2019届高考理科数学二轮复习客观题提速练六

6.函数与导数1.已知函数f (x )＝ln x ＋a x－1，a ∈R . (1)若关于x 的不等式f (x )>－x ＋1在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数g (x )＝f (x )x ，证明：当a ≥e 2时，g (x )在[1，e 2]上不存在极值. (1)解 由f (x )>－x ＋1，得ln x ＋a x－1>－x ＋1. 即a >－x ln x －x 2＋2x 在[1，＋∞)上恒成立.设m (x )＝－x ln x －x 2＋2x ，x ≥1，则m ′(x )＝－ln x －2x ＋1.∵x ∈[1，＋∞)，∴－ln x ≤0，－2x ＋1<0.∴当x ∈[1，＋∞)时， m ′(x )＝－ln x －2x ＋1<0.∴m (x )在[1，＋∞)上单调递减.∴当x ∈[1，＋∞)时， m (x )≤m (x )max ＝m (1)＝1.∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞).(2)证明 ∵g (x )＝ln x x －1x ＋a x 2，x ∈[1，e 2]. ∴g ′(x )＝1－ln x x 2＋1x 2－2a x 3＝2x －x ln x －2a x 3. 设h (x )＝2x －x ln x －2a ，x ∈[1，e 2]，则h ′(x )＝2－(1＋ln x )＝1－ln x .令h ′(x )＝0，得x ＝e.当1≤x <e 时， h ′(x )>0；当e<x ≤e 2时， h ′(x )<0.∴h (x )在[1，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减.∴h (x )max ＝h (e)＝e －2a ≤0，即g ′(x )≤0.∴g (x )在[1，e 2]上单调递减.∴当a ≥e 2时， g (x )在[1，e 2]上不存在极值.2.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ， 由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得，g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x ＝()2ax －1()x －1x. ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x， 由g ′(x )>0得0<x <1，由g ′(x )<0得x >1；若0<12a <1，即a >12时，由g ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0得12a<x <1； 若12a >1，即0<a <12时， 由g ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0得1<x <12a； 若12a ＝1，即a ＝12时，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增. 3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数).(1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；。

小题提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝( ) A．－1＋i B．1＋i C．1－i D．－1－i解析：选A.2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－1＋i，故选A.2．已知集合A＝{y|y＝e x，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B＝( )A．(0，2) B．(0，3]C．[－2，3] D．[2，3]解析：选B.由已知得A＝(0，＋∞)，B＝[－2，3]，所以A∩B＝(0，3]，故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )A．9 B．19C．33 D．51解析：选C.m＝1，S＝1，满足条件，S＝1＋2×1＝3，m＝1＋2＝3；满足条件，S＝3＋2×3＝9，m＝3＋2＝5；满足条件，S＝9＋2×5＝19，m＝5＋2＝7；满足条件，S＝19＋2×7＝33，m＝7＋2＝9，不满足条件，输出的S的值为33，故选C.4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )A.52B ．5C.3＋12D ．3＋1解析：选B.由已知得b a＝2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋22＝5，故选B.5．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．72B ．144C ．216D ．105＋3145解析：选A.由三视图知，该几何体是一个三棱锥，底面直角三角形的面积为12×6×8＝24，设三棱锥的高为9，所以该几何体的体积为13×24×9＝72，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝ 13，则△ABC 的面积为( )A.3 B ．132C ．23D ．13解析：选A.由余弦定理知( 13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3，故选A.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥5，2x －3y ＋4≥0，3x －y －8≥0，则z ＝2x －y 的最小值是()A ．0B ．4C ．5D ．6解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －8＝0，2x －3y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A (4，4)，所以z min ＝2×4－4＝4，故选B.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π6的图象，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，易知当k ＝－1时，ω取最小正值2，故选B.9．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.10．若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，4]解析：选D.由已知得f ′(x )＝4x ＋1x－a (x ＞0)，因为函数f (x )是定义域上的单调递增函数，所以当x ＞0时，4x ＋1x －a ≥0恒成立．因为当x ＞0时，函数g (x )＝4x ＋1x≥4，当且仅当x＝12时取等号，所以g (x )∈[4，＋∞)，所以a ≤4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.11．已知a ＞b ＞0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( )A.3 102B ．4C ．23D ．32 解析：选D.因为a ＞b ＞0，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12(a ＋b ＋8a ＋b ＋a －b ＋2a －b)≥ （a ＋b ）·8a ＋b＋ （a －b ）·2a －b＝22＋2＝32，当且仅当a ＝322，b ＝22时等号成立．12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643 B ．323C.32 39D ．64 39解析：选C.因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |·sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1，0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ 3（x －1），y 2＝4x ，解得x ＝13或x＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝32 39，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题p ：∃x 0＞1，使得x 20－2x 0＜1，则¬p 是________． 解析：根据特称命题的否定是全称命题得，¬p ：∀x ＞1，x 2－2x ≥1. 答案：∀x ＞1，x 2－2x ≥114．已知a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则t ＝________． 通解：因为a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，所以a ＋b ＝(t ＋3，5t －2)，a －b ＝(1－t ，5t )，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(t ＋3)2＋(5t －2)2＝(1－t )2＋(5t )2，解得t ＝1.优解：由|a ＋b |＝|a －b |⇒(a ＋b )2＝(a －b )2⇒a ·b ＝0⇒2(t ＋1)－(5t －1)＝0⇒－3t ＋3＝0⇒t ＝1.答案：115．若(2x －a )5的二项展开式中x 3项的系数为720，则a ＝________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. 答案：±316．已知函数f (x )＝ln x －ax x，若有且仅有一个整数k ，使[f (k )]2－f (k )＞0，则实数a的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x －ax x ＝ln x x －a (x ＞0)，所以f ′(x )＝1－ln x x2，令f ′(x )＝0得x ＝e ，令f ′(x )＞0得0＜x ＜e ，令f ′(x )＜0得x ＞e ，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以f (x )的极大值(最大值)为f (e)＝1e －a .若a ＜1e ，则f (e)＝1e －a ＞0，因为有且只有一个整数k 使得不等式[f (k )]2－f (k )＞0成立，且2＜e ＜3，f (3)＞f (2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （3）－1＞0，f （2）－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 33－a －1＞0，ln 22－a －1≤0，解得12ln 2－1≤a ＜13ln 3－1；若a ≥1e ，则f (e)＝1e－a ≤0，不满足有且仅有一个整数k 使[f (k )]2－f (k )＞0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2－1，13ln 3－1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2－1，13ln 3－1感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

