【新整理】：高三数学第二轮复习标准化训练六(理科)

（新课标）高三理科数学二轮复习（全册）名师指导考前提分题型练题型专项集训题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}2.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.45.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则S n的最大值为()A.8B.6C.4D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.57.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为()A.B.C.D.8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个9.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为10.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.511.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.14.的展开式中的常数项为.(用数字表示)15.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.56.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.7.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()A.B.C.D.9.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()A.B.C.D.10.(2017安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.11.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1 D.12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.113.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.16.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.参考答案题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.D解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.2.B解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.3.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.4.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.5.D解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).所以S n=3n+(-2)=-n2+4n.所以当n=2时,S n=-n2+4n取最大值(S n)max=8-4=4.故选D.6.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+27.A解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-8.D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.9.A解析设P'(x,y).由题意得,t=sin,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=,故点P'的横坐标x=+kπ或+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为10.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.11.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.13解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=14解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为15解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=616解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.C解析=1-i,则=-i,对应复平面内点的坐标为,在第三象限.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.A解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.5.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.6.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=7.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.8.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=,则B>,故选D.9.C解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则(k1,k2∈Z),即(k1,k2∈Z).所以|m-n|=(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=故选C.10.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.11.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则,∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.14.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.15解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=, 令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为16.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.已知集合M={x|(x+2)(x-2)≤0},N={x|-1<x<3},则M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2≤x<3}D.{x|-2<x≤2}2.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π4.已知sin θ=,cos θ=,则tan等于()A.B.C.D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.>0B.sin x-sin y>0C.<0D.ln x+ln y>07.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.2 017×22 013B.2 017×22 014C.2 017×22 015D.2 016×22 01612.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.(2017天津,理12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为() A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.9.(2017河南安阳一模)已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)10.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列11.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x313.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.14.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.15.下边程序框图的输出结果为.16.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)参考答案题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.B解析由已知,得M={x|-2≤x≤2},N={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2},故选B.2.D解析由已知得z==-1-i.3.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.4.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.C解析由x>y>0,得,即<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<<1,x>y>0,可知,即<0,故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.8.B解析由1≤f(x)≤2,得1≤log2x≤2,解得2≤x≤4.由几何概型可知P=,故选B.9.D解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.故选D.10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.11.B解析如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2016个数时,最后一行仅一个数,为22016-2×(2016+1).故选B.12.B解析f(x)=+x cos x=3++x cos x,设g(x)=+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m,则3-m≤f(x)≤3+m, ∴函数f(x)的最大值M=3-m,最小值N=3+m,得M+N=6,故选B.13.4解析∵a,b∈R,且ab>0,=4ab+≥414.y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>故所求实数m的取值范围是(,+∞).思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.A解析因为a==b,c=2=a,所以b<a<c.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=7.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=39.D解析由已知得,解得k2=3.由消去y,得(b2-a2k2)x2-a2b2=0,则4(b2-a2k2)a2b2>0,即b2>a2k2.因为c2=a2+b2,所以c2>(k2+1)a2.所以e2>k2+1=4,即e>2.故选D.10.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.11.B解析因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.12.A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.13.2解析由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(2×1)×3=2.故答案为2.14解析不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=15.8解析由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;第二次循环,i=5,s=;第三次循环,i=8,s=;第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.16.80解析通项公式为T r+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为23=80.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.3.(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.参考答案题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-又x∈[0,π],所以x=(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-22.(1)证明由题意知2,化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)解由(1)知c=,所以cos C==,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1),a为常数,且a≠0,a≠1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a=,设b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.参考答案题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+d=,∴b n=(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,得=a,所以数列{a n}是首项为a,公比也为a的等比数列.所以a n=a·a n-1=a n.(2)证明当a=时,a n=,所以b n=因为,所以b n=所以T n=b1+b2+…+b n<+…+因为-<0,所以,即T n<4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)+22n+1,∴T n=+…+(22n+3-8)=5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n,得[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.参考答案题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设袋子中有n(n∈N*)个白球,依题意,得,即,化简,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去).故袋子中有3个白球.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=则X的分布列为X0123P故E(X)=0+1+2+33.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)X0.85a a1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=所以X的分布列为X123P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;P(X=20)=;P(X=100)=;P(X=-200)=所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X012P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A ⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重心,点E在BC1上,且BE=BC1.(1)求证:GE∥平面AA1B1B;(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求P A与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,P A=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱P A上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.。

专题一：集合与常用逻辑用语，复数,不等式一. 集合集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图，即韦恩图）,区间法. 集合的性质：确定性、互异性、无序性.1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式 :();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系:A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=4.容斥原理:()()card A B cardA cardB card A B =+-U I()()()()card A B C cardA cardB cardC card A B card B C card C A =++---+U U I I I()card A B C I I .5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1；非空的真子集有2n –2个.6.差集定义：一般地，记A ，B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合，叫做集合A 减集合B(或集合A 与集合B 之差)，类似地，对于集合A 、B ，我们把集合{x| x ∈A,且x ∉ B}叫做A 与B 的差集，记作A －B(或A\B)，即A －B={x| x ∈A 且x ∉B}(或A\B={x| x ∈A 且x ∉B}，同理 B －A={x| x ∈B 且x ∉A} 叫做B 与A 的差集．7.交集并集补集性质(1)交换律：A ∪B = B ∪A ，A I B = B I A(2)结合律：(A ∪B)∪C = A ∪(B ∪C), (A I B)I C = A I (B I C)(3)分配律：A ∪(B I C)=(A ∪B)I (A ∪C) , A I (B ∪C)=(A I B)∪(A I C)(4)对偶律：（就是德摩根公式）();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I二.常用逻辑用语1.真值表2. 四种命题的相互关系结论：对角线的2对命题是同真同假的.原命题和逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假. 3.充要条件(注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.)(1)充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. (2必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.(3)充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充分必要条件 (简称充要条件). 注意：命题的否定和否命题是不一样的，命题的否定主要是否定结论，但是前面还是：“∀”(任意,全称量词)和 “∃” (存在，特称量词)互换.三.不等式1.不等式的性质: (1)a b b a >⇔<； (2),a b b c a c >>⇒>； (3)a b a c b c >⇒+>+；(4),0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<； (5),a b c d a c b d >>⇒+>+； (6)0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； (7) ()0,1nna b a bn n >>⇒>∈N >；(8))0,1a b n n >>>∈N >．2.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根2b x a-±=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<{}12x xx x <<∅ ∅()0a >推广穿针引线法：数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”.准确的说，应该叫做“序轴标根法”.序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.发明者河南省信阳市二高一名老教师.于上世纪八十年代发表的一篇论文上介绍此法，便于解此类方程，用于解简单高次不等式.使用步骤 ：第一步通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0. （注意：一定要保证x 前的系数为正数）可以简单记为秘籍口诀：“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”. 奇指的是次数是奇次的根，例如21(1)1n x x --=式子中偶指的是次数是偶次的根，2(2)2nx x -=式子中含有绝对值的不等式: 当a>0时，有22x a xa a x a <⇔<⇔-<<.两根之间22x a x a x a x a >⇔>⇔><-或.两根之外 3.基本不等式:平方平均数) 2112a b a b+≥≥≥+(简单调和平均数)算术平均一几何平均不等式（简称AM －GM 不等式）2a b+看作a b ，a b ，的等比中项. 可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 4.常用的基本不等式：口诀：一正二定三相等. (1)()222,a b ab a b R +≥∈；(2)()22,2a b ab a b R +≤∈(3)()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．(4)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>推广：12...nn a a a A n+++=≥n G =5.极值定理：设x 、y 都为正数，则有(1)若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．6.利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值.法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By +=,平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解； 第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B 为直线的纵截距zb kz B==. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.7.常见的目标函数的类型： (1)“截距”型：;z Ax By =+ (2)“斜率”型：y z x =或;y b z x a-=- (3)“距离”型：①点点距离22z x y =+；z =22()()z x a y b =-+-；z =②点线距离z Ax By C =++在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划.四.数系的扩充与复数的引入1.复数定义: z =a +bi ;共轭复数与复数的模(1)若z =a +bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数（b ≠0）. (2)复数z =a +bi 的模，|z且2||z z z ⋅==a 2+b 2.注：复数a +bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称.若b =0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上.复数的相等:,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 2.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.3.复平面上的两点间的距离公式 12||d z z =-=. （111z x y i =+，222z x y i =+）4.复数ni 周期是4, 141,n i ii +== 2421n i i +==-, 343,n i i i +==- 441,n i i ==专题二：函数与导数(7)奇偶性一.函数1.函数3种定义如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.“同增异减”.4.(1)奇偶函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数. (2)判断函数的奇偶性步骤: 第一步：求函数定义域 (1)定义域关于原点对称，第二步：看()f x -其与()f x 的关系(2)定义域关于原点不对称，直接就可以说函数为非奇非偶函数奇函数：若()(),()+()=0,()()f x f x f x f x f x f x -=--=--或或,则函数为奇函数,例:3-1x x y y y x ===，，偶函数：若()(),()()=0f x f x f x f x -=--或，则函数为偶函数.例：2y x = 偶函数性质：()()=()f x f x f x -=，x 定义域就是[0,+∞) 若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+； 若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.5.多项式函数110()n n n n f x a x a x a --=+++的奇偶性()f x 是奇函数⇔()f x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. ()f x 是偶函数⇔()f x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 重要结论：()()+c,f x g x =若()()()()0()()0()()2g x f x c g x g x f x c f x c f x f x c=-+-=-+--=+-=可以构造为奇函数例：3()sin +4,f x ax b x =+()()22*48f x f x c +-===6.如何判断函数单调性：①图像法②定义法③利用已知函数的单调性 ④导数法（后面学） 定义法：假设在指定区间上有1x <2x ，210()()00f x f x >⎧⎪-=⎨⎪<⎩，增函数，常函数，减函数 或 21210()()00f x f x k x x >⎧-⎪==⎨-⎪<⎩，增函数，常函数，减函数商的正负号与积的正负号一致等价：21210[()()]()00f x f x x x >⎧⎪--=⎨⎪<⎩，增函数，常函数，减函数7.函数()y f x =的图象的对称性：(1)(),()(2)()x a f a x f a x f a x f x =⇔+=-⇔-=函数的图象关于直线对称()()()()2a bx f a mx f b mx f a b mx f mx +=⇔+=-⇔+-=函数的图象关于直线对称(2))()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是直线2ba x +=. ()()f mx a f b mx -=-恒成立,则函数)(x f 的对称轴是直线2a bx m+= 8.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 9.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.函数定义域求法:根据解析式有意义的条件，如二次根式是非负数，分式分母不为0，对数函数的真数必须大于0等.函数值域的求法;(1)单调性法，(2)图像法，(3)换元法，(4)分离常数法，用于分式形式 (5)判别式法。

