(北师大版)数学必修二达标练习：2.3.3空间两点间的距离公式(含答案)

3.3空间两点间的距离公式学习目标：1.会推导和应用长方体对角线长公式．(重点)2.会推导空间两点间的距离公式．(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图2-3-9)图2-3-9(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|[基础自测]1．思考辨析(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．()(2)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.()[解析](1)×，空间两点间的距离公式与两点顺序无关．[答案](1)×(2)√2．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是()A．243 B．221C．9 D.86D[|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.]3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．[解析] 设点P (0,0，z )， 则由|P A |＝|PB |， 得(0－4)2＋(0－5)2＋(z －6)2 ＝(0＋5)2＋(0－0)2＋(z －10)2，解得z ＝6，即点P 的坐标是(0,0,6)． [答案] (0,0,6)[合 作 探 究·攻 重 难](1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度.【导学号：64442156】[解] (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72，∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．[解析] 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6. [答案]2或 6A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |.[思路探究] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．[解] 由空间两点的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357.此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，227，67.2．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．[解]假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．因为|MA|＝32＋(－y)2＋12＝10＋y2，|AB|＝2 5.于是10＋y2＝25，解得y＝±10.故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).[1．如图2-3-10，以棱长为a的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD 上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.【导学号：64442157】图2-3-10提示：当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q (0，a ，z )． 则|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为22a .2．在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值．提示：因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短．连接AQ ，BQ (图略)，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a .已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．[思路探究] 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决．[解] (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1.(2)∵|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.3．如图2-3-11，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？图2-3-11[解] 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1)． |NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305， 此时a ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小．[当 堂 达 标·固 双 基]1．在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( )A ．3或5B ．－3或－5C ．3或－5D ．－3或5A[由题意得|AB|＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a－4)2＝3，解得a＝3或5，故选A.]2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[由距离公式得：|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．]3．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．[解析]∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|P A|＝|PB|，∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.[答案](0,0,3)4．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______.【导学号：64442158】[解析]|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.[答案] 35．如图2-3-12，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．图2-3-12[解] 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ， 所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a .因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a . 根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .。

3.3空间两点间的距离公式1.已知点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点为A',则|AA'|等于()A.4B.6C.10D.√38答案:C2.下列各点到坐标原点距离最小的是()A.(1,-1,1)B.(3,0,4)C.(-2,3,5)D.(2,2,1)解析:点(1,-1,1),(3,0,4),(-2,3,5),(2,2,1)到原点(0,0,0)的距离分别为√3,5,√38,3,故选A.答案:A3.点A在z轴上,它到点(3,2,1)的距离是√13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)解析:设点A(0,0,c),则√32+22+(1-c)2=√13,解得c=1.所以点A的坐标为(0,0,1).答案:C4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D',则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为()A.√2aaB.√22C.aD.a2解析:由题意知,F(a,a2,0),E(a2,a2,a2),所以|EF|=√(a2)2+(a2)2=√22a.故选B.答案:B5.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,则正方体的对角线长为()A.14√3B.3√14C.5√42D.42√5解析:|AB|=√(-6-8)2+(-6-8)2+(-6-8)2=14√3.答案:A6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析:由两点间距离公式可得|AB|=√26,|BC|=√74,|AC|=√26.因为A,B,C三点不共线,所以三点可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.故选D.答案:D7.已知点P在x轴上,且它到点P1(0,√2,3)的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标是.解析:点P在x轴上,设P(x,0,0),则|PP1|=√x2+(√2)2+32=√x2+11,|PP2|=√x2+(-1)2+12=√x2+2.∵|PP1|=2|PP2|,∴2+11=2√x2+2,解得x=±1.故点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:(1,0,0)或(-1,0,0)8.在空间直角坐标系O-xyz中,满足z=1的所有点构成的图形是.解析:因为z=1,所以满足条件的点到xOy面的距离为1,所以满足条件的点构成一个平面,即与xOy平面平行,与z轴交点为(0,0,1)的平面.答案:与xOy平面平行且与z轴交点为(0,0,1)的平面★9.在平面xOy内的直线3x-y+6=0上确定点P,使点P到定点M(2,2,3)的距离最小,则点P的坐标为.解析:由已知可设点P(x,3x+6,0),则|PM|=√(2x-x)2+[(2x+5)-(3x+6)]2+[(x+2)-0]2=√x2+(x+1)2+(x+2)2=√3x2+6x+5=√3(x+1)2+2.所以,当x=-1时,|PM|取最小值为√2.故在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.答案:(-1,3,0)10.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且E是棱DD1的中点,求BE,A1E的长.解以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.依题意,可得B (1,0,0),E (0,1,12),A 1(0,0,1),所以|BE|=√(1-0)2+(0-1)2+(0-12)2=32,|A 1E|=√(0-0)2+(0-1)2+(1-12)2=√52.故BE 的长为32,A 1E 的长为√52.11.在空间直角坐标系中,已知A (3,0,1),B (1,0,-3). (1)在y 轴上是否存在点M ,使|MA|=|MB|成立?(2)在y 轴上是否存在点M ,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA|=|MB|,可设点M (0,y ,0),则√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2=√(1-0)2+(0-y )2+(-3-0)2,由于上式对任意实数都成立,故y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立. (2)假设在y 轴上存在点M (0,y ,0),使△MAB 为等边三角形.由(1)可知y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立,所以只要再满足|AB|=|MA|,就可以使△MAB 为等边三角形.因为|AB|=2√5,|MA|=√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2 =√10+y 2,于是√10+y 2=2√5,解得y=±√10.故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形, 此时点M 的坐标为(0,√10,0)或(0,-√10,0).★12.已知正方形ABCD ,ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,已知CM=BN=a (0<a<√2). 求:(1)MN 的长;(2)a 为何值时,MN 的长最小?分析(1)此题首先应画出图形,然后选择合适的点作为原点,建立空间直角坐标系,借助空间两点间距离公式求解.(2)利用(1)中|MN|的表达式转化为求二次函数的最小值.解(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,AB ⊥BE ,所以BE ⊥平面ABC.所以AB ,BC ,BE 两两互相垂直.所以以B 为原点,以BA ,BE ,BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M (√22a ,0,1-√22a ),N (√22a ,√22a ,0 ).所以|MN|=(√22a -√22a ) 2+( 0-√22a ) 2+( 1-√22a -0 ) 2=√a 2=( a -√22 ) +12(0<a<√2),即MN 的长为( a -√22 ) 2+12(0<a<√2).(2)由(1)知|MN|=( a -√22 ) 2+12,因为0<a<√2,所以当a=√22时,|MN|min =√22,即当a=√22时,MN 的长最小.。