小练（十）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.） 1. 若噸z=（1+i ）（3-石）（«中i 为疊单位）为^贝|」实数。

=（）A. 3B. -3C. 2D. -2日+3 = 0,树：选BN=（1+i ）（3-«9i） = 3 + 3i-』+ a=3 + a+（3-ai, •:.-J :.a= - 3.B -詳0,2. 已知集合初={0, 1, 3, 5, 7）, /V={2, 3, 4, 5}, P=M^\N,则集合，的子集才救为（）解析：选N.P=M^\N={i, 5},其子集个数为4.3, 已知函数個=cost 3」图象的一条对称轴为直线x=：则实数原值不可能是（）6A. -2B. 4C. 12D. 16解析：选C.由题可得畠+ 土如，kwZ,得s= -2 + 6k,虹Z,故令奸-2,得4=0;令s=4,得4=1;6 3令妇6,得心;令妇2,得尾火故如2*4. 在如图所示的正方形中随机投掷’0 000个点，则落入阴影部 夕-2, 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A. 430B. 215D, 1 359 附：若X 〜眄 /),则 。

〈后〃+6 = 0.682 6, - 2t7<X</J + 2d) = 0.9544, R 卩-3(J<X 《卩+36 = 0.997 4.C, 2 718 分（曲线。

