B一元二次方程_增长率

一元二次方程的增长率问题公式一元二次方程是数学中常见的方程形式，也是数学建模和实际问题求解中经常遇到的一种形式。

在研究一元二次方程时，我们经常会关注其增长率问题，即方程解随自变量的变化而变化的速度。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知系数，x为未知数。

为了研究方程解随自变量的变化而变化的速度，我们首先需要求解方程的解，即确定方程的根。

对于一元二次方程，我们可以利用求根公式来求解。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

通过求解方程的根，我们可以得到方程的解集。

在研究一元二次方程的增长率时，我们通常关注方程解随自变量的变化而变化的速度。

在数学中，我们用导数来描述一个函数随自变量的变化速率。

对于一元二次方程，我们可以通过对方程进行求导来得到其增长率的公式。

对一元二次方程y = ax^2 + bx + c，我们对其进行求导，得到dy/dx = 2ax + b。

这个导数表达式就是一元二次方程的增长率公式。

它表示了方程解随自变量的变化而变化的速度。

通过一元二次方程的增长率公式，我们可以研究方程解的变化规律。

例如，当导数dy/dx为正时，说明方程解随自变量的增加而增加；当导数dy/dx为负时，说明方程解随自变量的增加而减小；当导数dy/dx为零时，说明方程解达到极值点。

在实际应用中，一元二次方程的增长率问题常常涉及到物理、经济等领域。

例如，当我们研究一个物体的自由落体运动时，可以建立一个一元二次方程来描述物体的高度随时间的变化。

通过求解方程的增长率，我们可以得到物体下落的速度随时间的变化规律。

一元二次方程的增长率问题也与经济学中的边际效益问题密切相关。

边际效益是指每增加一单位投入所带来的额外效益。

通过研究一元二次方程的增长率，我们可以确定边际效益随投入的变化而变化的速度，从而为决策提供科学依据。

一元二次方程的增长率问题是数学中的一个重要问题。

一元二次方程增长率应用题一、增长率问题的基本公式1. 若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则b = a(1 + x)^n。

2. 若初始量为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则b=a(1 - x)^n。

二、例题解析（一）正向增长率问题例1：某工厂去年1月份的产值为100万元，由于受市场经济的影响，2、3月份的产值逐月下降，平均每月下降率为x。

（1）写出3月份产值y（万元）关于x的函数关系式；（2）如果3月份产值为81万元，求x的值。

解析：1. （1）1月份产值为100万元，2月份产值是在1月份产值基础上下降x，则2月份产值为100(1 - x)万元。

3月份产值是在2月份产值基础上又下降x，所以3月份产值y = 100(1 - x)(1 - x)=100(1 - x)^2。

2. （2）已知3月份产值为81万元，即y = 81，那么100(1 - x)^2=81。

- 首先将方程两边同时除以100得到(1 - x)^2=(81)/(100)。

- 然后开平方可得1 - x=±(9)/(10)。

- 当1 - x=(9)/(10)时，x = 1-(9)/(10)=(1)/(10)=0.1 = 10%；- 当1 - x=-(9)/(10)时，x = 1+(9)/(10)=1.9（增长率不能大于1，舍去）。