高三数学下学期二轮复习综合测试（2）试题 理 新课标数学（理）综合验收试题（2）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+ 是（ ）A ．i -1B ．i +-1C ．i +1D ．i --12．设全集R U =,=A (2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤3．如图所示，图中曲线方程为12-=x y ，借助定积分表达围成的封闭图形的面积 （ ） A ．dx x ⎰-202)1( B ．|)1(|22dx x ⎰-C ．dx x ⎰-22|1| D ．⎰⎰-+-212202)1()1(dx x dx x4．已知直线(0)y kx k =>与函数|sin |y x =的图象恰有三个公共点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 其中123x x x <<，则有 （ ） A ．3sin 1x =B ．333sin cos x x x =C ．333sin tan x x x =D ．33sin cos x k x =5．已知设递增数列{}n a 满足a 1=6，且1-+n n a a =19--n n a a ＋8（2≥n ），则70a =（ ） A ．29 B ．25C ．630D ．96．已知点G 是ABC ∆的重心，μλ+=,）、（R ∈μλ若0120=∠A ，2-=⋅AB ，则的最小值是（ ）A ．33B ．22C ．32 D ．43 7．如右图所示程序框图表示：输入的实数x 经过循环结构的一系列运算后，输出满足条件“x>2012？”的第一个结果。

高三二轮复习基础题训练1.若复数z = (x-5) + (3 — x)i在复平而内对应的点位于第三象限，则实数天的取值范围是A. (P,5)B・(3,+oo) C. (3,5) D. (5,+oc)2、已知集合M={0,l,2},集合N满足NyM,则集合N的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 93、平而向量“与〃的夹角为60 , “ = (2,0),问=1,则\a+b\=( )A.石B. "C. 3D. 74、已知函数f(x) = (cos2xcos x+sin2xsin x)sin x, JV GR,则/(x)是( )A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数IT JTC.最小正周期为一的奇函数D.最小正周期为一的偶函数2 25、已知两条不同直线加、/,两个不同平而a、P ,在下列条件中，可得出a丄0的是()A.加丄/, III a » III P B・加丄/, = m cz aC・mill, m 丄a ♦ l丄0 D・m//l , /丄0, m <z a\-2y+3>06、已知变量x, y满足约朿条件” —3y + 3SO,若目标函数z = y-cix^在点(-3,0)处y -1 < 0取到最大值，则实数Q的取值范围为( )A. (3, 5)B. (-, +oo)C. (-1, 2)D. (-, 1)2 37、某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是____________ 人.8、某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、"件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.则第一天通过检査的概率是________________;若(1 + 2x)5的第三项的二项式系数为5n,则第二天通过检查的概率____________ ・解析：-(3分)，-(2分)(1)・• •随意抽取4件产品检査是随机事件，而第一天有9 5 3件正品，二第一天通过检査的概率为/> = ^- = | . (2)由第三项的二项式系数为C； = 10 = 5n 3 /? = 2 故第二天通过检査的概率为；^9、曲线y =疋+3++6—1的切线中，斜率最小的切线方程为____________________10、已知等比数列仏｝中，各项都是正数，且绚丄如2心成等差数列，则坐0 等于 ________2 ' ' %+611、如图，三棱锥P-ABC中，PB丄底而ABC于B, ZBCA=90° , PB=CA=2,点E是PC的中点。

1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，如图，则由MB＝MC知，MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．2．(2014·郑州质检)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(1)若EC CB ＝13，ED DA ＝1，求DC AB 的值；(2)若EF 2＝F A ·FB ，证明：EF ∥CD .解：(1)∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠EDC ＝∠EBF ，又∠AEB 为公共角，∴△ECD ∽△EAB ，∴DC AB ＝EC EA ＝ED EB .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DC AB 2＝EC EA ·ED EB ＝EC EB ·ED EA ＝14×12＝18. ∴DC AB ＝24.(2)证明：∵EF 2＝F A ·FB ，∴EF F A ＝FB FE ， 又∵∠EF A ＝∠BFE ，∴△F AE ∽△FEB ，∴∠FEA ＝∠EBF ，又∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠EDC ＝∠EBF ，∴∠FEA ＝∠EDC ，∴EF ∥CD .3．(2014·海口调研)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB .∵OC 是圆的半径，∴直线AB 是⊙O 的切线．(2)由(1)知，直线AB 是⊙O 的切线，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ，∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC ，BC 2＝BD ·BE ，∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.(2014·云南统检)如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C ，D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长． 解：(1)证明：如图，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上， ∴∠DOA ＝∠DCF ，∴∠POD ＝∠PCE .又∵∠DPO ＝∠EPC ，∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝PO PC ，即PD ·PC ＝PO ·PE .由割线定理，得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直径AB 是弦DF 的垂直平分线，∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH .∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°.由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3，∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6， CE ＝DE tan ∠DCE ＝2， ∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.5．(2014·哈师附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)如图，P A ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点， 直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ ＝∠PBC .求证：(1)BD AD ＝BC AC ；(2)△ADQ ∽△DBQ .证明：(1)由题知，△PBC ∽△PDB ，所以BD BC ＝PD PB ，同理AD AC ＝PD P A .又因为P A ＝PB ，所以BD BC ＝AD AC ，即BD AD ＝BC AC .(2)如图，连接AB .因为∠BAC ＝∠PBC ＝∠DAQ ，∠ABC ＝∠ADQ ， 所以△ABC ∽△ADQ ，即BC AC ＝DQ AQ ，故BD AD ＝DQ AQ ，又因为∠DAQ ＝∠PBC ＝∠BDQ ，所以△ADQ ∽△DBQ .6．(2014·昆明调研)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG .证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2，∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，又∠BDG＋∠CDG＝180°，∴∠AEG＋∠AFG＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD 交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB.求证：(1)PE⊥AD；(2)BD平分∠EBC.证明：(1)由已知AD为直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，所以点Q为△P AD的垂心．则PE为AD边上的高，即PE⊥AD.(2)由(1)知，∠PBD＝∠PED＝90°，因而P，B，E，D四点共圆，则∠AEB＝∠BPC，又∠PCB＝∠DAB，所以△AEB∽△CPB，所以∠EBA＝∠CBP，所以∠EBD＝∠CBD，即BD平分∠EBC.8．(2014·石家庄一模)已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.(1)当点D与点A不重合时，如图(1)，证明：ED2＝EB·EC；(2)当点D与点A重合时，如图(2)，若BC＝2，BE＝6，求⊙O2的直径的长．解：(1)证明：连接AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠F AC＝∠ABC，∵∠F AC＝∠DAE，∴∠ABC＝∠DAE，∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，∴∠ABC＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴EA＝ED.∵EA2＝EB·EC，∴ED2＝EB·EC.(2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，故直线CA与⊙O2相切．在EA的延长线上取点P，在CA的延长线上取点M，连接AB，如图(2)所示，由弦切角定理知，∠P AC＝∠ABC，∠MAE＝∠ABE，又∠P AC＝∠MAE，∴∠ABC＝∠ABE＝12×180°＝90°，∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径．由切割线定理知，EA2＝BE·CE，而CB＝2，BE＝6，CE＝8，∴EA2＝6×8＝48，AE＝43，∴⊙O2的直径的长为4 3.。