2.3.2 空间两点间的距离一、基础过关1． 点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则AA ′＝__________.2． 点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＝2，则点P 运动的轨迹是_____________．3． 点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是____________．.4． 点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为__________．5． 已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 是________三角形．6． 到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．7． 已知A (3,3,1)、B (1,0,5)，求：(1)AB ；(2)线段AB 的中点坐标；(3)到A 、B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x 、y 、z 满足的条件．8． 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12， 0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9． 已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A 、B 两点距离的最小值为________．10．对于任意实数x ，y ，z ，x 2＋y 2＋z 2＋(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2的最小值为______．11．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点的坐标为__________．12．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．三、探究与拓展13．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．答案1．102．以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面3．(5,2，－7)4．(33，33，33)或(－33，－33，－33)5．直角6．x ＋y ＋z ＝07．解 (1)由空间两点间的距离公式，得AB ＝(3－1)2＋(3－0)2＋(1－5)2＝29.(2)线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3＋12，3＋02，1＋52，即为(2，32，3)． (3)点P (x ，y ，z )到A 、B 的距离相等，则(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2.化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0，即到A 、B 距离相等的点P 的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9.35510. 611．(－1,0,2)12．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 的坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51.13．解 (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥面ABCD .∴AB 、BC 、BE 两两垂直．∴以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12 (0<a <2)．(2)∵MN ＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12 (0<a <2)，故当a ＝22时，(MN )min ＝22.。

3．3 空间两点间的距离公式知识点 空间两点间的距离[填一填]1．用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[答一答]1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？提示：由x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离； (3)P 到平面xOy 的距离．【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝12＋(－1)2＋22＝ 6. (2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为d (P ，P 1)＝(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)．解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11. (2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49 ＝7.类型二 求点的坐标【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．【解】 (1)设点P (x,0,0)．由题意，得|P A |＝(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋272. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )A ．(1,0,0)或(－1,0,0)B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭⎫－12，0，0 D.⎝⎛⎭⎫－22，0，0或⎝⎛⎭⎫22，0，0解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 求空间中线段的长度【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.(3)点P 在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，则 |MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5(y －45)2＋545.∵y ∈[0,1]，0<45<1，∴当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305. ∴|MP |的最小值为3305.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，E (0，1，12)，A 1(0,0,1)，所以|BE |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(0－12)2＝32，|A 1E |＝(0－0)2＋(0－1)2＋(1－12)2＝52.——多维探究系列—— 建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 【思路分析】 建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明． 【精解详析】 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P (12，12，1)，由空间两点间的距离公式得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝(1－12)2＋(1－12)2＋(1－1)2＝22，|AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2， ∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .【解后反思】 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．解：∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1，① 又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．一、选择题1．点A (－1,0,1)与坐标原点O 的距离是( A ) A.2 B.3 C ．1 D ．2 2．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( B ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2解析：代入两点间的距离公式得|AB |＝2 6. 3．M (4，－3,5)到x 轴的距离为( B ) A ．4 B.34 C ．5 2 D.41解析：如图所示，MA⊥平面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.二、填空题4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝2.解析：|AB|2＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝2，|BC|2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝x2－2x＋3，|AC|2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝x2－4x＋5，根据题意，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以2＋x2－4x＋5＝x2－2x＋3，解得x＝2.5．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是2或 6.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|P A|＝2或 6.三、解答题6．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，试判断△ABC的形状．解：d(A，B)＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，d(A，C)＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，d(B，C)＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14.∴d2(A，B)＝d2(A，C)＋d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等．∴△ABC 为直角三角形．。