（二）连续两年增长率问题例2：某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。

该公司缴税的年平均增长率为多少？解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。

1. 前年缴税40万元，去年缴税是在前年基础上增长x，则去年缴税40(1 + x)万元。

2. 今年缴税是在去年基础上又增长x，所以今年缴税40(1 + x)(1 + x)=40(1 + x)^2万元。

3. 已知今年缴税48.4万元，则40(1 + x)^2=48.4。

- 方程两边同时除以40得(1 + x)^2=1.21。

- 开平方得1 + x=±1.1。

一元二次方程应用专题--增长率学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A.(3+x)(4−0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3−0.5x)=15D.(x+1)(4−0.5x)=152. 某商场以10元/件的进价新进一批商品，根据以往的销售经验知，当售价定为15元/件时，每天可售出商品200件，且售价每提高2元，每天将减少售出商品10件．商场销售该商品每天的利润为650元，求该商品的售价是多少？若设商品售价为x元/件，则可列出的一元二次方程是( )A.[200−10(x−15)](x−15)=650B.[200−10(x−15)](x−10)=650C.(200−x−152×10)(x−15)=650 D.(200−x−152×10)(x−10)=6503. 某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为( )A.(50+x)(10−x)=504B.50(10−x)=504C.(10−x)(50+6x)=504D.(10−6x)(50+x)=5044. 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少销量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件．(1)若售价为14元，则每天的销量为________件；(2)若售价为x元，则每天的销量为________件（用含x的代数式表示）；(3)要使每天获得700元的利润，则售价为________元．5. 平遥牛肉是我国美食文化的精华之一．已知某专卖店平遥牛肉的进价为每份10元，现在的售价是每份16元，每天可卖出120份．据市场调查，每涨价1元，每天要少卖出10份．如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价________元．6. 某商店出传某种商品每件可获利m元，利润率为20%，若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为________．7. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？8. 某商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+500.(1)若每月销售260件，则每件利润是多少？(2)如果该专柜想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？(3)设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？9. 某校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20元的某种商品在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数.(1)求y与x满足的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；(2)在不考虑其他因素的情况下，求销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润W最大？10. 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．若商场某个月要盈利1250元，求每件商品应上涨多少元？11. 某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .（1）求与之间的函数关系式;（2）函数图象中点表示的实际意义是;（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?参考答案与试题解析一元二次方程应用专题--增长率一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）ADC二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）120200−10⋅x −100.5 151三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）7.【答案】（1）25%;（2）降价5元．8.【答案】解：(1)将y =260代入y =−10x +500，得−10x +500=260，解得x =24，24−20=4（元），答：每件利润是4元．(2)设单价定位x 元，则有(x −20)(−10x +500)=2000，即x 2−70x +1200=0，(x −30)(x −40)=0，解得x 1=30，x 2=40，答：销售单价应定为30元或40元．(3)w =(x −20)(−10x +500)=−10x 2+700x −10000，当x =−b 2a =−7002×(−10)=35时取最大值，此时w =(35−20)(−10×35+500)=2250（元）.答：销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，为2250元．9.【答案】解：(1)设销售件数y 与销售价格x 满足的一次函数解析式为y =kx +b ，代入(24, 36)，(29, 21)，则{24k +b =36，29k +b =21，解得k =−3, b =108，∴ y =−3x +108.(2)W =(x −20)(−3x +108)=−3x 2+168x −2160=−3(x −28)2+192.∵ a =−3，∴当x=28时，W取得最大值，最大值为192.∴当销售价格定为28元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润为192元.10.【答案】解：设每件商品的售价上涨x元，(200−10x)(60+x−50)=1250，即x2−10x−75=0，解得x1=15，x2=−5（舍去），答：每件商品应上涨15元.11.【答案】（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．。

一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。

同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。

在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。

平均增长率公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。

(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。

解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。

列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。

720×（1+20%）=864（棵）。

严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。

解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。

人教版数学九年级上21.3第二课时教学设计课题21.3.2解一元二次方程单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程，提高数学应用意识。

能力目标通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程。

知识目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。

重点建立数学模型以解决增长率与降低率问题。

难点正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。

学法探究学习、合作交流法教法启发引导、讲练结合法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境导入思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：教师引导学生积极讨论，引入新课。

创设问题情境，激发学生的解题求知欲。

结解决传播问题的注意事项。

数学思想。

三、重难点精讲例题：某例题某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．变化率问题：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1±x)n=b （常见n=2）学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解决变化率问题的主义事项和技巧规律。

学生思考使用一元二次方程解决变化率问题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。

四、学以致用菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. 通过实际应用练习使用一元二次方程解决变化率问题的过程。

师生交流看通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程在实际变化。