为正态分布解析：选B.不妨4~M-2, 1),所以阴影部分的面积S=R0＜昭1)=」R-5＜X顼)-/-4＜於0)]= 21-(0.997 4-0.9544) = 0.021 5.2所塩入阴影部分的点的个数的估计值为10 000x0.021 5 = 215.故选B.5,已知函数犬力=4 + /,函数p(彳是定义在R上且周期为2的奇函数，贝!]()A.Ap(”)是偶函数，不是周期函数B.心(为)是偶函数，且是周期函数C.仞切是奇函数，不是周期函数D. XpW)是奇函数，且是周期函数通解：选B.・.•函数伺=孑+必是偶函数,-力=個.令心= g),则久顼=的5) = X5) = 3力)=久力,.商”是偶函数，•.•pU+2) =p(M, .•.4p(x+2))=/(pW), .•./Ip(功是周期函数，选B.优解：•.•函数p(力是定义在R上且周期为2的奇函数，不妨设p(M = sin TIX,则A血) = (sin n力％(sin TL^2,.Mp(力)是偶函数，44X+ 2)) = [sin TI(X+ 2)『+ [sin n(x+ 2)]2 = (sin TL# + (sin n^2 =仞M), .••/(p(为朝期函数.6.有4, B, C, D,£五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A 8两位学生去问成续，老师对/说：你的名次不知道，但肯定没復第一S；又对g说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名湘冽的种数为()B.18A. 6C.20D. 24解析：选B.由题怠知，•W排第三名，从C、D、£中选一S排第一S有C；神E法；余下的三位学生鋁清A；种，所以名湘冽的种数为C；A： = 18.7.如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是()9,已知/•为执行如图所示的程序框图输出的结果，贝|」二项式I i=L=0 I /输出j /角为鑑等腰三角形，cos e=~,若"化=3,贝I 」有I 化| = |絲| = 2c,在RW 以 中，|以|=|絲|cos e,即c 8 号2蜀,所以离，曜弋=2； 52则有聞=岡=2。

小练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合4 = {Mlog2(x-1)<0}, 8={如0},则加8=()A.(0, 1) B, (0, 1］C. (1, 2) D, (1, 2］解析：选C.由Iog2(x-1)<0可得log2(x-1)<log21,再由函数的定义域和单调性可得0<x-1<1,即1 <x <2,从而4 = (1, 2), >4n8=4=(1, 2),选C.2.若复数z满足空=3 + i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()1+iA.第Y限B,第二象限C.第三象限D.第四象限树：选A.由公=3 + i,可得z-i=(3 + i)(1+i) = 2 + 4i,即z=2 + 5i, 新复平面内所对应的点(2, 5)位于1+i第Y限.3.已知直线/的斜率为幻隘［角为3,则-0<^<-"是"絶1"的()4A.充分而:箱牛B. 蠣而不充^{牛C.充要耕D. 职充耕解析：选A.当0 <&%, 0〈危1;反之，当虹1时，0与宏强故“0〈但土是"虹1"的充4 4 2 4分而不必要条件，选A.4.在区间［0, 2］上随机地取一^尤，则事件-2A2-3x<Q-发生的概率为()7.执行如图所示的程序框图，若输入的"=40,则输出的/的值是（）33° 3解析：选B.由2^ - 3x<0,得Q<x<-故所求概率匹 _=-选B. 2M 4 5. cos 63°sin 177° + sin 243°sin 87° =(1 B.--2嘶:选 D 解A ： cos 63°sin 177° + sin 243°sin 87° = cos 63° sin(90° + 87°) + sin(180° + 63°)sin 87° = cos63E 87。