规范练一 三角函数与解三角形 (1)规范练二 数列 (4)规范练三 概率与统计 (8)规范练四 立体几何 (11)规范练五 圆锥曲线 (17)规范练六 函数与导数 (22)规范练(一) 三角函数与解三角形1．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．(1)解 f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(2)证明 由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象； 因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝12，求△ABC 的面积．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)∵f (A )＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. 又0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6.∴2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3.在△ABC 中，∵a ＝1，b ＋c ＝2，A ＝π3，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝4－3bc .∴bc ＝1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.3．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．解(1)f(x)＝cos x(sin x－3cos x) ＝sin x cos x－3cos 2x＝sin 2x2－3cos 2x2－32＝sin(2x－π3)－32.当2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12，k∈Z，即x∈{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}时，f(x)取最大值1－32.(2)由f(A2)＝－32，可得sin(A－π3)＝0，因为A为△ABC的内角，所以A＝π3，则a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，由a＝3，b＋c＝23，解得bc＝1，所以S△ABC ＝12bc sin A＝34.4．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，a cos C＋3c sin A－b－c＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝3，求33S＋3cos B cos C取最大值时S的值．解(1)由正弦定理，得sin A·cos C＋3sin A·sin C－sin B－sin C＝0，∴sin A·cos C＋3sin A·sin C－sin(A＋C)－sin C＝0，sin A·cos C＋3sin A·sin C－sin A cos C－cos A sin C－sin C＝0，∴3sin A·sin C－cos A·sin C－sin C＝0，又sin C≠0，∴3sin A－cos A＝1，即2sin(A－π6)＝1，∴sin (A－π6)＝12，∵－π6＜A－π6＜5π6，∴A－π6＝π6，∴A＝π3.(2)∵b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，由(1)知C ＝2π3－B ， ∴33S ＋3cos B cos C ＝33·12bc sin A ＋3cos B cos C ＝33·12·2sin B ·2sin C ·32＋3cos B cos C ＝sin B sin C ＋3cos B cos C＝sin B ·sin(2π3－B )＋3cos B ·cos (2π3－B )＝34sin 2 B ＋12sin 2 B －32cos 2 B ＋34sin 2B＝34sin2B ＋12·12(1－cos 2B )－32·12(1＋cos 2B )＋34sin 2B ＝3＋14(3sin2B －cos 2B )＋1－34 ＝3＋12sin(2B －π6)＋1－34∵0＜B ＜2π3，∴－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，原式取得最大值，此时S ＝12(3)2×sin π3＝32×32＝334.规范练(二) 数列1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n .因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)．＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4·13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－(4n ＋3)3n ＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. (1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，①得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3， 又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1. 由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ，∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0， ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n . (1)求a n 及T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎨⎧ 2a 1＋10d ＝22，(a 1＋d )(a 1＋4d )＝a 1(a 1＋13d )，整理得 ⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)假设存在．由(1)知，T n ＝n 2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1， 若T 1，T m ，T n 成等比数列，则有T 2m ＝T 1·T n ⇒(m 2m ＋1)2＝13·n 2n ＋1⇒m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3⇒4m 2＋4m ＋1m 2＝6n ＋3n ⇒3n ＝4m ＋1－2m 2m 2，……① 因为n ＞0，所以4m ＋1－2m 2＞0⇒1－62＜m ＜1＋62，因为m ∈N *，m ＞1，∴m ＝2，当m ＝2时，带入①式，得n ＝12.综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，T m，T n成等比数列．规范练(三)概率与统计1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F.则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，∴P(F)＝C23×0.32×0.7＋C33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.2．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．解 (1)由题意可知， 样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004， x ＝0.1－0.004－0.010－0.016－0.04＝0.030.(2)由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则P (ξ＝1)＝C 15C 22C 37＝535＝17， P (ξ＝2)＝C 25C 12C 37＝2035＝47，P (ξ＝3)＝C 35C 37＝1035＝27. 所以，ξ的分布列为 ξ1 2 3 P 17 47 27所以，E (ξ)＝1×17＋2×47＋3×27＝157.3.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次，比赛之后甲、乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．(1)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；(2)比赛组委会规定，第一名获奖金1 000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金．求丙获奖金数的期望．解(1)由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有A13种可能；乙不是第五名，可见乙是第二、第三或第四名中的一种，有A13种可能；上述位置确定后，甲连同其余2人可任意排列，有A33种可能，故名次排列的可能情况的种数是A13×A13×A33＝54.(2)丙可能获第一名、第二名、第三名、第四名也可能获第五名．P(丙获第一名)＝13；P(丙获第二名)＝C12C12C12C13C13A33＝854＝427；P(丙获第三名)＝427；P(丙获第四名)＝427；P(丙获第五名)＝C12C13C12C13C13A33＝29.故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1 000、800、600、0，且P(X＝1 000)＝13，P(X＝800)＝427，P(X＝600)＝427，P(X＝0)＝427＋29＝1027.E(X)＝1 000×P(X＝1 000)＋800×P(X＝800)＋600×P(X＝600)＋0×P(X＝0)＝1 000×13＋800×427＋600×427＝14 60027(元)．4．为了推进国家“民生工程”，某市政府现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．(1)求A，B两人不申请同一套住房的概率；(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．解(1)设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，P(N)＝4×14×14＝14，所以A，B两人不申请同一套住房的概率是P(N)＝1－P(N)＝3 4.(2)法一 随机变量X 可能取的值为0,1,2,3，那么P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 法二 依题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k ＝C k3×33－k 64，k ＝0,1,2,3.即X 0 1 2 3 P27642764964164所以E (X )＝3×14＝34.规范练(四) 立体几何1．如图，在四棱锥E －ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝12AB ，∠ABC ＝π3.(1)求证：△BCE 为直角三角形；(2)若AE ＝AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值． (1)证明 在△ABC 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝π3，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝3BC 2，∴AC ＝3BC ，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA ⊥BC ， 又∵AC ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ACE ， ∴BC ⊥CE .∴△BCE 为直角三角形．(2)解 由(1)知：AC ⊥BC ，AE ⊥平面ABCD ，以点C 为坐标原点，CA→，CB →，AE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系C －xyz . 设BC ＝a ，则AE ＝AB ＝2a ，AC ＝3a ，如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则GB ＝12a ，∴CD ＝AB －2GB ＝a ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，由(1)知，∠DCH ＝60°， ∴DH ＝3a 2，CH ＝a 2， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－a 2，0.又C (0,0,0)，A (3a,0,0)， B (0，a,0)，E (3a,0,2a )， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2，－a 2，0， AE→＝(0,0,2a )，CE→＝(3a,0,2a )， 设平面ADE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AE →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3a 2x 0－a 2y 0＝0，z 0＝0.令x 0＝3，则y 0＝－3，∴n ＝(3，－3,0)． 设CE 与平面ADE 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈C E →·n 〉|＝|C E →·n ||C E →|·|n |＝3a 7a ·12＝2114.∴直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值为2114.2．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC .(1)求证：AB ⊥DC ；(2)求二面角B －AC －D 的大小．(1)证明 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos 45°＝1，∴BD ＝1，∴AB ⊥BD ，又∵平面ABD ⊥平面BDC ，平面ABD ∩平面BDC ＝BD ， ∴AB ⊥平面BDC ，又DC ⊂平面BDC ， ∴AB ⊥DC .(2)解 在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,1)设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BA →＝(0,0,1)，BC →＝(－1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎨⎧z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n ＝(1,1,0)，再设平面DAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，而DA →＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DA →＝0m ·DC →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0y ＝0，取m ＝(1,0，－1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12， 所以二面角B －AC －D 的大小是60°.3. 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，且AD ＝DE ＝2BF ＝2.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求二面角C －EF －D 的大小；(3)设G 为CD 上一动点，试确定G 的位置使得BG ∥平面CEF ，并证明你的结论．(1)证明 连接BD ，∵FB ∥ED ，∴F ，B ，E ，D 共面，∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC ，又ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴AC ⊥平面DBFE ，而EF ⊂平面DBFE ，∴AC ⊥EF .(2)解 如图建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，F (2,2,1)，E (0,0,2)，由(1)知AC →为平面DBFE的法向量，即AC →＝(－2,2,0)， 又CE→＝(0，－2,2)，CF →＝(2,0,1) 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，1则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC→|＝1＋232×22＝22，又平面CEF 与平面DBFE 的二面角为锐角，所以θ＝π4.(3)解 设G (0，y 0,0)，则BG →＝(－2，y 0－2,0)，由题意知BG →⊥n ，∴BG →·n ＝0，即(－2，y 0－2,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，1＝0， 解得y 0＝1，∴G 点坐标为(0,1,0)， 即当G 为CD 的中点时，BG ∥平面CEF .4．如图，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2.(1)若点E 为AB 的中点，求证： BD 1∥平面A 1DE ；(2)在线段AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的大小为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 四边形ADD 1A 1为正方形，连接AD 1，A 1D ∩AD 1＝F ，则F 是AD 1的中点，又因为点E 为AB 的中点，连接EF ，则EF 为△ABD 1的中位线，所以EF ∥BD 1.又因为BD 1⊄平面A 1DE ，EF ⊂平面A 1DE ， 所以BD 1∥平面A 1DE .(2)解 根据题意得DD 1⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)．设满足条件的点E 存在， 令E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)，EC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·D 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋(2－y 0)y 1＝0，2y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则平面D 1EC 的法向量为n 1＝(2－y 0,1,2)，由题知平面DEC 的一个法向量n 2＝(0,0,1)． 由二面角D 1－EC －D 的大小为π6得 cos π6＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2(2－y 0)2＋1＋4＝32，解得y 0＝2－33∈[0,2]，所以当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的大小为π6.规范练(五) 圆锥曲线1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－22＜m ＜22， x 1＋x 2＝－22m ①，x 1x 2＝m 2－44②. 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ， 则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1(*)． 将①②式代入(*)，得22＋m －22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0.2．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点． (1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．解(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧a 2＝2b 2＝1.故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1，故|OA |＝|OC |＝1＋k 21·22k 21＋1. 同理，|OB |＝|OD |＝1＋k 22·22k 22＋1.又因为AC ⊥BD ，所以|OB |＝|OD |＝1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，其中k 1≠0.从而菱形ABCD 的面积S＝2|OA |·|OB |＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1， 整理得S ＝412＋1(k 1＋1k 1)2，其中k 1≠0.故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为83.3．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0， 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.4．已知△ABC 的两顶点坐标A (－1,0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M .(1)求曲线M 的方程；(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．解 (1)由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)，设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－(|AB |2)2＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1,0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1,2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9(m 2＋1)3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m 23m 2＋4. 注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD →＝0，即m ＝±73，所以直线BC 的方程3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0为所求．规范练(六) 函数与导数1．设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)．(1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， |f (cos θ)－f (sin θ)|＜2.(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a )(x ＋2)，当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，f (x )在R 上单增；当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得－1a ＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减． 当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减． (2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值，∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2)．由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2,1]上单调递增．∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0,1]， ∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.2．已知m ∈R ，f (x )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x .(1)当m ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若m ∈[12，2]且关于x 的不等式(m －1)2(1－4m )≤f (x )≤20在区间[k,0]上恒成立，求k 的最小值k (m )．解 (1)当m ＝1时，f (x )＝2x 3＋3x 2，f ′(x )＝6x 2＋6x .切线斜率为k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝5，所以切线方程为y ＝12x －7.(2)令f ′(x )＝6x 2＋6x ＋6(m －m 2)＝0，可得x 1＝－m ，x 2＝m －1，因为m ∈[12，2]，所以m －1－(－m )＝2m －1≥0.①当m －1≤0，且2m －1＞0，即12<m ≤1时．f (x )极大＝f (－m )＝4m 3－3m 2，f (x )极小＝f (m －1)＝(m －1)2(1－4m )．令g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，则g ′(m )＝12m 2－6m ≥0.故g (m )在12≤m ≤1上单调递增，故g (m )≤g (1)＝1≤20恒成立．令h (x )＝f (x )－(m －1)2(1－4m )，显然h (m －1)＝f (m －1)－(m －1)2(1－4m )＝0，令h (x 0)＝h (m －1)(x 0≠m －1)，设[x －(m －1)]2(ax ＋b )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x －(m －1)2(1－4m )，比较两边系数得a ＝2，b ＝4m －1，故x 0＝－b a ＝1－4m 2.结合图象可知，要使(m －1)2(1－4m )≤f (x )恒成立．则只需x 0≤k ＜0即可，故k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜m ≤1； ②当m －1＞0即1＜m ≤2时，同①可知，g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，又g (m )，在1＜m ≤2上单调递增，故g (m )≤g (2)＝20恒成立．同理可知k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m 2(1＜m ≤2)，综上可知，k (m )＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 3．已知函数f (x )＝x ln x －ax ，(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的最小值；(2)若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a (a ＞0成立)，求实数a 的取值范围．解 (1)因f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0，又f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ＝－(1ln x )2＋1ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋14－a ，设1ln x ＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝－(t －12)2＋14－a ，故当t ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，解得a ≥14，所以a 的最小值为14.(2)命题“若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”，等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”，由(1)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，f ′(x )max ＋a ＝14，问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”．10当a ≥14时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2.20当0＜a ＜14时，f ′(x )max ＝14－a ＞0，由于f ′(x ) ＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈[e ，e 2]，使f ′(x 0)＝0，且满足：当x ∈[e ，x 0]时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈[x 0，e 2]时，f ′(x )＞0.由f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈[e ，e 2]，所以，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上所述，得a ≥12－14e 2.4．已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数．(1)若k ＜0，试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求k 的取值范围，并证明0＜f (x 1)＜1.解 (1)由f ′(x )＝k e x －2x 可知，当k ＜0时，由于x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝k e x －2x ＜0，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2＞0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)为增函数，所以h (x )＝2e x －2x ＞h (0)＝2＞0，即f ′(x )＝2e x －2x ＞0在(0，＋∞)恒成立， 从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )＝2e x －x 2＞f (0)＝2.(3)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x e x 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x e x ，当x ＜0时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＜0；当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＞0；当x ＞1时，φ′(x )＜0，函数φ(x )单调递减且φ(x )＞0.要使k＝2xe x有两个根，只需0＜k＜φ(1)＝2e，如图所示，故实数k的取值范围是(0，2 e)．又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由f′(x1)＝k e x1－2x1＝0，得k＝2x1 e x1.∴f(x1)＝k e x1－x21＝2x1e x1e x1－x21＝－x21＋2x1＝－(x1－1)2＋1，由于x1∈(0,1)，故0＜－(x1－1)2＋1＜1，所以0＜f(x1)＜1.。

