的参数方程为???x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．．CAPOQ（第21题A图） B实用文档文案大全【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且CE→＝λCC1→．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ＝25，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果 1红1白 11红1黑 5元2黑 1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．（第22题图） ABCDEA1B1C1D1实用文档文案大全2015届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．π 2223．32 4．12 5．56．35 7．2 8．3 9．(0，94] 102411[12，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f(π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sinφ＝1．................................................... 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． (6)分（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． (8)分因为f(α2)＝65，所以cosα＝35．又因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－45． (10)分所以sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725．……………………12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcosπ6－cos2αsinπ6＝7－24350．…………………… 14分实用文档文案大全16．（本小题满分14分）证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝12A1B1．…………………… 2分在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．故NP∥AB，且NP＝12AB．因为M为AB的中点，所以AM＝12AB．所以NP＝AM，且NP∥AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．……………………………………… 4分因为AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．...................................................... 6分（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． (8)分因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN?BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC．…………………………………… 10分因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB．…………………………………… 12分因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN． (14)分17．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d． (3)分由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组???2＋3d＋2q3＝21，8＋6d＋2q3＝30，解得???d＝1，q＝2．所以a n＝n＋1，b n＝2n，n∈N*．．……………………………… 7分（2）由题意知，c n＝(n＋1)×2n．记T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n．则T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，A1AB C B1C1M N（第16题图） P实用文档文案大全2 T n＝ 2×22＋3×23＋...＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，所以－T n＝2×2＋(22＋23＋...＋2n )－(n＋1)×2n＋1， (11)分即T n＝n·2n＋1，n∈N*．．……………………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，c a＝32，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1． (4)分（2）由（1）知，椭圆C的方程为x24＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． (6)分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组?????y＝kx＋m，x24＋y2＝1 （*）有且只有一组解．由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．化简，得m2＝1＋4k2．① (10)分因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝3．即|m|k2＋1＝3．②………………………………………14分由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3． (16)分19．（本小题满分16分）解：（方法一）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为5，)xNPyOBC（第19题图1）实用文档文案大全得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．……………………………… 4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－3k．……………………………… 6分由???y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得y C＝6－2kk＋2．……………………………… 8分设△ABC的面积为S，则S＝12?x B?y C＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k．…………… 10分由S?＝－2(4k＋3)(k－3)(k2＋2k)2＝0得k＝－34或k＝3．当－2＜k＜－34时，S?＜0，S单调递减；当－34＜k＜0时，S?＞0，S单调递增．…13分所以当k＝－34时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分（方法二）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为5，得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．……………………………… 4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－3k．……………………………… 6分由???y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得y C＝6－2kk＋2．……………………………… 8分设△ABC的面积为S，则S＝12?x B?y C＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k．…………… 10分令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝t＋98．因此S＝－1＋t(t＋98)2＋2×t＋98＝－1＋64tt2＋34t＋225＝－1＋6434＋t＋225t．………… 13分实用文档文案大全因为当t∈(－25，－9)时，t＋225t∈(－34，－30]，当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋225t的最大值为4．从而S有最小值为15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分（方法三）如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．因为P到AM，AN的距离分别为3，5，即PE＝3，PF＝5．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝12?x?3＋12?y? 5 ＝12(3x＋5y)．① (4)分因为tan?＝－2，所以sin?＝25．所以S△ABC＝12?x?y? 25．② (8)分由①②可得12?x?y? 25＝12(3x＋5y)．即35x＋5y＝2xy．．③………………………………………10分因为35x＋5y≥2155xy，所以 2xy≥2155xy．．解得xy≥155．………………………………………13分当且仅当35x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝35．所以S△ABC＝12?x?y? 25有最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）当a＝－1，x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0． (3)分（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等价于x＝a或???x＞a，x＝1或???x＜a，x＝－1．………………………………………… 6分所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；·A MNP B C（第19题图2） E F实用文档文案大全当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．……………………………9分（3）当a＞0，x∈(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．所以当x∈[a，a＋2]时，f(x)∈[f(a)，f(a＋2)]，1024f(x)∈[1024f(a ＋2)，1024f(a)]，当x∈[a＋2，＋∞)时，f(x)∈[ f(a＋2)，＋∞)．