客观题提速练一(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·云南昆明一中月考)复数(i是虚数单位)的虚部为( )(A)i (B)1 (C)-i (D)-12.(2018·四川南充二模)已知全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|0<x<1},则(∁U A)∪B等于( )(A){x|0<x<1} (B){x|x≤0}(C){x|x<1} (D)R3.在区间[1,4]上随机取一个数x,则事件“log4x≥”发生的概率为( )(A)(B)(C)(D)4.(2018·四川南充二模)已知tan α=2,则的值为( )(A)-3 (B)3 (C)(D)-5.(2018·云南昆明一中月考)已知数列{a n}的前n项和为S n=n2,则a3+a8的值是( )(A)200 (B)100 (C)20 (D)106.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)6 (B)2 (C)1 (D)37.(2018·江西高三质量检测)已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>0,且﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,则a的取值范围是( )(A)[-3,0](B)(-∞,-3]∪[0,+∞)(C)(-3,0)(D)(-∞,-3)∪(0,+∞)8.(2018·云南昆明一中月考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( )(A)1 (B)(C)(D)29.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=的图象大致为( )10.(2018·云南昆明一中月考)已知函数f(x)=ax3-x2+b在x=1处取得极值,令函数g(x)=,程序框图如图所示,若输出的结果K>,则判断框内可填入的条件为( )(A)n<2 018?(B)n≤2 018?(C)n≤2 019?(D)n<2 019?11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)12.(2018·榆林三模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是( )(A)(,) (B)(,3)(C)(,1) (D)(,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·云南昆明一中月考)若等比数列{a n}的前n项和S n=m·4n-1+t(其中m,t是常数),则= .14.(2018·云南曲靖一中质量监测)已知a=(,-),|b|=2,且a⊥(a-2b),则a与b夹角的余弦值为.15.(2018·全国Ⅱ卷)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.16.(2018·云南昆明一中月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+2b2=3c2,a=6sin A,则c的最大值为.1.B 由题意,====i,故选B.2.C 因为U=R,A={x|x>0},所以U A={x|x≤0},又因为B={x|0<x<1},所以(U A)∪B={x|x<1},故选C.3.B 由log4x≥,得x≥2,所以在区间[1,4]上随机取一个数x,事件“log4x≥”发生的概率为P==.故选B.4.A 因为tan α=2,所以===-3.故选A.5.C 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,由于a n=2n-1(n≥2),也适合a1=1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以a3+a8=5+15=20.故选C.6.C 由三视图可知,该几何体是个三棱锥,它的高h=3,底面积S=×1×2=1,所以V=×1×3=1.故选C.7.A 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,故 p:-3≤x≤1;命题q:x>a+1或x<a,故﹁q:a≤x≤a+1.由﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,可知﹁q是﹁p的充分不必要条件,故解得-3≤a≤0.故选A.8.A 因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义知,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.9.B 因为y=e x-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.因为f(1)==e-,e>2,所以<,所以f(1)=e->1,排除C,D选项.故选B.10.B 由题意,f′(x)=3ax2-x,而f′(1)=3a-1=0,解得a=,故g(x)===-.由程序框图可知,当n=2时,K=,n=3时,K=,n=4时,K=,n=5时,K=,…n=2 018时,K=,欲输出K>,须n≤2 018.11.A f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,又f(x)在[1,+∞)单调递减,且x∈[-1,0],由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.12.C 由题意可知,因为f(x)=x3-x2+a,在区间[0,a]存在x1,x2(0<x1<x2<a),满足f′(x1)=f′(x2)==a2-a,因为f(x)=x3-x2+a,所以方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.令g(x)=3x2-2x-a2+a(0<x<a),则解得<a<1.所以实数a的取值范围是(,1).故选C.13.解析:a1=S1=m+t,a2=S2-S1=3m,a3=S3-S2=12m,由数列{a n}是等比数列得=a1a3,所以9m2=12m(m+t),化简得m=-4t,所以=-4.答案:-414.解析:因为a=(,-),|b|=2,且a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,且|a|=1.所以a·b=,所以cos<a,b>===.答案:15.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.由得点C(5,4),所以z max=5+4=9.答案:916.解析:由a2+2b2=3c2,由余弦定理及基本不等式可得,cos C===+≥2=,所以sin C=≤,当且仅当a∶b∶c=∶∶时等号成立,所以sin C的最大值是,又因为a=6 sin A,所以==6,所以c=6sin C≤2.所以c的最大值为2.答案:2。