高三数学二轮复习综合验收试题（6） 理 新课标数学（理）综合验收试题（6）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ） A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i3．由函数3cos ,(02)12y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积（ ）A ．4B ．123+πC ．12π+ D ．π24．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c5．已知θ是第三象限角，m =|cos |θ，且02cos 2sin >+θθ，则2cos θ等于（ ）A ．21m+B ．21m+-开始输出a ，ii =1 a =m ×in 整除a ?输入m ，n 结束 i = i +1 是 否（第6题图）C ．21m-D ．21m-- 6．执行如图所示的算法程序,输出的结果是（ ） A ．24,4 B ．24,3 C ．96,4 D ．96,37．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是 （ ）A ．]21,2[--B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．]2,21[D ．)2,21( 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。

高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-2x-3<0}，N={x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，-1]B.(-∞，-1)C.[3，+∞)D.(3，+∞)【解析】选A.M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}，又M⊆N，故a≤-1.2.如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=( )A.iB.1+iC.1-iD.1+2i【解析】选C.由图形可得：z1=i，z2=1+i，则==1-i.3.若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，+2+2=0，则在方向上的投影为( )A.4B.C.D.1【解析】选C.如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量加法的几何意义得+=2.又由条件得+=-=，所以2=，即4=，所以A，O，D共线，所以OA⊥BC，所以CD为在方向上的投影.因为||=||=4，所以||=3，所以||==.4.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为( )A.210B.210.5C.211.5D.212.5【解析】选C.由数据可知=5，=54，代入回归直线方程得a=1.5，所以=10.5x+1.5，当x=20时，=10.5×20+1.5=211.5.5.已知cos=，且α∈，则tanα=( )A.-B.C.-D.【解析】选A.因为cos=，所以sinα=，因为α∈，所以cosα=-，故tanα=-.6.已知a=21.2，b=，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解析】选 A.先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小.a=21.2>2，而b==20.8，所以1<b<2，c=2log52=log54<1，所以c<b<a.7.已知抛物线C1：x2=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为( )A.x2+=4B.+y2=4C.x2+=2D.+y2=2【解析】选A.由题设知抛物线的焦点为F，所以圆C2的圆心坐标为F.因为四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F为圆C2的圆心，所以点F为该矩形的两条对角线的交点，所以点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等.又点F到直线CD的距离为p=1，所以直线AB的方程为：y=，可取A，所以圆C2的半径r=|AF|==2，所以圆C2的标准方程为：x2+=4.8.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4-B.8-C.8-πD.8-2π【解析】选 C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为8-π.9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选 B.按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1+1=2，2×2+1=5，3×5+1=16，4×16+1=65，当i=4时，计算结果为a=65>50，此时输出i=4.10.已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10·b11=2，则a21=( )A.20B.512C.1 013D.1 024【解析】选D.由b n=可知b1=，b2=，…，b20=，所以b1·b2·…·b20=··…·=，又数列{b n}为等比数列，所以b1b20=b2b19=…=b10b11，于是有210=，即a21=210a1，又a1=1，所以a21=210=1024.11.已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. B. C.2 D.5【解析】选D.不妨设点P在靠近F2的一支上，则|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，设|PF2|=n，|PF1|=m，则由①③可得将其代入②可得5a2-6ac+c2=0，即e2-6e+5=0，得e=5.12.若关于x的不等式x2+ax-c<0的解集为{x|-2<x<1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=ax3+x2-cx在区间(t，3)上总不是单调函数，则m的取值范围是( )A.-<m<-3B.-3<m<-1C.-<m<-1D.-3<m<0【解析】选A.由题意可得-2，1是方程x2+ax-c=0的两根，则a=1，c=2.函数f(x)=x3+x2-2x，x∈(t，3)，t∈[1，2]总不是单调函数，只要f(x)在x∈(2，3)上不单调，即存在极值点，所以f′(x)=3x2+2x-2=0，x∈(2，3)有解，2m+1=-3x∈，x∈(2，3)，则-<2m+1<-5，解得-<m<-3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.观察下列等式：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若按类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________. 【解析】依题意，注意到从23到m3(m≥2，m∈N)分拆得到的等式右边最大的正整数为2×+1=(m-1)(m+2)+1=109=(10-1)(10+2)+1，因此所求的正整数m=10. 答案：1014.已知乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员一定参加且安排在第一、三、五位置，从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排有________种.【解析】先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有种方法，再从7名队员中选2名放在第二、四位置上，有种方法，所以不同的出场安排有=252种.答案：25215.在数列{a n}中，S n是其前n项和，若a1=1，a n+1=S n(n≥1)，则a n=________.【解析】因为3a n+1=S n(n≥1)，所以3a n=S n-1(n≥2).两式相减，得3(a n+1-a n)=S n-S n-1=a n(n≥2)⇒=(n≥2)⇒n≥2时，数列{a n}是以为公比，以a2为首项的等比数列，所以n≥2时，a n=a2·.令n=1，由3a n+1=S n，得3a2=a1，又a1=1⇒a2=，所以a n=(n≥2)，故a n=答案：16.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点.设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则对函数y=f(x)有下列判断：①函数y=f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x+2)=f(x-2)；③函数y=f(x)在区间[2，3]上单调递减；④=.其中判断正确的序号是________.【解析】依题意，当-1≤x≤1时，点P位于以原点为圆心，为半径的圆弧上运动；当1≤x≤2时，点P位于以点(1，0)为圆心，1为半径的圆弧上运动；当2≤x≤3时，点P位于以点(3，0)为圆心，1为半径的圆弧上运动.因此，对于①，②，易知有f(-x)=f(x)，f(x+4)=f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的偶函数，因此①，②均正确；对于③，由题可知，函数f(x)在[2，3]上是增函数，因此③不正确；对于④，f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=π×()2+×12+π×12=，因此④正确.综上所述，其中正确的命题的序号是①②④.答案：①②④。

跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425.[答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． [解析] 令a n ＝n ，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案]13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析]要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案]S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析]分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.[答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－(－1)－2－0＝－12，k BC ＝0－(－1)2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案] 6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n －12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·P A ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABC S 2△ABC PO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC 14P A 2·PB 2·PC 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N . [答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x ≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确；④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．综上①③正确．[答案] ①③12．[正反互推法]已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2016)＋f (－2017)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．[解析] 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：根据图象可知①f(2016)＋f(－2017)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确定只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．[答案]①③④。

专题限时集训(六)A[第6讲 导数及其应用](时间：45分钟)1．曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点(1，0) ) A ．y ＝4x －5 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋4 D ．y ＝3x －32．函数f (x )＝2ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ∈R )在点(b ，f (b ))处的切线斜率的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 C. 3 D ．13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．44．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎠⎛－11f (x )d x 的值为( ) A ．1＋π2 B .12＋π4C ．1＋π4D .12＋π25．函数f(x)＝x ＋sin x(x ∈R )( A ．是偶函数且为减函数 B ．是偶函数且为增函数 C ．是奇函数且为减函数 D ．是奇函数且为增函数6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( ) A ．既是周期函数，又是奇函数 B ．既是周期函数，又是偶函数 C ．不是周期函数，但是奇函数 D ．不是周期函数，但是偶函数7．设函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点的横坐标的最大值为α，则α等于( )A ．－cos αB ．tan αC ．sin αD ．π8．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x ；⑤f (x )＝x ＋1x.A ．①③⑤B ．③④C ．②③④D ．②⑤9.⎠⎛01(1－x 2－x )d x ＝________．10．函数f(x)＝e x ＋x 2＋x ＋1的图像L 关于直线2x －y －3＝0对称的图像为M ，点P ，Q 分别是两图像上的动点，则|PQ →|的最小值为________．11．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．函数f(x)＝x 3＋2xf′(－1)，则函数f(x)在区间[－2，3]上的值域是________． 13．已知函数f(x)＝log a x －x ＋1(a>0，且a ≠1)． (1)若a ＝e ，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)>0在区间(1，2)上恒成立，求实数a 的取值范围．14．已知函数f(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x ＋2a ＋2，其中a ≤2. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．15．已知函数f(x)＝(2－a)ln x －1，g(x)＝ln x ＋ax 2＋x(a ∈R )，令φ(x )＝f (x )＋g ′(x )． (1)当a ＝0时，求φ(x )的极值；(2)当－3<a <－2时，若对∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|φ(λ1)－φ(λ2)|<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立，求实数m 的取值范围．专题限时集训(六)A1．D [解析] y ′＝6x 2－3，当x ＝1时y ′＝3，即曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点(1，0)处的切线方程的斜率为3，故切线方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.2．A [解析] f ′(x )＝2x ＋2x －b ，故曲线y ＝f (x )在点(b ，f (b ))的切线斜率是f ′(b )＝2b＋2b －b ＝b ＋2b≥2 2，当b ＝2时等号成立．3．A [解析] 由题意，在x ＝14处，两个函数的导数值相等．又f ′(x )＝12 x，g ′(x )＝a x ，所以1＝4a ，即a ＝14. 4．B [解析] 根据定积分的几何意义可得所求的定积分为12＋π4.5．D [解析] f (x )满足f (－x )＝－f (f ′(x )＝1＋cos x ≥0，函数f (x )是增函数．6．B [解析] 因为y ＝f (x )是周期函数，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边同时求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数为周期函数．因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边同时求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，即导函数为偶函数．选B.7．B [解析] 直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点为(α，－sin α)，则－sin α＝kα且k ＝－cos α，所以α＝tan α.8．A [解析] ①即x 2＝2x ，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e －x ＝－e －x ，此方程无解，故②不符合要求；③即ln x ＝1x，数形结合可知这个方程也存在实数解，故③符合要求；④中，f ′(x )＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，若f (x )＝f ′(x )，即1cos 2x＝tan x ，化简得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f ′(x )＝1－1x 2，1－1x 2＝x ＋1x，即x 3－x 2＋x＋1＝0，令g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g (－1)＝－2，g (0)＝1，所以必存在x 0∈(－1，0)使g (x 0)＝0，故⑤符合要求．9.π4－12 [解析] ⎠⎛01(1－x 2－x)d x ＝⎠⎛01 1－x 2d x －⎠⎛01x d x ＝π4－⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 210＝π4－12. 10．2 5 [解析] 设P(x 0，y 0)到直线2x －y －3＝0的距离为d ，则d ＝|e x 0＋x 20－x 0＋4|5.设g(x)＝e x ＋x 2－x ＋4，则g′(x)＝e x ＋2x －1，显然g′(0)＝0，且[g′(x)]′＝e x ＋2>0，因此g(x)min＝g(0)＝5，所以d min ＝5⇒|PQ →|min ＝2 5.11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y ＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝23(x ＋1)3错误!错误!－1＝错误!.12．[－4 2，9] [解析] f′(x)＝3x 2＋2f′(－1)，令x ＝－1可得f ′(－1)＝－3，所以f(x)＝x 3－6x ，f′(x)＝3x 2－6.令f′(x)＝0得x ＝±2，根据三次函数的性质，可得x ＝－2为其极大值点，x ＝2为其极小值点．又f(－2)＝4，f(－2)＝4 2，f(2)＝－4 2，f(3)＝9，所以函数f(x)在区间[－2，3]上的最小值为f(2)＝－4 2，最大值为f(3)＝9，所以其值域为[－4 2，9]．13．解：(1)当a ＝e 时，f(x)＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－1.令f′(x)>0，得0＜x ＜1，令f′(x)<0，得x>1，故f(x)的单调递增区间为(0，1)，f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)∵f(x)＝log a x －x ＋1＝ln xln a－x ＋1，∴f(x)>0在(1，2)上恒成立⇔ln xln a>x －1在(1，2)上恒成立．而x ∈(1，2)时，ln x>0，x －1>0， 则a>1， ∴ln x ln a >x －1在(1，2)上恒成立⇔ln a<ln x x －1在(1，2)上恒成立． 令F(x)＝ln x x －1，则F′(x)＝1x （x －1）－ln x （x －1）2＝1－1x －ln x （x －1）2.令G(x)＝1－1x －ln x ，则G(1)＝0，G ′(x)＝1x 2－1x ＝1－xx2，G ′(x)<0在x ∈(1，2)上恒成立， 故G(x)在(1，2)上单调递减， 即G(x)<G(1)＝0，故F′(x)<0在(1，2)上恒成立，∴F(x)在(1，2)上单调递减，F(x)>F(2)＝ln 2. ∴ln a ≤ln 2，得a ≤2.综上，a ∈(1，2]．14．解：(1)函数定义域为{x|x>0}，且f′(x)＝2x －(a ＋2)＋a x ＝（2x －a ）（x －1）x.①当a ≤0，即a2≤0时，令f′(x)<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)；令f′(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．②当0<a 2<1，即0<a<2时，令f′(x)>0，得0<x<a2或x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，a2，(1，＋∞)；令f′(x)<0，得a2<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，1. ③当a2＝1，即a ＝2时，f′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．(2)①当a ≤0时，由(1)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，f(x)在(1，2]单调递增．所以f(x)在(0，2]上的最小值为f(1)＝a ＋1.由于f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 4－2e 2－a e 2＋2＝⎝⎛⎭⎫1e 2－12－a e 2＋1>0，要使f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，需满足f(1)＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）<0，解得a ＝－1或a<－2ln 2.②当a ＝2时，由(1)可知，函数f(x)在(0，2]上单调递增，且f(e －4)＝1e 8－4e4－2<0，f(2)＝2＋2ln 2>0，所以f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．③当0<a<2时，由(1)可知，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，a2，(1，2]上单调递增，又因为f(1)＝a ＋1>0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤a2，2时，总有f(x)>0. 因为0<e －2a ＋2a<1<a ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫e －2a ＋2a ＝e －2a ＋2a ⎣⎡⎦⎤e －2a ＋2a －（a ＋2）＋⎝⎛⎭⎫a ln e －2a ＋2a ＋2a ＋2＝e －2a ＋2a ⎣⎡⎦⎤e －2a ＋2a －（a ＋2）<0.所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内必有零点．又因为f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2内单调递增，从而当0<a ≤2时，f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．综上所述，0<a ≤2或a<－2ln 2或a ＝－1时，f(x)在(0，2]上有且只有一个零点．15．解：因为g′(x)＝1x ＋2ax ＋1，所以φ(x)＝(2－a)ln x ＋1x＋2ax ，x ∈(0，＋∞)．(1)a ＝0时，φ(x)＝2ln x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)，φ′(x)＝2x －1x 2＝2x －1x2.令φ′(x)＝0，得x ＝12.当0<x<12时，φ′(x)<0；当x>12时，φ′(x)>0.所以函数φ(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以函数φ(x)在x ＝12处取得极小值φ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值．(2)φ′(x)＝2－a x －1x 2＋2a ＝2ax 2＋（2－a ）x －1x 2＝2a ⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋1a x 2，x ∈(0，＋∞)． 当a<－2时，0<－1a <12，所以在⎝⎛⎭⎫0，－1a 和⎝⎛⎭⎫12，＋∞上φ′(x)<0.所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，－1a ，⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 所以当－3<a<－2时，φ(x)在[1，3]上单调递减，所以φ(x)min ＝φ(3)＝(2－a)ln 3＋13＋6a ，φ(x)max ＝φ(1)＝2a ＋1.对∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|φ(λ1)－φ(λ2)|<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立等价于|φ(λ1)－φ(λ2)|max＝φ(1)－φ(3)<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立，即(2a ＋1)－⎣⎡⎦⎤（2－a ）ln 3＋13＋6a ＝23－2ln 3＋(ln 3－4)a<(m ＋ln 2)a －2ln 3恒成立，即⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23a －23>0在－3<a<－2时恒成立．令h(a)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23a －23，则h(a)是a 的一次函数，故只要h(－3)≥0且h(－2)≥0即可．h(－3)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23(－3)－23≥0，解得m ≤－389－ln 23； h(－2)＝⎝⎛⎭⎫m ＋4＋ln 23(－2)－23≥0，解得m ≤－133－ln 23. 所以m ≤－133－ln 23.所以所求的m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－133－ln 23. (也可使用分离参数的方法)。