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课堂达标·效果检测
1.点A(3，6，1)与B(5，3，-1)的距离是( )
A.4
B.
C.
D.
【解析】选C.|AB|==.
2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设该定点的坐标为(x，y，z)，则有x2+y2=1，y2+z2=1，z2+x2=1，三式相加得2(x2+y2+z2)= 3.所以该点到原点的距离为d===.
3.在空间直角坐标系中，已知P(a，0，0)，Q(4，1，2)，且|PQ|=，则a=________.
【解析】因为P(a，0，0)，Q(4，1，2)，且|PQ|=，所以=，所以(a-4)2=25，所以a=-1或a=9.
答案：-1或9
4.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(2，-1，4)，B(3，2， -6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为________. 【解析】设AC的中点为G，则G，
|BG|==.
答案：
5.如图，在长方体ABCD-A
1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E
是A1C1与B1D1的交点，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x
轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长.
【解析】由空间直角坐标系可得B(2，2，0)，E(1，1，1)，故
|BE|==.
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《空间两点间的距离公式》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.点P(半，—普)到原点的距离是()A•欝 B. 1 C•欝 D.睜2.点A在z轴上，它到点(3,2,1)的距离是任，则点A的坐标是()A. (0,0. -1)B. (0,1,1)C. (0,0，DD. (0,0,13)3.空间直角坐标系中，点4(3,2, —5)到x轴的距离d等于()A. ^/32+22B.寸2?+(—5)2C.寸3?+(—5)2D. ^/32+22+(-5)24.在长方体ABCD—AiBiCiDi 中，若D(0,0,0), A(4,0,0), B(4,2,0), Ai(4,0,3),则对角线ACi的长为()A. 9B. ^29C. 5D. 2^6二、填空题5.已知A (4, -7, 1), B (6, 2, z),若|AB|=10,则厂___________________ .6.在△ABC 中，己知A( —123), B(2,—2,3), C(|, |, 3),则AB 边上的中线CD 的长 _______ .7.在空间直角坐标系中，正方体ABCD—MB\C\Di的顶点A(3, —1,2),其中心M的坐标为(0丄2),则该正方体的棱长为__________ •三、简答题&如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2,(1)求正方体各顶点的坐标；(2)求的长度.9.求证：以A (4, 1, 9) , B (10, —1, 6) , C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.10.在长方体ABCD—ABCQ中，AB=AD=6, Al=4,点M在AC上，|MCj=2|AM|, N在CQ上且为CQ的中点，求M、N两点间的距离.解析和答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】C解:设A(0,0, c),则^32+22+(l-c)2=V13-解得c=l.所以点A 的坐标为(0,0,1).3.【答案】B解:过A作AB±x轴于B,则B(3,0,0),则点A到x轴的距离二异.4.【答案】B 二、填空题5.【答案】解：由，解得.6.【答案】|解：由题可知的中点D的坐标是0,3),由距离公式可得\CD\=yl (|-|)2+(|-0)2+(3-3)2=|.7.【答案】呼解：I AM\ =^/(3-0)2+(-1-1)2+(2-2)2=713, •••对角线|ACi| = 2V13,设棱长x,则 3.r = (2VT3)2,三、简答题& 解：(1)由正方体的棱长为2,得 A (0, 0, 0) , B (2, 0, 0) , C (2, 2, 0),D (0, 2, 0),,,,；(2) , .I的长度.9.证明：A (4, 1, 9) , B (10, —1, 6) , C (2, 4, 3),,,AB=AC故AABC为等腰直角三角形.10.解：以D为坐标原点，D4所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD所在直线为z轴, 则、，•:AB=AD=6, A4i=4,点M在AQ上，\MC,\=2.\A1M1\,。