“12＋4”小题提速练(三)一、选择题1．(2019届高三·广东五校联考)复数z ＝3－i1－i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C z ＝3－i1－i＝3－i 1＋i 1－i1＋i ＝4＋2i2＝2＋i. 2．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，所以a ≥2.选D.3．(2018·天津模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3，S 13－S 10＝36，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，S 13－S 10＝36，即a 13＋a 12＋a 11＝36，从而3a 12＝36，a 12＝12，由a 12＝a 3＋9d ，得d ＝1.故选A.4.(2018·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为( )A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B 当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.5．(2018·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.112B ．94 C.92D ．3解析：选D 如图，三棱锥P ­ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S △ABC＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P ­ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×3×3＝3，故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y轴右侧的第一个最高点为⎝⎛⎭⎪⎫π6，3，第一个最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D 由题意得，A ＝3，设f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π，ω＝2.又函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.7．(2018·河北五个一名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5 C.53D.43解析：选A 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′，由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8，∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5，故选A.8．(2018·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B ．116C ．32D ．64解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.9．(2018·湖北八校第一次联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.因为M 为BC 边的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)．易知AO ―→＝12AD ―→，所以AM ―→·AO ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14(|AB ―→|·|AD ―→|·cos∠BAD ＋|AC ―→|·|AD ―→|cos ∠CAD )＝14(|AB ―→|2＋|AC ―→|2)＝14(42＋22)＝5.故选D.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝x 1－x 22＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，向右平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t －π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意，该函数图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故t 的最小值为2，选B.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n n ＋12个数．由于 2 016＝63×63＋12<2018<64×64＋12＝2 080，因此第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.12．已知函数f (x )＝ln 2x x，若关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13ln 6，ln 2解析：选C 由f (x )＝ln 2x x得f ′(x )＝1－ln 2xx2，令f ′(x )＝1－ln 2x x 2＝0得，x ＝e 2，当0<x <e 2时，f ′(x )>0，当x >e2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上是减函数，所以x＝e 2时，f (x )取得极大值，也是最大值，为2e ，又x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，当0<x <e 2时，f (x )<2e 有且只有一个整数解1；当x >e2时，0<f (x )<2e 有无数个整数解．不等式f 2(x )＋af (x )>0可化为f (x )[f (x )＋a ]>0，当a ＝0时，不等式为f 2(x )>0，有无数个整数解，不满足条件；当a >0时，f (x )>0或f (x )<－a ，f (x )>0时，结合图象可知有无数个整数解，不满足条件；当a <0时，f (x )<0或f (x )>－a ，因为f (x )<0时没有整数解，所以f (x )>－a 有两个整数解．因为f (1)＝ln 2，f (2)＝ln 2，f (3)＝ln 63<ln 2，所以f (x )≥ln 2时，不等式有两个整数解1,2，当f (x )≥ln 63时，不等式有三个整数解1,2,3，所以要使f (x )>－a 有两个整数解，则ln 63≤－a <ln 2，即－ln 2<a ≤－ln 63，故选C.二、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 10－2r⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－23r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝409. 答案：40914．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (1，－2)是抛物线上的点．若存在斜率为－2的直线l 与抛物线C 有公共点，且点A 到直线l 的距离等于55，则直线l 的方程是________．解析：根据题意，得4＝2p ，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由点A 到直线l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝55，解得t＝±1.因为t ≥－12，所以t ＝1，所以直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.答案：2x ＋y －1＝015．(2018·云南调研)已知四棱锥P ­ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ­ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53，正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P ­ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)已知函数f (x )＝x n－xn ＋1(n ∈N *)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与y 轴的交点的纵坐标为b n ，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：因为f ′(x )＝nxn －1－(n ＋1)x n ，所以f ′(2)＝n ×2n －1－(n ＋1)×2n，所以曲线y＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝[n ×2n －1－(n ＋1)×2n](x －2)，令x ＝0可得y ＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n ]＋f (2)＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n]＋2n－2n ＋1＝(n ＋1)×2n＝b n ，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)×2n，①2S n ＝2×22＋3×23＋…＋n ×2n ＋(n ＋1)×2n ＋1，②①－②得，－S n ＝2×21＋22＋…＋2n －(n ＋1)×2n ＋1＝2＋21－2n1－2－(n ＋1)×2n ＋1＝2＋2(2n－1)－(n ＋1)×2n ＋1＝2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋1＝－n ×2n ＋1，所以S n ＝n ×2n ＋1.答案：n ×2n ＋1。