专题限时集训(六)[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2 x ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间为( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件4．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)5．已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x 1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．设函数f (x )＝13x －ln x ，则y ＝f (x )( ) A ．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间1e，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 7．如图X6－1所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 边向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图像大致为( )X6－28．已知函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．－1，－12∪14，13B ．－1，－12∪14，13C ．－13，－14∪12，1 D ．－13，－14∪12，1 9．若x 1，x 2是函数f (x )＝x 2＋mx －2(m ∈R )的两个零点，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值是________．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定的区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．11．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x －ax ，若函数在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a ，x <a . (1)若x <a 时，f (x )<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f (x )在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．14．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数；(2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大？最大利润为多少？15．已知函数f (x )＝x 2ln |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．专题限时集训(六)1．A [解析] 函数f (x )存在零点，则m ≤0，故“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.2．C [解析] f ′(x )＝e x ＋1＞0，所以f (x )＝e x ＋x －2在R 上是增函数．而f (－2)＝e －2－4＜0，f (－1)＝e －1－3＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2＞0，即f (0)f (1)＜0，故(0，1)为函数f (x )零点所在的一个区间．3．B [解析] 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．故选B.4．B [解析] 函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x ＋x 单调递增，故在[0，＋∞)上函数f (x )的最小值为f (0)＝1，故函数f (x )在R 上的最小值为1.若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k >1.5．A [解析] 由f (x )＝e x ＋x ＝0得x <0，即a <0；由g (x )＝ln x ＋x ＝0得0<x <1，即0<b <1；由h (x )＝ln x －1＝0得x ＝e ，即c ＝e ，所以可知a <b <c ，选A.6．D [解析] 函数图像是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(0，e)内单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e －ln 1e >0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －ln e<0，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．7．A [解析] 分三个时间段分别计算△PCQ 的面积，经计算得S △PCQ ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－10t ＋24（0≤t ≤4），45（t 2－4t ）（4<t <6），－35（t 2－18t ＋56）（6≤t ≤9）.可知符合函数条件的图像只有A. 8．B [解析] 当0≤x <1时，f (x )＝x ，又f (x ＋1)＝(x ＋1)－[x ＋1]＝x －[x ]＝f (x )，故函数f (x )是以1为周期的周期函数．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝kx ＋k 的图像，可知当方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根时，k 满足3k ＋k ≥1且2k ＋k <1，或者－3k ＋k ≥1且－2k ＋k <1，解得14≤k <13或－1<k ≤－1. 9．2 2 [解析] 由于Δ＝m ＋8>0，故函数f (x )一定有两个不同的零点，又－2<0，所以两个零点异号，故x 2>0，x 1<0，所以x 2－x 1＝x 2＋(－x 1)≥2 －x 1x 2＝2 2或x 2－x 1＝（x 2＋x 1）2－4x 1x 2＝m 2＋8≥2 2.10．(0，2) [解析] 因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，且f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ，所以关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝m ，即x 2－mx ＋m －1＝0在(－1，1)内有实数根，若m ＝0，方程无解，所以m ≠0，解得方程的根为x 1＝1或x 2＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．11.⎝⎛⎭⎫25，23 [解析] 根据偶函数和周期性把函数拓展到[－2，3]，其图像如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即25<a <23.12．(e ，＋∞) [解析] 4个零点时，0一定不能是函数的零点，且在x >0时有且仅有2个不同的零点，即方程e x －ax ＝0有两个正实根．方法一：(分离参数，构造函数的方法)a ＝e x x ＝φ(x )，则φ′(x )＝x －1x 2e x ，可得x ＝1为函数φ(x )在(0，＋∞)上唯一的极小值点，也是最小值点，φ(x )min ＝φ(1)＝e ，且在x >0且x →0时，φ(x )→＋∞.故只要a >e 即可，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．方法二：(数形结合的切线法)在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝ax 在(0，＋∞)的图像，可知当直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 相切时两个函数图像有唯一的公共点；当直线y ＝ax 的斜率大于曲线y ＝e x 过坐标原点的切线的斜率时，两曲线有两个不同的公共点．设切点坐标为(x 0，e x 0)，则在该点处的切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，该直线过坐标原点时，－e x 0＝－x 0e x 0，解得x 0＝1，此时切线斜率为e ，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．13．解：(1)因为x <a 时，f (x )＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t <2a .f (x )<1当x <a 时恒成立，转化为t 2－4×t 2a <1， 即42a >t －1t在t ∈(0，2a )上恒成立． 令p (t )＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p ′(t )＝1＋1t 2>0，所以p (t )＝t －1t在(0，2a )上单调递增， 所以42a ≥2a －12a ，所以2a ≤5，解得a ≤log 2 5. (2)①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－ax ＋1，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1－a 24. (i)当a 2≤a ，即a ≥0时，f (x )min ＝f (a )＝1； (ii)当a 2>a ，即－4≤a <0时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 24. ②当x <a 时，f (x )＝4x －4×2x －a .令t ＝2x ，t ∈(0，2a )，设h (t )＝t 2－42a t ＝⎝⎛⎭⎫t －22a 2－44a . (i)当22a <2a ，即a >12时，h min (t )＝h ⎝⎛⎭⎫22a ＝－44a ； (ii)当22a ≥2a ，即a ≤12时，h (t )在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h (t )∈(4a －4，0)，无最小值．综合①，②知当a >12时，1>－44a ，函数f (x )min ＝－44a ； 当0≤a ≤12时，4a －4<0<1，函数f (x )无最小值； 当－4≤a <0时，4a －4<－3≤1－a 24，函数f (x )无最小值． 故当a >12时，函数f (x )有最小值为－44a . 14．解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10·[2(x －P )－P ]＝10(2x －3P )＝20x －30P＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知y ′＝20－6x ＋96x ＝－6x 2＋20x ＋96x＝－2（3x 2－10x －48）x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x. 令y ′＝0，可得x ＝6或x ＝－83. 从而当4≤x ≤6时，y ′>0，函数在[4，6]上为增函数；当6<x ≤12时，y ′<0，函数在(6，12]上为减函数．所以当x ＝6时，函数取得极大值，也为[4，12]上的最大值．即当x ＝6时，获得最大利润，最大利润为y max ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝(96ln 6－78)万元，所以当每台机器日产量为6万件时，可以获得最大利润，为(96ln 6－78)万元．15．解：(1)∵函数f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且f (－x )＝(－x )2ln |－x |＝x 2ln |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)当x >0时，f ′(x )＝2x ·ln x ＋x 2·1x＝x ·(2ln x ＋1)， 当0<x <e －12，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，e －12)上单调递减； 当x >e －12时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞上单调递增． 再由f (x )是偶函数，得f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－e －12，0和⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞； 递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－e －12和⎝⎛⎭⎫0，e －12. (3)方法一：要使方程f (x )＝kx －1有实数解，即要使函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx －1有公共点．函数f (x )的图像如图．先求当直线y ＝kx －1与f (x )当x >0时，f ′(x )＝x ·(2ln x ＋1)，设切点为P (a ，f (a ))，则切线方程为y －f (a )＝f ′(a )(x －a )，将x ＝0，y ＝－1代入，得－1－f (a )＝f ′(a )(－a )即a 2ln a ＋a 2－1＝0(*)，显然，a ＝1满足(*)．而当0<a <1时，a 2ln a ＋a 2－1<0，当a >1时，a 2ln a ＋a 2－1>0.∴(*)有唯一解a ＝1.此时k ＝f ′(1)＝1，再由对称性，k ＝－1时，y ＝kx －1也与f (x )的图像相切，∴若方程f (x )＝kx －1有实数解，则实数k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．方法二：由f (x )＝kx －1，得x ln |x |＋1x＝k ， 令g (x )＝x ln |x |＋1x， 当x >0，g ′(x )＝ln x ＋1－1x 2＝ln x ＋x 2－1x 2， 显然g ′(1)＝0，0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(0，1)上单调递减；x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增；∴x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1.又g (－x )＝－g (x )⇒g (x )为奇函数，∴x <0时，g (x )max ＝g (－1)＝－1，∴g (x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴若方程f (x )＝kx －1有实数解，则实数k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。

