【步步高】2020届高考数学二轮复习 专题七 第1讲几何证明选讲

【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：排列组合与二项式定理 （1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有m 1种不同的方法，完成第二个步骤有m 2种不同的方法，……，完成第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （2）排列与组合：①排列与排列数：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.排列数公式： !(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-L ；!(1)(2)21nn A n n n n ==--⋅L .规定0! = 1。

另外，!)!1(!n n n n -+=⋅； 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A ；11--=m n m n nA A ，!1)!1(1!1n n n n --=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元 素的一个组合。

目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (3)四、解答题题型总结 (4)核心考点一:解含绝对值的不等式 (4)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>； （2）,c a b d a c b d >>⇒+>+； （3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>. （合成后为必要条件） 2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<； （3）11000a b a b b a>>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-< (二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或 （2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0,22a ba b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）； 30,0,0,3a b c a b c abc ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d a c b d ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：2222||ad bc a b c d ⋅⇔+≤++a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结核心考点:利用柯西不等式证明解不等式柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R ，2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=.证明 设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，得cos |⋅=a ba,b a ||b |， 又|cos |1≤a,b ，即1|⋅≤|a b |a ||b |，|⋅≤|a b |a ||b |，故2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式 设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，则21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，当且仅当1212nna a ab b b ===（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.证法一：当i a 全为0时，命题显然成立.否则210ni i a =>∑，考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()n n n ii i ii i i f x a x a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且210ni i a =>∑，故()f x 的判别式不大于零，即2221114()40n n ni i ii i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑，整理后得222111()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑.证法二：向量的内积证法. 令12(,,,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++，等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212nna a ab b b ⇔===. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.1已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值；②若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.解析 ①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.②由①知111123a b c++=，又,,a b c +∈R ，由柯西不等式得11123(23)()23a b c a b c a b c ++=++++2111(23)923a b c a b c≥⋅+⋅+⋅=. 2.已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>，求证：31313132a b c +++++≤. 解析 由柯西不等式有()()2313131313131(111)18a b c a b c ++++++++++⋅++=≤.当且仅当313131a b c +=+=+即13a b c === 时等号成立. 故31313132a b c +++++≤.3.已知0,0,0a b c >>>，22cos sin a b c θθ+<.求证：22cos sin a b c θθ+<.解析 由柯西不等式及0a >,0b >,0c >,2222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )a b a b θθθθθθ++≥+ .即222(cos sin )c a b θθ>+,又因为0c >,所以 22cos sin a b c θθ+<.4.设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥. 解析 由柯西不等式，222222(23)[1(2)+(3)][(2)(3)]9a b c a b c ++≤+++=2.所以233a b c ++≤，所以33(23)3392733331a b c a b c ----++-++≥≥=.5.已知n *∈N ,且2n ≥，求证：1111112172342122n n <-+-++-<-. 解析 因为111111234212n n-+-+⋯+-- 111111(1)2()232242n n =+++⋯+-++⋯+111111(1)()23212n n=+++⋯+-++⋯+ 111122n n n=++⋯+++ . 所以原不等式等价于4111271222n n n <++⋯+<++. 由柯西不等式有2111()[(1)(2)(2)]122n n n n n n n++⋯+++++⋯+>++. 故2111241122(1)(2)(2)73n n n n n n n n++⋯+>=≥++++++⋯++. 又由柯西不等式有 2222222111111()(111)[]122(1)(2)(2)n n n n n n ++⋯+<++⋯+++⋯+++++()()()()1111[]112212n n n n n n n<++⋯++++- 1111()22n n n =-=. 所以11121222n n n ++⋯+<++.6.已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.解析 由1abc =,得()2221b c a b c ab ac=++,从而原不等式等价于 22222232b c c a a b ab ac bc ba ca cb ++≥+++.左边()()()()2bc ca ab ab ac bc ba ca cb ++≥+++++()12ab bc ca =++()333322abc ≥=.7.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________． (8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于点G ，E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．第1题图 第2题图2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD ＝2，BD＝4，则EA＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三 圆的切线的判定与性质例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB ，且AD ＝23，AE ＝6.(1)判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系； (2)求EC 的长．思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分](2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB ，DE ，OC .若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线 相等 相等 (2)比例2．(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.52 5. 6题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ， 又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴△ABC ∽△FCD . (2)解过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4， 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM， ∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明 在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB . ∴EA DC ＝EDDB，即ED ·CD ＝EA ·BD . 例2 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练2 证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.例3 解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE . ∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线， 即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r . 在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2， 即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23， ∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， 所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝ACAD，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26， 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE . 跟踪训练4(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ， ∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BMBD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 练出高分 A 组 1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP . 2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ， 因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF.3．解 由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD . 5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3， 且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ， 则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2. 又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA . ∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a . ∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明 由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ， 结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° . 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆． (2)解 由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆， 则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2．证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ， ∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切， 得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB . (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ， ∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC . 4.(1)证明 连结DE ，则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∠DEB ＋∠EDB ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ， 又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ，∴∠BDE ＝∠CDE ， ∴DE 是BC 的垂直平分线， 设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32， ∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF 的外接圆半径为32.。

(二)立体几何1.(2019·苏锡常镇四市调研)如图，在三棱锥P－ABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D.E，F 分别是PD，PC的中点，且平面P AB⊥平面PCD.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：CE⊥AB.证明(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PDC的中位线，∴EF∥DC，又EF⊄平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵PD⊥AB，平面P AB⊥平面PCD，平面P AB∩平面PCD＝PD，AB⊂平面P AB，∴AB⊥平面PCD，又EC⊂平面PCD，∴AB⊥EC.2.(2019·苏州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)A1F∥平面ADE.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，又因为A1F⊥B1C1，在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1,在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD，又因为A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以A1F∥平面ADE.3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1DC；(2)求证：平面A1DC⊥平面ABC.证明(1)连结C1A，设AC1∩A1C＝E，连结DE.∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1的中点，在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1.∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.(2)连结A1B，∵四边形ABB1A1为菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB为正三角形，∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD.∵A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴AB⊥平面A1DC.∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC.4.如图，已知四棱锥P－ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面PCD.证明(1)取CP的中点N，连结BN，MN.因为M，N分别是PD，PC的中点，所以MN∥CD，且CD＝2MN.又AB∥CD，且CD＝2AB，所以MN∥AB，且MN＝AB，所以四边形ABNM是平行四边形，所以AM∥BN，又BN⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.(2)因为AP＝AD，点M是PD的中点，所以AM⊥PD，又AM∥BN，所以BN⊥PD.因为CD⊥平面P AD，AM⊂平面P AD，所以CD⊥AM，又AM∥BN，所以BN⊥CD.因为PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.。