“12＋4”提速专练卷(六)一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x>1}，B ＝{x|x 2－3x －4>0}，则A∩B＝( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<－1或x>0} C ．{x|x>4}D ．{x|－1≤x≤4}解析：选C A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>4或x<－1}，所以A∩B＝{x|x>4}． 2．已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q|的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13. 3．若设平面α、平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由α⊥β和b ⊥m ，知b ⊥α，又a ⊂α，∴a ⊥b ，“α⊥β”可以推出“a⊥b”；反过来，不一定能推出，即“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．4.如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正(主)视图为( )解析：选B 通过分析可知，两个截面分别为平面AMN 和平面DNC 1，所以易知正(主)视图为选项B. 5．设函数f(x)定义在实数集R 上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)D ．f(2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选C ∵f(2－x)＝f(x)，x≥1时，f(x)＝ln x ，∴函数f(x)以x ＝1为对称轴且左减右增，∴当x ＝1时，函数f(x)有最小值，离x ＝1越远，函数值越大．6．已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：选A 抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的半焦距c ＝3.由9＝4＋b 2得b ＝5，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±52x.由点到直线的距离公式，得双曲线焦点到其渐近线的距离d ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪35254＋1＝5.7．已知两点A(1,0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π6，设OC ＝－2OA ＋λOB (λ∈R)，则λ等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1解析：选B 已知∠AOC ＝5π6，根据三角函数的定义可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，其中r>0.∵OC ＝－2OA ＋λOB ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝(－2,0)＋(λ，3λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3r 2＝λ－2，r 2＝3λ，解得λ＝12.8．(2018·深圳模拟)设偶函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34解析：选D 由题意知，M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cos ωx ，又半周期是1，所以12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.9．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4D ．2 2解析：选C 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cos θ，|BF|＝21＋cos θ，则|AF|·|BF|＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.10．(2018·济宁模拟)若函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛ π6x＋⎭⎪⎫π3(－2<x<10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 由f(x)＝0，解得x ＝4，即A(4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以OB ＋OC ＝2OA ，所以(OB ＋OC )·OA ＝2OA ·OA ＝2×42＝32.11．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－＋4m 22mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0.因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m<－12或m>12(舍去)，故m<－12.12．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f(x)－log a (x ＋2)＝0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：选D 依题意得f(x ＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x －2)，即f(x ＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x ∈(－2,6)上的图像与函数y ＝log a (x ＋2)的图像，结合图像分析可知，要使f(x)与y ＝log a (x ＋2)的图像有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log a＋，由此解得a>8，即a 的取值范围是(8，＋∞)．二、填空题13．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若{a n }的前n 项和S n ＝127，则n 的值为________． 解析：由题意知S n ＝1－2n1－2＝2n－1＝127⇒n ＝7.答案：714．已知正方体的外接球的体积是4π3，则这个正方体的棱长是________．解析：设正方体的外接球半径为r ，正方体棱长为a ，则43πr 3＝43π，r ＝1.所以3a ＝2r ＝2，则a ＝233.答案：23315．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0上到直线x －2y ＝0的距离为5的点的个数是________．解析：圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0化为标准式为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝20，其圆心坐标为(－1，－2)，半径r ＝25，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －2y ＝0的距离d ＝|－1－－12＋－2＝355，如图所示，圆上到直线x －2y ＝0的距离为5的点有4个．答案：416．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，…，2 013，从第二行起每一个数等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是________．解析：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2 010行公差为22 009，第2 013行只有M.令每行首项组成新数列{a n }，则a 1＝1＝1＋12×20，a 2＝2＋12×21；a3＝3＋12×22，a4＝4＋12×23，…，a n＝n＋12×2n－1，∴a2 013＝2 013＋12×22 012＝1 007×22 012，得出M是1 007×22012.答案：1 007×22 012。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是()A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( ) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝12(0.954 5－0.6827)＝0.135 9，故选B.5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝ 127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为22，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝（22）2＋（22）2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －y A ，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2D ．2＜x 0＜3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 2，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________． 解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CDBD ＝52x.在△ACD中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5. 答案：5。

小题提速练(六) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·江西上饶中学月考)若集合A ＝{x |x 2－7x ＜0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈A中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8等于( )【导学号：04024192】A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] B3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图1中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36 D.677[答案] B4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C5．(2016·全国卷Ⅰ)如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图2A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案] A6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) 【导学号：04024193】A ．－13B ．－23C.13D.23 [答案] D7．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )图3A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B8．若将一个质点随机投入如图4所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图4A.π2B.π4C.π6D.π8[答案] B9．已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【导学号：04024194】[答案] A11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图5所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( )图5A ．2＋ 3B. 3C.33D ．2－ 3[答案] B12．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．[解析] 公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－52＝4 5.[答案] 4 514．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.【导学号：04024195】[解析] f ′(x )＝e x －2，可得f ′(x )＝0的根为x 0＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，可得函数在区间(－∞，ln 2)上为减函数，当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，可得函数在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，∴函数y ＝f (x )在x ＝ln 2处取得极小值f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，并且这个极小值也是函数的最小值．由题设知函数y ＝f (x )的最小值要小于或等于零，即2－2ln 2＋a ≤0，可得a ≤2ln 2－2，故答案为(－∞，2ln 2－2]． [答案] (－∞，2ln 2－2)15．已知△PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．[解析] 如图在Rt △PAD 中，AD ＝4＋4＝22，过△PAD 的外心M 作垂直于平面PAD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则点O 为四棱锥P ­ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P ­ABCD 外接球的半径)，即R ＝3，∴四棱锥P ­ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. [答案] 12π16．已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.[解析] 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA →＋3bGB →＝－3cGC → ＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0，又因为GA →，GB →不共线，则2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，即2a ＝3b ＝3c ， 所以a ＝3b 2，c ＝3b 3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.[答案] 112。