提能专训(六) 平面向量、复数、程序框图及合情推理A 组一、选择题1．(2014·北京海淀区模拟)复数z ＝(1＋i)(1－i)在复平面内对应的点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(2,0) [答案] D[解析] 因为z ＝(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝1＋1＝2，所以对应的点为(2,0)，故选D.2．(2014·济南统考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 由题中图象可知，z 1＝－2－2i ，z 2＝i ，所以z 1＋z 2＝－2－i ，|z 1＋z 2|＝ 5.3．(2014·陕西质检三)已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R )，若复数z 2＝kz 1(k ∈R )，则a ＝( )A.32B.23C.12 D.13[答案] A[解析] 依题意z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1，得a ＋3i ＝k (1＋2i)，即有⎩⎨⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32.4．(2014·贵阳检测)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是( ) A. 2 B ．2 C ．0 D ．1[答案] A[解析] ∵AF →＝AD →＋DF →，AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·AD →＋AB →·DF →＝AB →·DF→＝2|DF →|＝2， ∴|DF →|＝1，|CF →|＝2－1，∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·CF →＋BE →·BC→＝－2×(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A. 5．(2014·沈阳质检)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 [答案] B[解析] 由题意可知，AM →＝12(AB →＋AD →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.6．(2014·辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3,3)[答案] B[解析] 由题意可知，向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3，故选B.7．(2014·洛阳统考)设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则在复平面内i z －对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1) [答案] C[解析] ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z －＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．8．(2014·河南三市调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简，得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 9．(2014·郑州质检)如图，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若OC→＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝( )A.56 B.45 C.34 D.23[答案] D[解析] 依题意，设OP →＝nOC →，则有OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，nOC →－OA →＝λ(OB→－OA →)， n (mOA→＋2mOB →)－OA →＝λ(OB →－OA →)， 即(mn ＋λ－1)OA→＋(2mn －λ)OB →＝0；又OA →与OB →不共线，于是有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23，故选D.10．(2014·福建质检)在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意点P ∈Ω，都有点Q ∈Ω，使得OQ →＝OP →＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a (k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期；②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(－1,2)为Ω的一个向量周期；④若平面点集Ω＝{(x ，y )|y ＝|sin x |－|cos x |}，则c ＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，0为Ω的一个向量周期．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A[解析] 对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，取OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，由OQ →＝OP →＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1＋(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，3，则Q ∉Ω，∴b 不是Ω的一个向量周期，故③是假命题；对于④，取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，OQ →＝OP →＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，1＋⎝⎛⎭⎪⎫π2，0＝(π，1)，∴Q (π，1)，∵|sin π|－|cos π|＝－1≠1，∴Q ∉Ω，∴c 不是Ω的一个向量周期，故④是假命题．故选A.二、填空题11．(2014·浙江名校联考)若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．[答案] － 2[解析] 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.12．(2014·洛阳统考)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若点P 在直线BC 上，AP →＝λAB →＋μAC →，且AP →⊥BC →，则μλ＝________.[答案] 6[解析] 以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．设点P (x 0，y 0)，由AP→⊥BC →可求得，直线AP 和BC 的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫97，637，由AP →＝λAB →＋μAC →得，λ＝17，μ＝67，所以μλ＝6.13．(2014·北京海淀区期末)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP→与ON →平行时，b ＝________； (2)给出下列问题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a ＜0且b ＜0，使得OP→与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立． 其中，所有正确命题的序号是________． [答案] (1)－1 (2)①②③[解析] (1)当OP→与ON →平行时，根据图形的对称知原点O 为线段PN 的中点，则OP→＝－ON →，所以b ＝－1. (2)若△PMN 为等边三角形，则P 点为准线x ＝－1与x 轴的交点，由题意P (－1,0)，可取M (1,2)，N (1，－2)，|MN |＝4，则|PM |＝|PN |＝22≠|MN |，故①正确；设P (－1，y )，令OP →⊥ON →，则(－1，y )·(1，－2)＝0，即y ＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a ＋b ，－12＝2a －2b ，解得a ＝－58，b ＝－38，故②正确；根据图形的对称性知，点P 关于原点的对称点Q 必在直线MN 上，则OQ→＝－OP →＝－aOM →－bON→，由于点M ，N ，Q 三点共线，则(－a )＋(－b )＝1，即a ＋b ＝－1，故③正确．综上可知，①②③正确．14．(2014·合肥八中等联考)已知△OFQ 的面积为S ，且OF →·FQ →＝1，若12＜S ＜32，则OF →，FQ →的夹角θ的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3[解析] 如图，∵OF →·FQ →＝|OF →||FQ →|cos θ＝1， 又S △OFQ ＝12|OF →||FQ →|sin(π－θ) ＝12|OF →||FQ →|sin θ，∴S △OFQ ＝12tan θ， ∵12＜S ＜32， ∴1＜tan θ＜3， ∴π4＜θ＜π3.B 组一、选择题1．(2014·河南六市联考)已知数列{a n }，观察如图所示的程序框图，若输入a 1＝1，d ＝2，k ＝7，则输出的结果为( )A.49B.511C.613D.715 [答案] C[解析] 由题中程序框图知，输出 S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋111×13 ＝12×1－13＋13－15＋…＋111－113 ＝613， 故选C.2．(2014·东北四市二联)如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n ＋1＋2n )的值B ．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n )的值C ．计算(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)的值D ．计算[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n )的值 [答案] C[解析] 初始值k ＝1，S ＝0，第1次进入循环体时，S ＝1＋20，k ＝2；第2次进入循环体时，S ＝1＋20＋2＋21，k ＝3；…；给定正整数n ，当k ＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，退出循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C.3．(2014·太原一模)给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入()A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i[答案] D[解析]由题意，本题求30个数的和，故在判断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知应填“p＝p＋i”，故选D.4．(2014·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)[答案] B[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，故选B.5．(2014·乌鲁木齐二诊)阅读如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，运行相应程序，则输出的n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．16[答案] B[解析] 循环体执行第一次时：i ＝1，n ＝3；循环体执行第二次时：i ＝2，n ＝10；循环体执行第三次时：i ＝3，n ＝5，此时循环结束，输出n ＝5，故选B.6．(2014·山西质检)执行如图所示的程序框图，输出的S 值是( )A. 3B.32 C ．0 D ．－32[答案] B[解析] 由题意得，该框图是求数列{a n }的前2 014项和，其中a n ＝sin n π3，又因为数列{a n }为周期为6的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，又因为2 014＝6×335＋4，所以前2 014项和S 2 014＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋…＋sin 2 014π3＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＝32，故选B.7．(2014·云南一检)如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝2 010，n ＝1 541，则输出的m 的值为( )A．2 010 B．1 541 C．134 D．67[答案] D[解析]按框图逐步执行，有：①m＝1 541，n＝469；②m＝469，n＝134；③m＝134，n＝67；④m＝67，n＝0，故输出的m＝67.8．(2014·海口调研)设{a n}是集合{2s＋2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{a n}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12…则a99等于()A．8 320 B．16 512 C．16 640 D．8 848[答案] B[解析]用(s，t)表示2s＋2t，则三角形数表可表示为第一行3(0,1)第二行 5(0,2) 6(1,2)第三行 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)第四行 17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)…因为99＝(1＋2＋3＋4＋…＋13)＋8，所以a 99＝(7,14)＝27＋214＝16 512，故选B.二、填空题9．(2014·陕西质检三)观察等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝32； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝2； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫26＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫46＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝52； …由以上几个等式的规律可猜想f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＝________. [答案] 2 0132[解析] 从所给四个等式看：等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，52，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＝2 0132.10．(2014·呼和浩特调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a (i ，j )，且a (1，j )＝2j －1，a (i,1)＝i ，a (i ＋1，j ＋1)＝a (i ，j )＋a (i ＋1，j )，则此数表中若记第3行的数3,5,8,13，22，…，为数列{b n }，则{b n }的通项公式为________.[答案] b n ＝2n －1＋n ＋1[解析] 由题意可得n ≥2时，a (2，n )＝2＋1＋2＋22＋…＋2n －2＝2＋1－2n －11－2＝2n －1＋1，n ＝1时，经验证知成立，a (2，n )＝2n －1＋1.则n ≥2时，a (3，n )＝3＋(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n －2＋1)＝3＋1－2n －11－2＋n －1＝2n －1＋n ＋1.n ＝1时，经验证成立，∴a (3，n )＝2n －1＋n ＋1，即b n ＝2n －1＋n ＋1.11．(2014·成都三次诊断)图(1)是某地区参加2014年高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A 1，A 2，A 3，…，A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是图(1)中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160,180)内的学生人数，那么流程图中判断框内整数k 的值为________．图(1)图(2)[答案] 7[解析] 由题，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值，注意到是先对i 赋值增加再进行判断，可得k ＝7.12．(2014·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.[答案] 14[解析] 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1.∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 13．(2014·东莞一模)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)[答案]a1＋a2＋…＋a n≤n[解析]构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1.∵∀x∈R，f(x)≥0恒成立，∴Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，∴(a1＋a2＋…＋a n)2≤n，即a1＋a2＋…＋a n≤n.。