……………………………………11分因为对任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，所以[1024f(a＋2)，1024f(a)]?[ f(a＋2)，＋∞)．………………………………………… 13分从而1024f(a＋2)≥f(a＋2)．所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．．……………………………………16分实用文档届高三年级学情调研卷文案大全2015数学附加题参考答案及评分标准2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接AO．设圆O的半径为r．因为PA是圆O的切线，PBC是圆O的割线，所以PA2＝PC·PB．……………………………… 3分因为PA＝4，PC＝2，所以42＝2×(2＋2r)，解得r＝3．……………… 5分所以PO＝PC＋CO＝2＋3＝5，AO＝r＝3．由PA是圆O的切线得PA⊥AO，故在Rt△APO中，因为AQ⊥PO，由面积法可知，12×AQ×PO＝12×AP×AO，即AQ＝AP×AO PO＝4×35＝125．…………………… 10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A＝????2b13属于特征值?的一个特征向量为α＝???? 1－1，所以????2b13???? 1－1＝????? 1－1，即??????2－b－2＝???????－?．……………………… 3分从而???2－b＝?，－2＝－?．解得b＝0，?＝2．…………………………5分（2）由（1）知，A＝????2013．CAPOQ（第21题A图） B实用文档文案大全设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C?上一点P(x0，y0)，则??????x0y0＝????2013??????xy＝??????2xx＋3y，从而???x0＝2x，y0＝x＋3y．……………………………7分因为点P在曲线C?上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，从而3x2＋6xy＋9y2＝1．所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1．……………………………… 10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l的普通方程为x－3y＋3＝0．……………………………………3分因为点P在圆C上，故设P(3＋cosθ，sinθ)，从而点P到直线l的距离d＝|3＋cosθ－3sinθ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2．…………………… 7分所以d min＝3－1．即点P到直线l的距离的最小值为3－1．………………………………10分(方法二)直线l的普通方程为x－3y＋3＝0． (3)分圆C的圆心坐标为(3，0)，半径为1．从而圆心C到直线l的距离为d＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3．………………………… 6分所以点P到直线l的距离的最小值为3－1．………………………… 10分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为a，b是正数，且a＋b＝1，所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2＝ab(x2＋y2)＋(a2＋b2)xy ……………………………≥ab?2xy＋(a2＋b2)xy ……………………………… 8分实用文档文案大全＝(a＋b)2xy ＝xy即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．因为CE→＝λCC1→，所以E(0，3，5λ)．从而EB→＝(2，0，－5λ)，EA1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，所以EB→·EA1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，45)． (5)分（2）当λ＝25时，EB→＝(2，0，－2)，EA1→＝(2，－3，3)．设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，由?????n1·EB→＝0，n1·EA1→＝0 得???2x－2z＝0，2x－3y＋3z＝0，取x＝1，得y＝53，z＝1，所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，53，1)． (7)分易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．因为cos< n1，n2>＝n1·n2| n1|·| n2|＝1439＝34343，从而|cosθ34343．……………………………………10分23．解：（1）因为P(X＝10)＝1C25＝110，P(X＝5＝C13C25＝310，P(X＝2)＝C23C2＝310，P(X＝0) ＝C13C25＝31，（第22题图） xyz ABCDEA1B1C1D1实用文档文案大全所以X的概率分布表为：X 10 5 2 0 P110 310 310 310…………………………… 4分从而E(X)＝10?110＋5?310＋2?310＋0?310＝3.1元．…………………………… 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P(A)＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91100． (10)分．。

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

（第4题）AA 1B不CB 1不C 1不D 1不D不（第8题）绝密★启用前【学易大联考】2015年第三次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟；命题人：大联考命题中心第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}U AB ==，则UC B = .2．已知复数z 满足(),(,)a bi z b ai a b R -=+ ,则z 的模为 3．“0x >”是 “12x x+≥”的_______________条件．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．5．已知O 为∆ABC 的外心，2BM MC =，3AC =.若4AO AM ⋅=，则AB = .6．已知函数 224cos 3,0,()2,0x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为_____.7．已知函数7425()()()()()3333f x x x x x =--++14,33x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =的值域为 .8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则点1B 到面1ABD 的距离为 cm ．9．若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 .10．已知直线39ax by +=经过点(1,3)P ，则411a b+-的取值范围为 . 11. 设1x 为曲线)0(1<-=x xy 与x y ln =公切线的一个切点横坐标，且10x <，则满足1m x ≥的最小整数m 值为 .1C BCMN1A1B 12．已知函数2014(),(,f x x ax b a b =-++为常数），若|()|f x 在[1,1]-上最小值为12，则20152a b +的值为 .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :2212412x y+=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，则12_______.k k =14．已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=，圆2222:()()O x c y d d -+-= ，若9,a cac b d==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

南京市2015届高三年级第三次模拟考试注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．下图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ABC ＝，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD ·BE的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f (x )＝∣sin(－6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数的最小值是 ▲ ． 12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ．（1）求角A的值；（2）求sin B＋sin C的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，P A⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为P A的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面P AB⊥平面PCD．17.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．（1）已知点(62，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ． （1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 20．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值； （2）求A 2．C ． 选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．必做题：第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A 平面ABCD ，AD ∥BC ，AB AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； （2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n } (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )． （1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ．从而sin B ＝2sin B cos A ． ………………………… 4分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(2π3－B )＝sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sin B ＋sin C 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为P A 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ． 所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分 因为BE 平面PCD ，CF 平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分 （2）因为AB ＝PB ，E 为P A 的中点，所以P A ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以P A ⊥CF ． ………………………… 9分 因为P A ⊥PD ，PD 平面PCD ，CF 平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以P A ⊥平面PCD ． ………………………… 12分 因为P A 平面P AB ，所以平面P AB 平面PCD ． ………………………… 14分17． 解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分 （2）①设点T (x ，y )．由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1， 得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2． 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)． 由AM ＝AP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝1．从而⎩⎨⎧x 0＝1＋2(－1)，y 0＝1．………………………… 12分因为x 022＋y 02＝1，所以[1＋2(－1)]22＋(1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2(－1)x 1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1， 故x 1＝－3－12，所以x 0＝－32． 同理可得x 0＝－＋32． ………………………… 14分因此－32＝－＋32， 所以＋＝6． ………………………… 16分 （方法二）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)． 因为x 022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0． 因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3． ………………………… 14分因为AM ＝AP ，BM →＝BQ →，所以＋＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 18．解：（1）由h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2－x ＋t ＋ln x ，得h' (x )＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x ·1x＝22，所以h' (x )＞0， 从而函数h (x )是增函数． ………………………… 3分 （2）记直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t )，(x 2，ln x 2)，由f'(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t )＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ．由g'(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2· x ＋ln x 2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－1＝1x 2，－x 12＋t ＝ln x 2－1．(*) 消去x 1得ln x 2＋(1＋x 2)24x 22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F (x )＝ln x ＋(1＋x )24x 2－(t ＋1)，则F'(x )＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝(2x ＋1)(x －1)2x 3，x ＞0．由F'(x )＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x )＜0，当x ＞1时，F'(x )＞0， 所以F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )min ＝F (1)＝－t ． ………………………… 9分 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分 当t ＞0时，F (1)＜0，由于F (e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分 令k (x )＝ln x ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x )在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x )＞k (1)＝0，即ln x ＞1－1x ，从而ln x ＋(1＋x )24x 2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ． 所以F (12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分19．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4． 所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2． 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)， 从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ．若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0．R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0．这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ． 从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1． 即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0520．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以ABD ＝AEB ．又因为BAD ＝EAB ，所以△BAD ∽△EAB ．所以BD BE ＝ABAE ． ………………………… 5分同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CDCE ，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．………………………… 3分代入l 方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2＋2y≥33(x －y )(x －y )1(x －y )2＋2y ＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分 21．解：（1）因为P A 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以P A AB ，P A AD ． 又AD AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝3．所以B (1，0，0)，D (0，3，0)，C (1，233，0)，P (0，0，2)．从而BD ＝(－1，3，0)，PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为x ， 则cos x ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|BDPC ∣BD ∣∣PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分 （2）因为AB 平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为 AB ＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由nPC ，nPD ，PC ＝(1，233，－2)，PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分 设二面角A －PD －C 的大小为， 则cos ＝cos ＜AB ，n ＞＝AB · n∣AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分22．解：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分 （2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n 3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}， A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f (n )＝f (7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f (n )＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．所以f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分。