高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为N，则M∩N=( )A.(-1，0]B.[0，1)C.(0，1)D.[0，1]【解析】选B.由x2-x≤0，得M={x|0≤x≤1}，因为1-|x|>0，所以N={x|-1<x<1}，所以M∩N=[0，1).2.已知复数z满足z=，则z的共轭复数的虚部为( )A.2B.-2C.-1D.1【解析】选D.由题意知z====-1-i.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.设数列{a n}满足a1+2a2=3，点P n(n，a n)对任意的n∈N*，都有=(1，2)，则数列{a n}的前n项和S n为( )A.nB.nC.nD.n【解析】选A.因为=-=(n+1，a n+1)-(n，a n)=(1，a n+1-a n)=(1，2)，所以a n+1-a n=2.所以{a n}是公差为2的等差数列.由a1+2a2=3，得a1=-，所以S n=-+n(n-1)×2=n.5.若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题知n=3，k=0；n=10，k=1；n=5，k=2；n=16，k=3；n=8，k=4，满足判断条件，输出的k=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x+2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，则( )A.f(2019)<f(2014)<f(2017)B.f(2017)<f(2014)<f(2019)C.f(2014)<f(2017)<f(2019)D.f(2019)<f(2017)<f(2014)【解析】选A.由于函数f(x+2016)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，又因为对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，所以函数f(x)在[2016，+∞)上单调递减，所以f(2019)<f(2018)<f(2017)，因为函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，所以f(2014)=f(2018)，所以f(2019)<f(2014)<f(2017).7.函数f(x)=x+cosx的大致图象为( )【解析】选B.因为f(x)=x+cosx，所以f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，即函数f(x)为非奇非偶函数，从而排除A，C.又当x=π时，f(π)=π-1<π，故排除D.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.4B.6C.7D.【解析】选D.该几何体的直观图如图中多面体ADCEG-A1D1C1F所示，它是由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱台而形成的，结合已知得所求体积V=23-×2×(×1×++×2×1)=.9.已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x+ay-1=0上，所以2+a-1=0，所以a=-1，所以A(-4，-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2，所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.10.已知函数f=x-，g=，对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f(x3)=g，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.函数f=x-，f′=1-=，当0<x<1时，f′<0，此时函数f单调递减；当x>1时，f′>0，此时函数f单调递增.对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f=g，则m>0.问题转化为当x≥e时，f>g恒成立，即x->，m<x2-lnx，即m<，设h=x2-lnx，h′=2x-，当x≥e时，h′>0恒成立，则函数h在[e，+∞)上单调递增，当x=e时，h有最小值e2-1，故m<e2-1，又m>0，所以0<m<e2-1.11.在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于( )A.2B.C.3D.【解析】选D.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos==，解得|PF1|=c，则|PF2|=c，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=c-c=2a，即=.12.若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n>0且a n a n+1=n+1，则称数列{a n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a n}中，a1=1，数列{+}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A.S n≤2n2+3B.S n≥n2+4nC.S n≤n2+4nD.S n≥n2+3n【解析】选D.因为a n>0，所以+≥2a n a n+1.因为a n a n+1=n+1，所以{a n a n+1}的前n项和为2+3+4+…+(n+1)==，所以数列{+}的前n项和S n≥2×=(n+3)n=n2+3n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________.【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0，所以抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是=.答案：14.定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当“和谐格点”的个数为4时，实数a的取值范围是__________.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当“和谐格点”的个数为4时，它们分别是(0，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，所以a的取值范围是[1，2).答案：[1，2)15.已知△ABC中，AB=3，AC=，点G是△ABC的重心，·=________.【解析】延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，·=·=×(+)·(-)=(||2-||2)==-2.答案：-216.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x2.若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为__________.【解析】依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1，3]内有4个零点，即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1，0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1，3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-2x-3<0}，N={x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，-1]B.(-∞，-1)C.[3，+∞)D.(3，+∞)【解析】选A.M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}，又M⊆N，故a≤-1.2.如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=( )A.iB.1+iC.1-iD.1+2i【解析】选C.由图形可得：z1=i，z2=1+i，则==1-i.3.若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，+2+2=0，则在方向上的投影为( )A.4B.C.D.1【解析】选C.如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量加法的几何意义得+=2.又由条件得+=-=，所以2=，即4=，所以A，O，D共线，所以OA⊥BC，所以CD为在方向上的投影.因为||=||=4，所以||=3，所以||==.4.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为( )A.210B.210.5C.211.5D.212.5【解析】选C.由数据可知=5，=54，代入回归直线方程得a=1.5，所以=10.5x+1.5，当x=20时，=10.5×20+1.5=211.5.5.已知cos=，且α∈，则tanα=( )A.-B.C.-D.【解析】选A.因为cos=，所以sinα=，因为α∈，所以cosα=-，故tanα=-.6.已知a=21.2，b=，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解析】选A.先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小.a=21.2>2，而b==20.8，所以1<b<2，c=2log52=log54<1，所以c<b<a.7.已知抛物线C1：x2=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C2的标准方程为( )A.x2+=4B.+y2=4C.x2+=2D.+y2=2【解析】选A.由题设知抛物线的焦点为F，所以圆C2的圆心坐标为F.因为四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F为圆C2的圆心，所以点F为该矩形的两条对角线的交点，所以点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等.又点F到直线CD的距离为p=1，所以直线AB的方程为：y=，可取A，所以圆C2的半径r=|AF|==2，所以圆C2的标准方程为：x2+=4.8.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4-B.8-C.8-πD.8-2π【解析】选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为8-π.9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1+1=2，2×2+1=5，3×5+1=16，4×16+1=65，当i=4时，计算结果为a=65>50，此时输出i=4.10.已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10·b11=2，则a21=( )A.20B.512C.1 013D.1 024【解析】选D.由b n=可知b1=，b2=，…，b20=，所以b1·b2·…·b20=··…·=，又数列{b n}为等比数列，所以b1b20=b2b19=…=b10b11，于是有210=，即a21=210a1，又a1=1，所以a21=210=1024.11.已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. B. C.2 D.5【解析】选D.不妨设点P在靠近F2的一支上，则|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，设|PF2|=n，|PF1|=m，则由①③可得将其代入②可得5a2-6ac+c2=0，即e2-6e+5=0，得e=5.12.若关于x的不等式x2+ax-c<0的解集为{x|-2<x<1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=ax3+x2-cx在区间(t，3)上总不是单调函数，则m的取值范围是( )A.-<m<-3B.-3<m<-1C.-<m<-1D.-3<m<0【解析】选A.由题意可得-2，1是方程x2+ax-c=0的两根，则a=1，c=2.函数f(x)=x3+x2-2x，x∈(t，3)，t∈[1，2]总不是单调函数，只要f(x)在x∈(2，3)上不单调，即存在极值点，所以f′(x)=3x2+2x-2=0，x∈(2，3)有解，2m+1=-3x∈，x∈(2，3)，则-<2m+1<-5，解得-<m<-3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.观察下列等式：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若按类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________.【解析】依题意，注意到从23到m3(m≥2，m∈N)分拆得到的等式右边最大的正整数为2×+1=(m-1)(m+2)+1=109=(10-1)(10+2)+1，因此所求的正整数m=10.答案：1014.已知乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员一定参加且安排在第一、三、五位置，从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排有________种.【解析】先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有种方法，再从7名队员中选2名放在第二、四位置上，有种方法，所以不同的出场安排有=252种.答案：25215.在数列{a n}中，S n是其前n项和，若a1=1，a n+1=S n(n≥1)，则a n=________.【解析】因为3a n+1=S n(n≥1)，所以3a n=S n-1(n≥2).两式相减，得3(a n+1-a n)=S n-S n-1=a n(n≥2)⇒=(n≥2)⇒n≥2时，数列{a n}是以为公比，以a2为首项的等比数列，所以n≥2时，a n=a2·.令n=1，由3a n+1=S n，得3a2=a1，又a1=1⇒a2=，所以a n=(n≥2)，故a n=答案：16.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点.设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则对函数y=f(x)有下列判断：①函数y=f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x+2)=f(x-2)；③函数y=f(x)在区间[2，3]上单调递减；④=.其中判断正确的序号是________.【解析】依题意，当-1≤x≤1时，点P位于以原点为圆心，为半径的圆弧上运动；当1≤x≤2时，点P位于以点(1，0)为圆心，1为半径的圆弧上运动；当2≤x≤3时，点P位于以点(3，0)为圆心，1为半径的圆弧上运动.因此，对于①，②，易知有f(-x)=f(x)，f(x+4)=f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的偶函数，因此①，②均正确；对于③，由题可知，函数f(x)在[2，3]上是增函数，因此③不正确；对于④，f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=π×()2+×12+π×12=，因此④正确. 综上所述，其中正确的命题的序号是①②④.答案：①②④。

班别 ______学号 _______ 姓名 ______________ 得分 _______一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求 .1． 若复数 (a 23a 2) (a 1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为（）A. 1B.2 C. 1或2D.12．以下函数中，最小值为2 的是（）A ． yx 221B ． y x 2 x 1x 2 2C ． y x( 2 2x)( 0x 2 2 )Dx 2 2． yx 213. 函数 f ( x) x 2 lg( x 1) 的定义域是（）2 xA. (0, 2)B.(1,2) C. (2, ) D. ( ,1)4．若四边形 ABCD 知足 AB CD 0 ，(AB AD ) AC 0 ，则该四边形必定是 （）A ．直角梯形B ．菱形 C．矩形 D．正方形5．某社区现有 480 个住户，此中中等收入家庭200 户、低收入家庭 160 户，其余为高收入 家庭。

在建设幸福广东的某次分层抽样检查中， 高收入家庭被抽取了 6 户，则该社区本次 被抽取的总户数为（） A ．20B． 24C ．30D ． 366．设双曲线x 2y 2 1 一条渐近线与抛物线yx 2 1只有一个公共点，则双曲线离心率a 2b 2为（）A ．5B． 5C． 5D． 5427. 已知向量 a1,1 ， b (2, y) ，若 | a b |a ·b ，则 y （） A ． 3B ． 1C ． 1D ． 38．设 a 为函数 ysin x3 cos x(xR) 最大值， 则二项式 (a x1) 6 的睁开式中含 x 2x项的系数是（）A ． 192B ． 182C ． 192D ． 182二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分．每题5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9至13 题为必做题，每道试题考生都一定作答． 9．双曲线 x 2 3y 23 的离心率为.2611 ． 已 知 直 线 3x 4y 3 0 与 直 线 6x my 14 0平行，则它们之间的距离是.12．在△ ABC 中， A: B : C 1: 2:3 ，则 a : b : c =.13．已知实数 x, y 知足： 1x y4 且 2 xy 3，则 z 2x 3y 的最大值是（二）选做题（ 14、 15 题，考生只好从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中， 曲线4sin 和 cos1订交于点 A 、B ，则 AB.C15．（几何证明选讲选做题） 如图， AB 是⊙ O 的直径， P 是 AB 延.长线上的一点。